< Return to Video

Angle Bisector Theorem Proof

  • 0:00 - 0:02
    Til å starte med vil vi vise,
  • 0:02 - 0:05
    hva setningen om vinkelhalveringslinjer er,
  • 0:05 - 0:06
    og deretter vil vi
  • 0:06 - 0:08
    bevise den.
  • 0:08 - 0:11
    Her har vi en vilkårlig trekant,
  • 0:11 - 0:13
    trekant ABC.
  • 0:13 - 0:14
    Vi starter med å
  • 0:14 - 0:16
    tegne en vinkelhalveringslinje for denne vinkelen.
  • 0:16 - 0:19
    Vi kunne ha tagnet den for en hvilken
  • 0:19 - 0:21
    som helst av de tre vinkelen, men nå velger vi denne her.
  • 0:21 - 0:22
    Det vil gjøre beviset en smule lettere.
  • 0:22 - 0:26
    Vi halverer vinkelen B (vinkel ABC).
  • 0:26 - 0:30
    La oss kalle den vinkelhalveringslinjen for vinkel ABC.
  • 0:30 - 0:35
    Denne vinkelen er like stor som denne vinkelen.
  • 0:35 - 0:37
    La oss kalle
  • 0:37 - 0:39
    dette punktet D.
  • 0:39 - 0:46
    .
  • 0:46 - 0:51
    .
  • 0:51 - 0:54
    Da vi tegner denne vinkelhalveringslinjen,
  • 0:54 - 0:56
    dannet de to mindre trekanter ut fra den store.
  • 0:56 - 0:59
    Setningen for vinkelhalveringslinjer forteller oss,
  • 0:59 - 1:02
    at størrelsesforholdet mellom de to trekantene, vi har dannet
  • 1:02 - 1:04
    er like.
  • 1:04 - 1:10
    Det forteller oss altså, at størrelsesforholdet mellom AB og
  • 1:10 - 1:20
    AD er lik størrelsesforholdet mellom BC og CD.
  • 1:20 - 1:26
    Altså vil størrelsesforholdet
  • 1:26 - 1:32
    mellom de her 2
  • 1:32 - 1:34
    være lik med
  • 1:34 - 1:40
    størrelsesforholdet mellom de 2.
  • 1:40 - 1:41
    .
  • 1:41 - 1:42
    .
  • 1:42 - 1:44
    Når man ser, at størrelsesforholdet mellom de 2
  • 1:44 - 1:46
    er lik med størrelsesforholdet mellom de 2
  • 1:46 - 1:47
    er det et nydelig resultat.
  • 1:47 - 1:49
    Vi kan dog ikke uten videre akseptere det,
  • 1:49 - 1:51
    bare fordi det er en nydelig resultat.
  • 1:51 - 1:53
    Vi vil gjerne bevise, at det er riktig.
  • 1:53 - 1:55
    Vi kan forestille os,
  • 1:55 - 1:56
    at vi her har oppsatt noen størrelsesforhold.
  • 1:56 - 1:59
    Vi vil bevise det ved å bruke den like trekanter,
  • 1:59 - 2:00
    men dessverre for oss
  • 2:00 - 2:02
    er disse to trekantene ikke
  • 2:02 - 2:04
    nødvendigvis like.
  • 2:04 - 2:05
    .
  • 2:05 - 2:06
    Vi vet, at disse
  • 2:06 - 2:07
    to vinklene er tilsvarende,
  • 2:07 - 2:09
    men vi vet ikke om den her vinkelen er like stor
  • 2:09 - 2:09
    som den her vinkelen
  • 2:09 - 2:10
    eller den her vinkelen.
  • 2:10 - 2:12
    Vi kan ikke uten videre påstå det.
  • 2:12 - 2:15
    For å kunne påstå det,
  • 2:15 - 2:16
    må vi først
  • 2:16 - 2:17
    konstruere enda en trekant,
  • 2:17 - 2:19
    som er lik med en av de her trekantene.
  • 2:19 - 2:20
    .
  • 2:20 - 2:24
    En måte å gjøre det på
  • 2:24 - 2:25
    er å tegne en linje til.
