< Return to Video

בכמה דרכים ניתן להוכיח את משפט פיתגורס? - בטי פיי

  • 0:09 - 0:11
    מה משתוף לאוקלידס,
  • 0:11 - 0:13
    לאיינשטיין בן ה 12,
  • 0:13 - 0:16
    ולנשיא האמריקאי ג'יימס גארפילד?
  • 0:16 - 0:21
    כולם העלו הוכחות אלגנטיות
    למשפט פיתגורס המפורסם,
  • 0:21 - 0:23
    החוק שאומר שבמשולש ישר זוית,
  • 0:23 - 0:27
    סכום ריבועי שתי הצלעות
  • 0:27 - 0:30
    שווה לריבוע של היתר.
  • 0:30 - 0:35
    במילים אחרות, a²+b²=c².
  • 0:35 - 0:38
    הצהרה זו היא אחד מהעקרונות
    הכי בסיסיים בגאומטריה,
  • 0:38 - 0:41
    והבסיס לשימושים פרקטיים,
  • 0:41 - 0:46
    כמו בניית בניינים יציבים
    ואיכון מיקום ב GPS.
  • 0:46 - 0:49
    התאוריה נקראת על שם פיתגורס,
  • 0:49 - 0:53
    פילוסוף יווני ומתמטיקאי
    במאה ה 6 לפני הספירה,
  • 0:53 - 0:56
    אבל היא היתה ידועה
    עוד למעלה מאלף שנים לפני כן.
  • 0:56 - 1:02
    טבלה בבילונית מסביבות 1800
    לפני הספירה מפרטת 15 סדרות של מספרים
  • 1:02 - 1:04
    שמתאימות לתאוריה.
  • 1:04 - 1:08
    מספר הסטוריונים מעריכים
    שהמודדים המצרים העתיקים
  • 1:08 - 1:14
    השתמשו בסדרת מספרים אחת מבין אלה,
    3,4,5, כדי ליצור פינות ישרות.
  • 1:14 - 1:18
    התאוריה היא שהמודדים יכלו למתוח חבל
    המחולק ע״י קשרים, לשניים עשר חלקים שווים,
  • 1:18 - 1:23
    כדי ליצור משולש עם צלעות באורך 3,4,5.
  • 1:23 - 1:26
    לפי ההנחה של משפט פיתגורס,
  • 1:26 - 1:28
    צלעות אלו חייבות ליצור משולש ישר זווית,
  • 1:28 - 1:31
    ולכן, פינה ישרה.
  • 1:31 - 1:33
    הטקסטים המתמטיים ההודים המוקדמים ביותר,
  • 1:33 - 1:37
    שנכתבו בין 800 ל 600 לפני הספירה,
  • 1:37 - 1:41
    טוענים שחבל שנמתח לאורך אלכסון של ריבוע
  • 1:41 - 1:45
    מהווה צלע בריבוע הגדול פי שניים מהמקורי.
  • 1:45 - 1:49
    יחס זה יכול להיות מחושב ע״י משפט פיתגורס.
  • 1:49 - 1:52
    אבל איך אנחנו יודעים שהמשפט נכון
  • 1:52 - 1:55
    לכל משולש ישר זווית על משטח חלק,
  • 1:55 - 1:59
    לא רק לאלו
    שהיו ידועים למתמטיקאים ולמודדים הנ״ל?
  • 1:59 - 2:00
    משום שהמשפט הוא בר הוכחה.
  • 2:00 - 2:03
    הוכחות משתמשות
    בהגיון ובחוקים מתמטיים קיימים
  • 2:03 - 2:07
    כדי להדגים שתאוריה
    חייבת להיות תקפה כל הזמן.
  • 2:07 - 2:11
    הוכחה קלאסית אחת
    שרבים משייכים לפיתגורס עצמו
  • 2:11 - 2:14
    משתמשת באסטרטגיה שנקראת
    הוכחה ע״י סידור מחדש.
  • 2:14 - 2:20
    קחו ארבעה משולשים ישרי זוית זהים
    עם צלעות באורך a ו b
  • 2:20 - 2:22
    ויתר באורך c.
  • 2:22 - 2:26
    סדרו אותם כך שהיתרים שלהם יצרו ריבוע נטוי.
  • 2:26 - 2:30
    השטח של הריבוע הוא c².
  • 2:30 - 2:33
    עכשיו סדרו את המשולשים לשני מלבנים,
  • 2:33 - 2:36
    עם ריבועים קטנים בכל צד.
  • 2:36 - 2:41
    השטח של הריבועים האלו הוא a² ו b².
  • 2:41 - 2:42
    הנה המפתח.
  • 2:42 - 2:45
    השטח הכולל של הצורה לא השתנה,
  • 2:45 - 2:48
