-
Til å starte med vil vi vise,
-
hva setningen om vinkelhalveringslinjer er,
-
og deretter vil vi
-
bevise den.
-
Her har vi en vilkårlig trekant,
-
trekant ABC.
-
Vi starter med å
-
tegne en vinkelhalveringslinje for denne vinkelen.
-
Vi kunne ha tagnet den for en hvilken
-
som helst av de tre vinkelen, men nå velger vi denne her.
-
Det vil gjøre beviset en smule lettere.
-
Vi halverer vinkelen B (vinkel ABC).
-
La oss kalle den vinkelhalveringslinjen for vinkel ABC.
-
Denne vinkelen er like stor som denne vinkelen.
-
La oss kalle
-
dette punktet D.
-
.
-
.
-
Da vi tegner denne vinkelhalveringslinjen,
-
dannet de to mindre trekanter ut fra den store.
-
Setningen for vinkelhalveringslinjer forteller oss,
-
at størrelsesforholdet mellom de to trekantene, vi har dannet
-
er like.
-
Det forteller oss altså, at størrelsesforholdet mellom AB og
-
AD er lik størrelsesforholdet mellom BC og CD.
-
Altså vil størrelsesforholdet
-
mellom de her 2
-
være lik med
-
størrelsesforholdet mellom de 2.
-
.
-
.
-
Når man ser, at størrelsesforholdet mellom de 2
-
er lik med størrelsesforholdet mellom de 2
-
er det et nydelig resultat.
-
Vi kan dog ikke uten videre akseptere det,
-
bare fordi det er en nydelig resultat.
-
Vi vil gjerne bevise, at det er riktig.
-
Vi kan forestille os,
-
at vi her har oppsatt noen størrelsesforhold.
-
Vi vil bevise det ved å bruke den like trekanter,
-
men dessverre for oss
-
er disse to trekantene ikke
-
nødvendigvis like.
-
.
-
Vi vet, at disse
-
to vinklene er tilsvarende,
-
men vi vet ikke om den her vinkelen er like stor
-
som den her vinkelen
-
eller den her vinkelen.
-
Vi kan ikke uten videre påstå det.
-
For å kunne påstå det,
-
må vi først
-
konstruere enda en trekant,
-
som er lik med en av de her trekantene.
-
.
-
En måte å gjøre det på
-
er å tegne en linje til.
-
.
-
.
-
Beviset er kanskje en smule komplisert,
-
men vi går stille og rolig gjennom det.
-
.
-
Vi kan forlenge halveringslinjen,
-
altså halveringslinjen fra før,
-
.
-
.
-
så den bare fortsetter
-
videre og videre.
-
Kanskje kan vi konstruere en trekant
-
lik til den her,
-
hvis vi tegner en linje, som er
-
parallell med linen AB her.
-
La oss gjøre det.
-
.
-
.
-
Hvis punktet C ikke er på AB, kan vi alltid finne et punkt eller en linje,
-
som går gjennom C,
-
og så er parallell til AB.
-
.
-
La oss
-
tegne en linje til her,
-
og la oss kalle det her
-
punktet for F.
-
La oss tegne den her linjen,
-
så FC er parallel med AB.
-
.
-
La oss si, at FC er parallell med AB.
-
.
-
Vi har nå noen interessante ting å se på.
-
Grunnen til, at vi gjorde det på denne måten er,
-
at de her 2 trekantene nå er like.
-
La oss se, hva som skjer.
-
Før vi begynner å snakka om, om de er like,
-
så la oss se på noen av vinklene
-
og hva vi vet om de.
-
Vi vet, at vi har innvendige vinkler.
-
.
-
Vi kan forestille oss, at AB fortsetter på en her måten,
-
og FC fortsetter på denne måten.
-
Linjen BD er en transversal.
-
Hvor stor den her vinkelen er,
-
vil den her vinkelen være like stor.
-
.
-
.
-
-
.
-
De her 2 vinklene
-
er altså like.
-
Men den her vinklene og denne vinkelen
-
er også like,
-
fordi denne vinklene og denne vinklen
-
er like.