  • 2:25 - 2:27
    .
  • 2:27 - 2:28
    .
  • 2:28 - 2:30
    Beviset er kanskje en smule komplisert,
  • 2:30 - 2:31
    men vi går stille og rolig gjennom det.
  • 2:31 - 2:33
    .
  • 2:33 - 2:35
    Vi kan forlenge halveringslinjen,
  • 2:35 - 2:38
    altså halveringslinjen fra før,
  • 2:38 - 2:39
    .
  • 2:39 - 2:40
    .
  • 2:40 - 2:42
    så den bare fortsetter
  • 2:42 - 2:43
    videre og videre.
  • 2:43 - 2:45
    Kanskje kan vi konstruere en trekant
  • 2:45 - 2:47
    lik til den her,
  • 2:47 - 2:49
    hvis vi tegner en linje, som er
  • 2:49 - 2:52
    parallell med linen AB her.
  • 2:52 - 2:53
    La oss gjøre det.
  • 2:53 - 2:54
    .
  • 2:54 - 2:55
    .
  • 2:55 - 2:59
    Hvis punktet C ikke er på AB, kan vi alltid finne et punkt eller en linje,
  • 2:59 - 3:01
    som går gjennom C,
  • 3:01 - 3:02
    og så er parallell til AB.
  • 3:02 - 3:03
    .
  • 3:03 - 3:05
    La oss
  • 3:05 - 3:07
    tegne en linje til her,
  • 3:07 - 3:09
    og la oss kalle det her
  • 3:09 - 3:11
    punktet for F.
  • 3:11 - 3:14
    La oss tegne den her linjen,
  • 3:14 - 3:17
    så FC er parallel med AB.
  • 3:17 - 3:20
    .
  • 3:20 - 3:25
    La oss si, at FC er parallell med AB.
  • 3:25 - 3:26
    .
  • 3:26 - 3:28
    Vi har nå noen interessante ting å se på.
  • 3:28 - 3:30
    Grunnen til, at vi gjorde det på denne måten er,
  • 3:30 - 3:32
    at de her 2 trekantene nå er like.
  • 3:32 - 3:35
    La oss se, hva som skjer.
  • 3:35 - 3:36
    Før vi begynner å snakka om, om de er like,
  • 3:36 - 3:38
    så la oss se på noen av vinklene
  • 3:38 - 3:40
    og hva vi vet om de.
  • 3:40 - 3:44
    Vi vet, at vi har innvendige vinkler.
  • 3:44 - 3:46
    .
  • 3:46 - 3:49
    Vi kan forestille oss, at AB fortsetter på en her måten,
  • 3:49 - 3:51
    og FC fortsetter på denne måten.
  • 3:51 - 3:54
    Linjen BD er en transversal.
  • 3:54 - 3:57
    Hvor stor den her vinkelen er,
  • 3:57 - 3:59
    vil den her vinkelen være like stor.
  • 3:59 - 4:01
    .
  • 4:01 - 4:02
    .
  • 4:02 - 4:04
  • 4:04 - 4:05
    .
  • 4:05 - 4:07
    De her 2 vinklene
  • 4:07 - 4:08
    er altså like.
  • 4:08 - 4:09
    Men den her vinklene og denne vinkelen
  • 4:09 - 4:10
    er også like,
  • 4:10 - 4:11
    fordi denne vinklene og denne vinklen
  • 4:11 - 4:12
    er like.
  • 4:12 - 4:15
    Det her er en vinkelhalveringslinje, og fordi det er en
  • 4:15 - 4:17
    vinkelhalveringslinje, vet vi, at vinkel ABD
  • 4:17 - 4:19
    er det samme som vinkel DBC.
  • 4:19 - 4:21
    Så hvor stor, den her vinkelen er,
  • 4:21 - 4:22
    er den her og denne vinkelen like store.
  • 4:22 - 4:24
    Det gir oss
  • 4:24 - 4:26
    et interessant resultat.
  • 4:26 - 4:27
    .
  • 4:27 - 4:31
    Hvis vi ser på den store trekanten BFC,
  • 4:31 - 4:35
    har vi to bunnvinkler, som er like store,
  • 4:35 - 4:37
    som betyr, at de må være en likebeint trekant.