    והשטח של המשולשים לא השתנה.
  • 2:48 - 2:51
    אז השטח הלבן במקרה הראשון c²
  • 2:51 - 2:54
    חייב להיות שווה לשטח הלבן במצב השני,
  • 2:54 - 2:58
    a² + b².
  • 2:58 - 3:02
    הוכחה נוספת מגיעה
    ממתמטיקאי יווני נוסף בשם אוקלידס
  • 3:02 - 3:05
    ואותה גם בחן כמעט 2,000 שנה מאוחר יותר
  • 3:05 - 3:07
    אינשטיין בן השתים עשרה.
  • 3:07 - 3:11
    ההוכחה מחלקת משולש ישר זווית אחד
    לשני משולשים ישרי זוית אחרים
  • 3:11 - 3:15
    ומשתמשת בעקרון
    שאם הזוויות המתאימות של שני המשולשים
  • 3:15 - 3:16
    זהות,
  • 3:16 - 3:19
    היחס של הצלעות שלהם זהה גם כן.
  • 3:19 - 3:21
    אז לשלושת המשולשים הדומים הללו,
  • 3:21 - 3:25
    ניתן לכתוב את הביטויים הבאים
    עבור הצלעות שלהם.
  • 3:33 - 3:36
    בהמשך, סדרו מחדש את הביטויים.
  • 3:39 - 3:44
    ולבסוף, חברו את שתי המשווואות
    ופשטו כדי לקבל
  • 3:44 - 3:52
    AB²+AC²=BC²,
  • 3:52 - 3:58
    או a²+b²=c².
  • 3:58 - 4:00
    הנה הוכחה שמשתמש בריצוף של המישור,
  • 4:00 - 4:04
    תבנית גאומטרית חוזרת
    שמציגה הוכחה יותר ויזואלית.
  • 4:04 - 4:06
    אתם רואים איך זה עובד?
  • 4:06 - 4:08
    עצרו את הסרטון אם תרצו קצת זמן למחשבה.
  • 4:10 - 4:12
    הנה התשובה.
  • 4:12 - 4:14
    הריבוע האפור הכהה הוא a²
  • 4:14 - 4:17
    והריבוע האפור הבהיר הוא b².
  • 4:17 - 4:19
    זה שתחום בקוים כחולים הוא c².
  • 4:19 - 4:24
    כל ריבוע התחום בקווים כחולים מכיל בדיוק
  • 4:24 - 4:26
    ריבוע אחד כהה וריבוע אחד בהיר,
  • 4:26 - 4:29
    מה שמוכיח שוב את משפט פיתגורס.
  • 4:29 - 4:31
    ואם אתם באמת רוצים לשכנע את עצמכם,
  • 4:31 - 4:35
    אתם יכולים לבנות שולחן מסתובב
    עם שלוש קופסאות ריבועיות בעומק שווה
  • 4:35 - 4:37
    מחוברות אחת לשניה סביב משולש ישר זווית.
  • 4:37 - 4:41
    אם אתם ממלאים את הריבוע הגדול במים
    ומסובבים את השולחן,
  • 4:41 - 4:46
    המים מהריבוע הגדול
    ימלאו בדיוק את שני ההקטנים.
  • 4:46 - 4:51
    למשפט פיתגורס יש יותר מ 350 הוכחות,
    והספירה נמשכת,
  • 4:51 - 4:53
    שנעות בין גאוניות למוזרות.
  • 4:53 - 4:56
    האם אתם יכולים להוסיף הוכחה משלכם?
Title:
בכמה דרכים ניתן להוכיח את משפט פיתגורס? - בטי פיי
Description:

בקרו בדף הפטריאון שלנו: https://www.patreon.com/teded

צפו בשיעור המלא: https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei

מה משותף לאוקלידס, לאיינשטין בן ה 12 ולנשיא האמריקאי ג'יימס גארפילד? כולם העלו הוכחה אלגנטית למשפט פיתגורס המפורסם, אחד מהחוקים הכי בסיסיים בגאומטריה והבסיס לשימושים פרקטיים כמו בניית בניינים יציבים ואיכון מיקום ב GPS. בטי פיי מציגה את שלושת ההוכחות המפורסמות הללו.

שיעור מאת בטי פיי, אנימציה של ניק הילדיטץ'.

תודה רבה לפטרונים שלנו על תמיכתכם! בלעדיכם הסרטון הזה לא היה אפשרי.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
05:17

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.