< Return to Video

¿Cuántas formas hay de demostrar el teorema de Pitágoras? - Betty Fei

  • 0:02 - 0:06
    "La razón es inmortal,
    todo lo demás es mortal" Pitágoras
  • 0:09 - 0:11
    Que tienen Euclides
  • 0:11 - 0:13
    Einstein, de doce años,
  • 0:13 - 0:16
    y el presidente estadounidense
    James Garfield, en común?
  • 0:16 - 0:21
    Todos presentaron pruebas elegantes
    para el famoso teorema de Pitágoras,
  • 0:21 - 0:23
    la regla que dice que
    en un triángulo rectángulo,
  • 0:23 - 0:27
    el cuadrado de un lado más
    el cuadrado del otro lado
  • 0:27 - 0:30
    es igual al cuadrado de la hipotenusa.
  • 0:30 - 0:35
    En otras palabras, a² + b² = c².
  • 0:35 - 0:38
    Esta afirmación es una de las reglas
    más fundamentales de la geometría
  • 0:38 - 0:41
    y la base para aplicaciones prácticas
  • 0:41 - 0:46
    como la construcción de edificios estables
    y la triangulación de coordenadas del GPS.
  • 0:46 - 0:49
    El teorema se llama así por Pitágoras,
  • 0:49 - 0:53
    un filósofo griego y matemático
    del siglo VI aC,
  • 0:53 - 0:56
    pero se conocía hacía más de mil años.
  • 0:56 - 1:02
    Una tableta babilónica de alrededor
    de 1800 aC lista 15 series de números
  • 1:02 - 1:04
    que satisfacen el teorema.
  • 1:04 - 1:08
    Algunos historiadores especulan que
    los agrimensores egipcios antiguos
  • 1:08 - 1:14
    utilizaban uno de esos conjuntos,
    el 3, 4, 5, para hacer esquinas cuadradas.
  • 1:14 - 1:15
    La teoría es que los topógrafos
  • 1:15 - 1:18
    extendían una cuerda anudada
    con 12 segmentos iguales
  • 1:18 - 1:23
    para formar un triángulo
    con lados de longitud 3, 4 y 5.
  • 1:23 - 1:26
    Según lo que dice el teorema de Pitágoras,
  • 1:26 - 1:28
    esto tiene que hacer
    un triángulo rectángulo,
  • 1:28 - 1:31
    y, por lo tanto, una esquina cuadrada.
  • 1:31 - 1:33
    Y los primeros textos
    matemáticos indios conocidos
  • 1:33 - 1:37
    escritos entre 800 y 600 aC
  • 1:37 - 1:41
    establecen que una cuerda estirada
    a través de la diagonal de un cuadrado
  • 1:41 - 1:45
    produce un cuadrado dos veces mayor
    que el original.
  • 1:45 - 1:49
    Esa relación puede derivarse
    del teorema de Pitágoras.
  • 1:49 - 1:52
    Pero ¿cómo sabemos
    que el teorema es verdadero
  • 1:52 - 1:55
    para cada triángulo recto
    sobre una superficie plana,
  • 1:55 - 1:59
    no solo los que estos matemáticos
    y topógrafos conocían?
  • 1:59 - 2:00
    Porque podemos demostrarlo.
  • 2:00 - 2:03
    Las pruebas usan las reglas
    matemáticas y la lógica existentes
  • 2:03 - 2:07
    para demostrar que un teorema
    debe ser válido siempre.
  • 2:07 - 2:11
    Una prueba clásica a menudo
    atribuida a Pitágoras mismo
  • 2:11 - 2:14
    utiliza una estrategia llamada
    prueba por transposición.
  • 2:14 - 2:20
    Tome 4 triángulos rectángulos idénticos
    con longitudes laterales a y b
  • 2:20 - 2:22
    y longitud de la hipotenusa c.
  • 2:22 - 2:26
    Organizarlos de modo que sus hipotenusas
    formen un cuadrado inclinado.
  • 2:26 - 2:30
    El área de este cuadrado es c².
  • 2:30 - 2:33
    Ahora reorganice los triángulos
    en dos rectángulos,
  • 2:33 - 2:36
    dejando cuadrados
    más pequeños a cada lado.
  • 2:36 - 2:41
    Las áreas de esos cuadrados son a² y b².
  • 2:41 - 2:42
    Aquí está la clave.
  • 2:42 - 2:45
    El área total de la figura no cambió
  • 2:45 - 2:48
    y las áreas de los triángulos tampoco.
  • 2:48 - 2:51
    Así que el espacio vacío en uno, c²
  • 2:51 - 2:54
    debe ser igual
    al espacio vacío en el otro,
  • 2:54 - 2:58
    a² + b².
  • 2:58 - 3:02
    Otra prueba viene de su
    compañero matemático griego Euclides
  • 3:02 - 3:05
    y también descubierta
    casi 2000 años más tarde
  • 3:05 - 3:07
    por Einstein de doce años.
  • 3:07 - 3:11
    Esta prueba divide un triángulo
    rectángulo en otros dos
  • 3:11 - 3:13
    y utiliza el principio de que
  • 3:13 - 3:16
    si los ángulos correspondientes
    de dos triángulos son iguales,
  • 3:16 - 3:19
    la proporción de sus lados
    es la misma, también.
  • 3:19 - 3:21
    Así que para estos 3 triángulos similares,
  • 3:21 - 3:25
    uno puede escribir estas expresiones
    para sus lados.
  • 3:33 - 3:36
    A continuación,
    se reorganizan los términos.
  • 3:39 - 3:44
    Y finalmente, se suman las dos ecuaciones
    y se simplifica para obtener
  • 3:44 - 3:52
    ab² + ac² = bc²,
  • 3:52 - 3:58
    o a² + b² = c².
  • 3:58 - 4:00
    Aquí hay una que utiliza la teselación,
  • 4:00 - 4:04
    un patrón geométrico repetitivo
    para una prueba más visual.
  • 4:04 - 4:06
    ¿Puedes ver cómo funciona?
  • 4:06 - 4:08
    Detén el video un momento,
    si quieres, para pensarlo.
  • 4:10 - 4:12
    Aquí está la respuesta.
  • 4:12 - 4:14
    El cuadrado gris oscuro es a²
  • 4:14 - 4:17
    y el gris claro es b².
  • 4:17 - 4:19
    El delineado en azul es c².
  • 4:19 - 4:24
    Cada cuadrado contorneado azul contiene
    las piezas de exactamente una oscuridad
  • 4:24 - 4:26
    y un cuadrado gris claro,
  • 4:26 - 4:29
    probando de nuevo el teorema de Pitágoras.
  • 4:29 - 4:31
    Si realmente te gusta
    convencerte a ti mismo,
  • 4:31 - 4:34
    podrías construir un plato giratorio con
    3 cajas cuadradas de igual profundidad
  • 4:34 - 4:37
    conectados entre sí alrededor
    de un triángulo rectángulo.
  • 4:37 - 4:41
    Si llenas el cuadrado más grande con agua
    y giras el plato giratorio,
  • 4:41 - 4:46
    el agua del cuadrado grande llenará
    perfectamente los dos pequeños.
  • 4:46 - 4:51
    El teorema de Pitágoras tiene
    más de 350 pruebas, y contando,
  • 4:51 - 4:53
    que van desde lo brillante a lo oscuro.
  • 4:53 - 4:56
    ¿Puedes agregar
    la tuya propia a la mezcla?
Title:
¿Cuántas formas hay de demostrar el teorema de Pitágoras? - Betty Fei
Description:

