Разходимост на телескопични редове

Да кажем, че имаме сумата

1 – 1 + 1 – 1 + 1...
и така продължава

и продължава до безкрайност,
и можем да я запишем със знак сигма.

Това е сумата за n (малка буква n)
от 1 до безкрайност.

Тук има безкраен брой членове, но
ние виждаме само първия,

който е +1, а после само
се сменят знаците.

Можем да кажем, че това е
равно на –1 на степен (n –1).

Само да проверим дали
е вярно.

Когато n е равно на 1, това е
–1 на нулева степен, което е така.

Когато n е равно на 2, това
е 2 – 1, получаваме

–1 на първа степен,
което е равно на това тук.

Значи това е начин
да запишем реда.

Сега искам да определим дали този ред
е сходящ към някаква крайна стойност.

Казано по друг начин –
на колко е равна тази сума?

Има ли крайна сума, която
е равна

на този израз тук,
или този ред е разходящ?

Начинът, по който можем
да разглеждаме това,

е да вземем частични суми,
ще го напиша тук.

Частични суми на реда.

Можем да дефинираме частичните
суми като поставим индекс.

Главно N, тази частична
сума ще бъде

сумата за n от 1, но не до
безкрайност, а до N,

сумата от (–1) на степен (n – 1).

Само да поясня какво
означава това – частичната сума

само от един член е за
n от 1 до N = 1.

Това е този първи член тук.

Това е просто 1.

S_2 е равно на 1 – 1.

Това е сумата от
първите два члена.

S_3 е 1 –1 + 1.

Това е сборът от първите
три члена, който е равен на...

да видим, равен е на 1.

Това тук е равно на нула.

S_4, можем да продължим,
това е равно на

1 – 1 + 1 – 1, което
отново е равно на 0.

Повтарям, въпросът е дали тази сума
е сходяща към някаква крайна стойност.

Насърчавам те да спреш
видеото на пауза и да помислиш,

като имаш дадени тези
частични суми тук.

За да бъде един ред сходящ,
това означава, че границата...

една безкрайна сума е сходяща, когато
границата... ако имаме

сходимост, това е същото като
да кажем, че

границата, когато N клони към безкрайност
на нашата частична сума

е равна на някакво
крайно число.

Ще го напиша така: е равно
на някаква крайна стойност.

Каква ще бъде тази граница?

Да видим, ако можем
да напишем това,

това ще бъде,
да видим S_N,

ако искаме да дадем
общия случай.

Вече видяхме, че ако N е нечетно,
това е равно на 1.

Ако N е четно, това
е равно на нула.

Можем да запишем, че
S_N... мога да запиша така:

ще бъде 1 за N нечетно,

и ще бъде 0 за N четно.

Тогава каква е границата,
когато S_N клони към безкрайност?

Каква е границата за N клонящо
към безкрайност на сумата S_N?

Такава граница
не съществува.

Сумата се колебае
между две стойности.

Добавяш още един член
и тя става от 1 на 0.

Добавяме още един член
и става от 0 на 1.

Така че тя не клони
към някаква крайна стойност.

Това не съществува.

Изкущаващо е, защото
е ограничено.

Обаче то само се колебае
между 0 и 1.

Но не клони към никоя определена стойност,
когато N клони към безкрайност.

Можем да кажем, че
нашата сума S е разходяща.

Редът S е разходящ.