Tính phân kì của chuỗi có dạng triệt tiêu

Mô tả
Các bài học miễn phí khác: http://www.khanacademy.org/video?v=5LMzbgfZ8cA

Ta có tổng như sau,

1 trừ 1 cộng 1 trừ 1 cộng 1 và cứ tiếp tục như thế,

cứ như thế mãi. Ta có thế dùng kí hiệu sigma ở đây.

Đây là tổng từ n bằng 1 cho tới vô cực.

Ta có vô hạn số hạng ở đây nhưng hãy nhìn vào số đầu tiên,

ta muốn nó là cộng 1, sau đó ta muốn nó xen kẽ như thế mãi.

Vậy có thể nói, đây là -1 mũ n trừ 1.

Hãy kiểm tra thử nhé.

Khi n bằng 1, ta có -1 mũ 0, chính là 1.

Khi n bằng 2, ta có 2 trừ 1, vậy đây sẽ là -1 mũ 1,

là bằng -1.

Vậy đây chính là cách ta viết chuỗi này.

Giờ điều mình đang suy nghĩ là, liệu chuỗi này có hội tụ tới một giá trị hữu hạn nào đó không?

Hoặc, nói một cách khác, tổng của nó là gì?

Có một tổng hữu hạn nào đó bằng với chuỗi này không?

Hay là đây là chuỗi phân kì?

Một cách để ta tìm câu trả lời,

là hãy nghĩ về tổng 1 phần của nó. Để mình viết xuống đây.

Các tổng 1 phần của chuỗi này.

Cách để chúng ta xác định tổng 1 phần, ta sẽ để chỉ số vào đây.

Chữ N viết hoa, vậy tổng 1 phần sẽ là,

tổng từ n bằng 1, không phải vô cực, cho tới,

N viết hoa của -1 mũ n trừ 1.

Để làm rõ ý nghĩa của nó, tổng một phần,

với một số hạng sẽ chỉ là đi từ n bằng 1 cho tới N bằng 1.

Vậy nó sẽ đơn thuần là số hạng đầu tiên ở đây.

Nó sẽ bằng 1.

Còn S với chỉ số 2, S2 sẽ là 1 trừ đi 1.

S2 là tổng của 2 số hạng đầu.

S với chỉ số 3, S3 sẽ là 1 trừ 1 cộng 1.

S3 là tổng của 3 số hạng đầu, và nó sẽ bằng,

xem nào, bằng 1.

Còn ở đây là bằng 0.

S với chỉ số 4, S4 sẽ bằng,

1 trừ 1 cộng 1 trừ 1, thế là lại bằng 0.

Vậy một lần nữa, câu hỏi là, tổng này có hội tụ tại một giá trị hữu hạn nào đó không?

Mình khuyên bạn hãy dừng video lại và thử làm.

Tự làm dựa trên kiến thức về tổng 1 phần.

Để một chuỗi có thể hội tụ,

một chuỗi vô hạn hội tụ, nghĩa là giới hạn ở đây,

nếu ta có sự hội tụ, sự hội tụ giống với

việc ta có giới hạn,

giới hạn của tổng 1 phần khi N tiến đến vô cực

bằng với một số hữu hạn.

Để mình viết nó ra, bằng với một số hữu hạn, một giá trị hữu hạn.

Vậy, giới hạn sẽ là gì?

Tính thế nào đây.

Nó sẽ bằng, xem nào Sn,

ta muốn viết nó dưới dạng tổng quát.

Ta biết rằng S, nếu N là số lẻ, S sẽ bằng 1.

Nếu N là số chẵn, S sẽ bằng 0.

Vậy ta viết xuống, SN, mình sẽ viết là,

SN sẽ bằng 1 nếu N là số lẻ.

Và sẽ bằng 0 nếu N là số chẵn.

Vậy giới hạn là gì nếu SN tiến tới vô cực?

Giới hạn, khi N tiến tới vô cực, của SN sẽ là gì?

Chà, giới hạn đó không tồn tại.

Nó cứ giao động giữa những điểm này.

Bạn cho mình, bạn cho mình thêm 1 số, nó sẽ chuyển từ 1 sang 0.

Bạn cho mình thêm 1 số nữa, nó lại chuyển từ 0 sang 1.

Vậy nó không tiến tới một giá trị hữu hạn.

Vậy giới hạn ở đây không tồn tại. Không tồn tại.

Nó chỉ giao động giữa 1 và 0.

Nó không đi tới một giá trị riêng biệt khi N tiến tới vô cực.

Vậy ta nói chuỗi S này phân kì.

Chuỗi S của ta là chuỗi phân kì.