Revisa nuestra página Patreon en: https://www.patreon.com/teded

Para ver la lección completa: https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei

¿Qué tienen Euclides, Einstein de 12 años de edad y el presidente norteamericano James Garfield en común? Todos vinieron con pruebas elegantes del famoso teorema de Pitágoras, una de las reglas más fundamentales de la geometría y la base para aplicaciones prácticas como la construcción de edificios estables y la triangulación de coordenadas del GPS. Betty Fei no detalla estas tres famosas pruebas.

Lección de Betty Fei, animación de Nick Hilditch.

¡Muchas gracias a nuestros patrocinadores por su apoyo! Sin ustedes este video no sería posible.
Steph, Jack Ta, Jose Fernandez-Calvo, PnDAA , Marcel Trompeter-Petrovic, Radoslava Vasileva, Sandra Tersluisen, Fabian Amels, Sammie Goh, Mattia Veltri, Quentin Le Menez, Sarabeth Knobel, Yuh Saito, Joris Debonnet, Martin Lõhmus, Patrick leaming, Heather Slater, Muhamad Saiful Hakimi bin Daud, Dr Luca Carpinelli, Janie Jackson, Jeff Hanevich, Christophe Dessalles, Arturo De Leon, Delene McCoy, Eduardo Briceño, Bill Feaver, Ricardo Paredes, Joshua Downing, Jonathan Reshef, David Douglass, Grant Albert, Paul Coupe.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
05:17

Spanish subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.