< Return to Video

Na koliko se načina može dokazati Pitagorin poučak? - Betty Fei

  • 0:09 - 0:11
    Što Euklid,
  • 0:11 - 0:13
    dvanaestogodišnji Einstein,
  • 0:13 - 0:16
    i američki predsjednik James Garfield
    imaju zajedničko?
  • 0:16 - 0:21
    Svi su pronašli elegantne dokaze
    za slavni Pitagorin poučak,
  • 0:21 - 0:23
    pravilo koje kaže
    da je u pravokutnom trokutu
  • 0:23 - 0:27
    zbroj kvadrata dvije stranice
  • 0:27 - 0:30
    jednak kvadratu hipotenuze.
  • 0:30 - 0:35
    Drugim riječima, a²+b²=c².
  • 0:35 - 0:38
    Ta je izjava jedno od fundamentalnih
    pravila geometrije,
  • 0:38 - 0:41
    i osnova praktičnih primjena,
  • 0:41 - 0:46
    poput konstrukcije stabilnih zgrada
    i triangulacija GPS koordinata.
  • 0:46 - 0:49
    Poučak je nazvan po Pitagori,
  • 0:49 - 0:53
    grčkom filozofu i matematičaru
    iz 6. st. pr. Kr.,
  • 0:53 - 0:56
    no bio je poznat
    više od tisuću godina ranije.
  • 0:56 - 1:02
    Na babilonskoj ploči iz 1800. g. pr Kr.
    nabrojanih je 15 nizova brojeva
  • 1:02 - 1:04
    koji zadovoljavaju poučak.
  • 1:04 - 1:08
    Neki povjesničari nagađaju
    da su nadzornici u starom Egiptu
  • 1:08 - 1:14
    koristili takav niz brojeva, 3, 4, i 5,
    kako bi napravili prave kutove.
  • 1:14 - 1:18
    U teoriji su nadzornici rastezali uže
    sa čvorovima s dvanaest jednakih dijelova
  • 1:18 - 1:23
    kako bi napravili trokut čije su stranice
    duljine 3, 4 i 5.
  • 1:23 - 1:26
    Ako obrnemo Pitagorin poučak,
  • 1:26 - 1:28
    znamo da je trokut pravokutan,
  • 1:28 - 1:31
    pa je i kut pravi.
  • 1:31 - 1:33
    U najranijim poznatim indijskim
    tekstovima o matematici,
  • 1:33 - 1:37
    napisanim između 800. i 600. g. pr. Kr.,
  • 1:37 - 1:41
    piše da uže rastegnuto
    po dijagonali kvadrata
  • 1:41 - 1:45
    stvara dvostruko veći kvadrat
    od početnog.
  • 1:45 - 1:49
    Tu se vezu može izvući
    i iz Pitagorinog poučka.
  • 1:50 - 1:52
    No kako da znamo da poučak vrijedi
  • 1:52 - 1:55
    za svaki pravokutan trokut
    na ravnoj površini,
  • 1:55 - 1:59
    a ne samo za one za koje su
    matematičari i nadzornici znali?
  • 1:59 - 2:00
    Jer to možemo dokazati.
  • 2:00 - 2:03
    Dokazi koriste već postojeća
    pravila matematike i logiku
  • 2:03 - 2:07
    kako bi u svakom trenutku mogli
    dokazati istinost poučka.
  • 2:07 - 2:11
    U jednom je klasičnom primjeru,
    često pripisanom samome Pitagori,
  • 2:11 - 2:14
    iskorištena strategija zvana
    dokazivanje pomoću premještanja.
  • 2:14 - 2:20
    Zamisli četiri potpuno jednaka
    pravokutna trokuta duljina kateta a i b
  • 2:20 - 2:22
    te duljine hipotenuze c.
  • 2:22 - 2:26
    Premjesti ih tako da njihove hipotenuze
    čine kosi kvadrat.
  • 2:26 - 2:30
    Površina tog kvadrata je c².
  • 2:30 - 2:33
    Sad premjesti trokute
    u dva pravokutnika,
  • 2:33 - 2:36
    tako da manji kvadrati
    ostanu na obje strane.
  • 2:36 - 2:41
