Divergence of telescoping series

Digamos que temos a soma

um menos um mais um,
menos um, mais um...

e isso continua assim para sempre
e podemos escrever isso como uma

notação Sigma. Isso seria igual a soma
n minúsculo igual a um ao infinito.

Nós temos um número infinito de termos
aqui, mas vemos apenas o primeiro

nós queremos que seja um positivo, e aí
queremos que continue alternando o sinal.

Então podemos dizer que isso é um negativo
elevado a n minúsculo menos um.

Vamos verificar se isso funciona.

Quando n é igual a um, é um negativo
elevado a potência zero, o que é isso.

Quando n é igual a dois, é dois
menos um; é um negativo

elevado a primeira potência, o que
é igual a aquilo bem ali.

Então essa é a maneira de
escrever essa série.

Agora o que eu quero pensar é se
essa série converge para um valor finito.

Ou, e essa é outra maneira de dizer,
qual é a soma?

Existe uma soma finita que é igual a

isso bem aqui, ou essa serie diverge?

E a maneira com a qual podemos
pensar sobre isso é

pensando sobre a soma parcial,
deixe-me escrever isso.

A parcial, a soma parcial dessa série.

E a maneira que podemos definir as somas
parciais, então vamos classificar aqui.

Então N maiúsculo, a soma parcial será
a soma de n é igual a um,

mas não ao infinito, e sim
ao N maiúsculo de

um negativo, elevado a n menos um.

Então só para ser claro, o que isso
significa, a soma particial com

apenas um termo, será de n minúsculo
igual a um, até N maiúsculo igual a um.

Então será este primeiro
termo bem aqui.

Será um.

O S 2 será igual a um menos um

Será a soma dos dois primeiros termos

S 3 será um menos um mais um.

É a soma dos três primeiros termos,
a qual é, claro, igual à

Vamos ver, isso é igual a um.

Esse bem aqui é igual a zero.

S 4, nós continuamos.
S 4 vai ser

um menos um mais um menos um
o que é igual a zero novamente,

Então mais uma vez, a questão é,
essa soma converge para um valor finito?

E eu encorajo você a pausar
o video e pensar sobre isso.

Dado o que nós vimos sobre
a soma parcial bem aqui.

Então, de modo para que uma série
convirja, isso significa que o limite,

Então se você é uma convergência,

convergência é a mesma coisa que dizer

É o mesmo que dizer que o limite
como N maiúsculo

se aproxima do infinito
de nossa soma parcial

que é igual a algo finito.

Deixe-me escrever isso, é igual
a algum finito, um valor finito.

Então, qual será esse limite?

Bem, vamos ver se podemos escrever isso.

Isso será, vamos ver, Sn

se quisermos escrever isso
em termos gerais.

Nós já vimos que se N maiúsculo
é ímpar, é igual a um.

Se N maiúsculo é par,
é igual a zero.

Nós podemos escrever isso, vamos
escrever. Então Sn, eu posso escrever assim,

será um se N for ímpar.

será zero se N for par.

Então qual é o limite quando Sn se
aproxima do infinito.

Qual o limite, a medida que N se aproxima
do infinito de Sn

Bem, o limite não existe.

Continua oscilando estre esses dois pontos

Se você me da um, vai de um a zero,

me dê mais um e vai de zero a um.

Então na verdade não está aproximando
de um valor finito.

Então isso bem aqui não existe.

É tentador, porque é limitado.

É apenas, fica oscilando entre um e zero.

Mas não se direciona para um valor
especifico enquando N se aproxima do infinito.

Então aqui nós diriamos que
nossa série S diverge.

Nossa série S, diverge.

Legendado por [Douglas H. da Silva]