  • 4:37 - 4:43
    Altså må BC være det samme som FC.
  • 4:43 - 4:45
    .
  • 4:45 - 4:46
    Vi brukte altså bare transversalen
  • 4:46 - 4:48
    og de innvendige vinklene
  • 4:48 - 4:49
    til å vise, at de her er likebeinte,
  • 4:49 - 4:51
    og at BC og FC er det samme.
  • 4:51 - 4:53
    Det kan være brukbart,
  • 4:53 - 4:54
    for vi har en
  • 4:54 - 4:57
    følelse av,
  • 4:57 - 4:59
    at den her trekanten og denne trekanten
  • 4:59 - 5:00
    er like.
  • 5:00 - 5:01
    Vi har ikke bevist det enda,
  • 5:01 - 5:03
    men hvordan vil det hjelpe oss med
  • 5:03 - 5:04
    å finne ut av noen om BC?
  • 5:04 - 5:06
    Vi viste, at BC og FC
  • 5:06 - 5:08
    er det samme.
  • 5:08 - 5:10
    Altså vil det her være det samme.
  • 5:10 - 5:11
    .
  • 5:11 - 5:13
    Hvis vi kan bevise, at størrelsesforholdet mellom
  • 5:13 - 5:14
    AB og AD er det samme som
  • 5:14 - 5:18
    størrelsesforholdet mellom FC og CD,
  • 5:18 - 5:21
    er vi faktisk ferdige, for vi har akkurat vist,
  • 5:21 - 5:22
    at BC er lik med FC.
  • 5:22 - 5:24
    .
  • 5:24 - 5:25
    La oss se på setningen.
  • 5:25 - 5:27
    FC er parallell med AB.
  • 5:27 - 5:31
    .
  • 5:31 - 5:32
    .
  • 5:32 - 5:34
    La oss nå se på noen av de andre vinklene.
  • 5:34 - 5:36
    .
  • 5:36 - 5:37
    .
  • 5:37 - 5:38
    .
  • 5:38 - 5:40
    Hvis vi ser på trekant ABD
  • 5:40 - 5:41
    .
  • 5:41 - 5:43
    og trekant FDC
  • 5:43 - 5:44
    har vi allerede funnet ut av,
  • 5:44 - 5:45
    at de har et sett vinkler,
  • 5:45 - 5:46
    .
  • 5:46 - 5:47
    som er like.
  • 5:47 - 5:48
    .
  • 5:48 - 5:50
    ABD har den her
  • 5:50 - 5:51
    vinkelen her,
  • 5:51 - 5:52
    .
  • 5:52 - 5:53
    som er en motstående vinkel
  • 5:53 - 5:53
    med denne vinkelen
  • 5:53 - 5:54
    her.
  • 5:54 - 5:55
    De er altså tilsvarende.
  • 5:55 - 5:56
    Ut fra hva vi vet om en liksidede trekanter, vet vi nå,
  • 5:56 - 5:57
    at hvis 2 trekanter har
  • 5:57 - 5:58
    2 like vinkler
  • 5:58 - 5:59
    så er den tredje
  • 5:59 - 6:00
    vinkelen alltid den samme også.
  • 6:00 - 6:01
    .
  • 6:01 - 6:03
    .
  • 6:03 - 6:05
    så de her 2 trekantene er formlike.
  • 6:05 - 6:07
    Det skriver vi ned.
  • 6:07 - 6:09
    .
  • 6:09 - 6:11
    .
  • 6:11 - 6:13
    Vi starter med den grønne vinkelen
  • 6:13 - 6:16
    og tar deretter den blå vinkelen.
  • 6:16 - 6:21
    Trekanten BDA er formlik med
  • 6:21 - 6:24
    .
  • 6:24 - 6:31
    trekant FDC.
  • 6:31 - 6:33
    Vi vil gjerne slutte med å komme
  • 6:33 - 6:34
    til setningen om vinkelhalveringslinjer.
  • 6:34 - 6:36
    Vi ser på størrelsesforholdet mellom AB og AD.