    Površine ta dva kvadrata su a² i b².
  • 2:41 - 2:42
    U ovome je stvar.
  • 2:42 - 2:45
    Ukupna površina lika i površine trokuta
  • 2:45 - 2:48
    nisu se promijenile.
  • 2:48 - 2:51
    Onda površina praznine u jednom liku, c²,
  • 2:51 - 2:54
    mora biti jednaka površinama praznina
    u drugom liku,
  • 2:54 - 2:58
    a² + b².
  • 2:58 - 3:02
    Još jedan dokaz dolazi
    od grčkog matematičara Euklida
  • 3:02 - 3:07
    na kojeg je skoro 2,000 godina kasnije
    naišao dvanaestogodišnji Einstein.
  • 3:07 - 3:11
    U ovom dokazu pravokutan je trokut
    podijeljen na dva manja,
  • 3:11 - 3:16
    i ako su veličine odgovarajućih kutova
    ta dva trokuta jednake,
  • 3:16 - 3:19
    omjer duljina njihovih stranica je jednak.
  • 3:19 - 3:21
    Za stranice tih tri sličnih trokuta
  • 3:21 - 3:25
    možeš napisati ove izraze.
  • 3:33 - 3:36
    Sada promijeni uvjete.
  • 3:39 - 3:44
    I napokon, zbroji te dvije jednadžbe
    i pojednostavni ih da dobiješ
  • 3:44 - 3:52
    ab²+ac²=bc²,
  • 3:52 - 3:58
    ili a²+b²=c².
  • 3:58 - 4:00
    Ovaj primjer koristi mozaike,
  • 4:00 - 4:04
    ponavljane geometrijske uzorke,
    kao vizualan dokaz.
  • 4:04 - 4:06
    Vidiš li kako funkcionira?
  • 4:06 - 4:08
    Zaustavi video ako hoćeš
    promisliti o tome.
  • 4:10 - 4:12
    Evo odgovora.
  • 4:12 - 4:14
    Površina tamno sivog kvadrata je a²,
  • 4:14 - 4:17
    a svijetlo sivog je b².
  • 4:17 - 4:19
    Površina kvadrata
    s plavim konturama je c².
  • 4:19 - 4:24
    Svaki plavi kvadrat
    građen je od točno jednog tamnog
  • 4:24 - 4:26
    i jednog svijetlo sivog kvadrata,
  • 4:26 - 4:29
    ponovno dokazujući Pitagorin poučak.
  • 4:29 - 4:31
    Želiš li stvarno biti uvjeren,
  • 4:31 - 4:35
    mogao bi napraviti okretnicu
    s tri kvadratne kutije jednakih dubina
  • 4:35 - 4:37
    povezane jedna s drugom
    oko pravokutnog trokuta.
  • 4:37 - 4:41
    Napuniš li najveću s vodom
    i zavrtiš okretnicu,
  • 4:41 - 4:46
    voda iz velikog kvadrata
    savršeno će ispuniti dva manja.
  • 4:46 - 4:51
    Za Pitagorin poučak postoji više od
    350 dokaza, i briljantnih i nejasnih,
  • 4:51 - 4:53
    i još ih se može naći.
  • 4:53 - 4:55
    Možeš li dodati svoj dokaz tom popisu?
Title:
Na koliko se načina može dokazati Pitagorin poučak? - Betty Fei
Description:

Pogledaj našu stranicu na Patreon-u: https://www.patreon.com/teded

Pogledaj punu lekciju na: https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei

Što Euklid, dvanaestogodišnji Einstein i američki predsjednik James Garfield imaju zajedničko? Svi su pronašli elegantne dokaze za poznati Pitagorin poučak, fundamentalno pravilo geometrije i osnovu praktičnih primjena poput izgradnje stabilnih zgrada i triangulacije GPS koordinata. Betty Fei objasnit će ta tri slavna dokaza.

Lekciju napravila Betty Fei, a animacije Nick Hilditch.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
05:17

Croatian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.