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震荡级数发散

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    我们说有这个级数
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    1 减 1 加 1 减 1 加 1 一直这样无限下去
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    我们可以用西格玛符号表示
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    从 n 等于 1 到无穷的和
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    这里有无数项，先看第一项
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    我们希望它是正 1，然后一直变符号
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    所以可以说这是负 1 的 n 减 1 次方
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    检验一下对不对
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    当 n 等于 1 时，它是负 1 的 0 次方，就是这个
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    当 n 等于 2 时，它是 2 减 1，它是
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    负 1 的 1 次方，就等于这个
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    那么这种写法没错
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    现在我想知道这个级数是否收敛于某个有限值
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    或者另一种说法，它的和是多少
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    是否有一个有限的和等于它
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    还是说这个级数是发散的？
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    我们可以先来
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    考虑它的部分和，我写下来
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    这个级数的部分和
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    我们这样定义部分和，给它一个序号
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    大写 N，部分和等于
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    是从 n 等于 1 到大写 N
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    负 1 的 n 减 1 次方的和
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    具体来说，第 1 个部分和
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    就等于从小写 n 等于 1 到大写 N 等于 1
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    所以只有第一项
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    就等于 1
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    S 下标 2，S2 就等于 1 减 1
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    就是前两项的和
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    S 下标 3，S3 等于 1 减 1 加 1
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    是前三项的和，等于
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    等于，这等于 1
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    这个等于 0
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    S 下标 4，我们可以继续，S4 等于
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    1 减 1 加 1 减 1，等于 0
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    再次提问，这个和是否收敛于某个有限值？
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    我建议你暂停视频
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    根据我们定义的部分和来自己思考
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    如果一个级数要收敛，一个
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    无穷级数要收敛，意味着极限
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    如果收敛，收敛也就等价于
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    等价于极限，大写的 N
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    N 趋近无穷大时，部分和
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    等于某个有限值
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    我就这样写，等于某个有限值
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    那么，这个极限等于什么？
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    看看如何写
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    这就等于，S 下标 n
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    如果用通项来写
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    我们已经看到如果大写 N 是奇数，它等于 1
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    如果大写 N 是偶数，它等于 0
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    我们这样写，所以 S 下标 N 可以写成
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    等于 1，如果 N 是奇数
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    等于 0，如果 N 是偶数
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    那么 S_N 趋近无穷大时的极限是什么
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    极限是什么，当 S_N 的 N 趋于无穷时
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    这个极限不存在
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    它在两点之间来回震荡
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    多一项，它就从 1 到 0
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    再多一项，它又从 0 到 1
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    所以实际上它并没有趋近于一个有限值
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    所以它并不存在
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    有点迷惑，因为它是有界的
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    它只是在 1 和 0 之间震荡
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    但是当 n 趋近无穷大时
    它并不趋向于一个特定值
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    所以这里我们会说级数 S 发散
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    级数 S 发散
Title:
震荡级数发散
Description:

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
04:53

Chinese, Simplified subtitles

Incomplete

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