  • 6:36 - 6:41
    Enten kan vi se på
  • 6:41 - 6:43
    størrelsesforholdet mellom de hosliggende sidene,
  • 6:43 - 6:44
    som vil være like på
  • 6:44 - 6:46
    formlike trekanter,
  • 6:46 - 6:47
    eller vi kan finne størrelsesforholdet
  • 6:47 - 6:50
    mellom 2 sider i den ene trekanten
  • 6:50 - 6:51
    og sammenligne det med størrelsesforholdet
  • 6:51 - 6:54
    mellom de samme 2 like sidene på den formlike trekanten.
  • 6:54 - 6:55
    De burde være det samme.
  • 6:55 - 6:56
    .
  • 7:01 - 7:03
    .
  • 7:03 - 7:05
    .
  • 7:05 - 7:06
    .
  • 7:06 - 7:06
    .
  • 7:06 - 7:12
    Vi vet, at størrelsesforholdet mellom AB og AD
  • 7:12 - 7:13
    vil være lik
  • 7:13 - 7:14
    og vi kan se her for
  • 7:14 - 7:15
    å finne de tilsvarende sidene.
  • 7:15 - 7:16
    .
  • 7:16 - 7:18
    Den tilsvarende siden
  • 7:18 - 7:19
    er CF -
  • 7:19 - 7:21
    vil være lik med
  • 7:21 - 7:25
    CF over AD. AD er det samme som CD,
  • 7:25 - 7:28
    altså CF over CD.
  • 7:28 - 7:29
    Nå vet vi, at størrelsesforholdet mellom
  • 7:29 - 7:33
    AB og AD er lik med størrelsesforholdet mellom CF og CD.
  • 7:33 - 7:35
    Vi har dog akkurat bevist,
  • 7:35 - 7:36
    at fordi det er en likebeint trekant,
  • 7:36 - 7:39
    er CF det samme som BC
  • 7:39 - 7:40
    her.
  • 7:40 - 7:43
    .
  • 7:43 - 7:44
    Nå er vi ferdige.
  • 7:44 - 7:45
    Vi har akkurat bevist, at AB over AD
  • 7:45 - 7:48
    er lik BC over CD.
  • 7:48 - 7:49
    Vi har altså
  • 7:49 - 7:50
    gjort 2 ting.
  • 7:50 - 7:53
    Det første var å danne den andre trekanten.
  • 7:53 - 7:55
    .
  • 7:55 - 7:56
    Når vi forestiller oss, at de her var parallelle,
  • 7:56 - 7:58
    ga det oss 2 ting.
  • 7:58 - 8:00
    Det ga oss enda en vinkel
  • 8:00 - 8:01
    og viste oss, at de er like.
  • 8:01 - 8:02
    .
  • 8:02 - 8:03
    .
  • 8:03 - 8:05
    .
  • 8:11 - 8:12
    .
  • 8:12 - 8:13
    Da vi dannet den trekanten her,
  • 8:13 - 8:15
    ble vi i stand til å vise, at de er like
  • 8:15 - 8:17
    og at de dannet denne større
  • 8:17 - 8:18
    likebeinte trekanten for å vise,
  • 8:18 - 8:19
    at hvis vi kan finne størrelsesforholdet mellom
  • 8:19 - 8:20
    2 sider i de her
  • 8:20 - 8:21
    trekantene,
  • 8:21 - 8:22
    vil det være lik med størrelsesforholdet mellom de her.
  • 8:22 - 8:24
    Hvis vi kan finne
  • 8:24 - 8:25
    størrelsesforholdet mellom den her siden og den her siden,
  • 8:25 - 8:26
    er det samme som størrelsesforholdet
  • 8:26 - 8:27
    mellom de her 2 sidene.
  • 8:27 - 8:29
    Det svarer til å vise,
  • 8:29 - 8:30
    at størrelsesforholdet mellom den her siden
  • 8:30 - 8:31
    og den her siden er det samme
  • 8:31 - 8:32
    som størrelsesforholdet mellom BC og CD,
  • 8:32 - 6000:00
    og vi er dermed ferdige.
Title:
Angle Bisector Theorem Proof
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
08:35

Norwegian Bokmal subtitles

Revisions