-
Det her er en vinkelhalveringslinje, og fordi det er en
-
vinkelhalveringslinje, vet vi, at vinkel ABD
-
er det samme som vinkel DBC.
-
Så hvor stor, den her vinkelen er,
-
er den her og denne vinkelen like store.
-
Det gir oss
-
et interessant resultat.
-
.
-
Hvis vi ser på den store trekanten BFC,
-
har vi to bunnvinkler, som er like store,
-
som betyr, at de må være en likebeint trekant.
-
Altså må BC være det samme som FC.
-
.
-
Vi brukte altså bare transversalen
-
og de innvendige vinklene
-
til å vise, at de her er likebeinte,
-
og at BC og FC er det samme.
-
Det kan være brukbart,
-
for vi har en
-
følelse av,
-
at den her trekanten og denne trekanten
-
er like.
-
Vi har ikke bevist det enda,
-
men hvordan vil det hjelpe oss med
-
å finne ut av noen om BC?
-
Vi viste, at BC og FC
-
er det samme.
-
Altså vil det her være det samme.
-
.
-
Hvis vi kan bevise, at størrelsesforholdet mellom
-
AB og AD er det samme som
-
størrelsesforholdet mellom FC og CD,
-
er vi faktisk ferdige, for vi har akkurat vist,
-
at BC er lik med FC.
-
.
-
La oss se på setningen.
-
FC er parallell med AB.
-
.
-
.
-
La oss nå se på noen av de andre vinklene.
-
.
-
.
-
.
-
Hvis vi ser på trekant ABD
-
.
-
og trekant FDC
-
har vi allerede funnet ut av,
-
at de har et sett vinkler,
-
.
-
som er like.
-
.
-
ABD har den her
-
vinkelen her,
-
.
-
som er en motstående vinkel
-
med denne vinkelen
-
her.
-
De er altså tilsvarende.
-
Ut fra hva vi vet om en liksidede trekanter, vet vi nå,
-
at hvis 2 trekanter har
-
2 like vinkler
-
så er den tredje
-
vinkelen alltid den samme også.
-
.
-
.
-
så de her 2 trekantene er formlike.
-
Det skriver vi ned.
-
.
-
.
-
Vi starter med den grønne vinkelen
-
og tar deretter den blå vinkelen.
-
Trekanten BDA er formlik med
-
.
-
trekant FDC.
-
Vi vil gjerne slutte med å komme
-
til setningen om vinkelhalveringslinjer.
-
Vi ser på størrelsesforholdet mellom AB og AD.
-
Enten kan vi se på
-
størrelsesforholdet mellom de hosliggende sidene,
-
som vil være like på
-
formlike trekanter,
-
eller vi kan finne størrelsesforholdet
-
mellom 2 sider i den ene trekanten
-
og sammenligne det med størrelsesforholdet
-
mellom de samme 2 like sidene på den formlike trekanten.
-
De burde være det samme.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
Vi vet, at størrelsesforholdet mellom AB og AD
-
vil være lik
-
og vi kan se her for
-
å finne de tilsvarende sidene.
-
.
-
Den tilsvarende siden
-
er CF -
-
vil være lik med
-
CF over AD. AD er det samme som CD,
-
altså CF over CD.
-
Nå vet vi, at størrelsesforholdet mellom
-
AB og AD er lik med størrelsesforholdet mellom CF og CD.
-
Vi har dog akkurat bevist,
-
at fordi det er en likebeint trekant,
-
er CF det samme som BC
-
her.
-
.
-
Nå er vi ferdige.
-
Vi har akkurat bevist, at AB over AD
-
er lik BC over CD.
-
Vi har altså
-
gjort 2 ting.
-
Det første var å danne den andre trekanten.
-
.
-
Når vi forestiller oss, at de her var parallelle,
-
ga det oss 2 ting.
-
Det ga oss enda en vinkel
-
og viste oss, at de er like.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
Da vi dannet den trekanten her,
-
ble vi i stand til å vise, at de er like
-
og at de dannet denne større
-
likebeinte trekanten for å vise,
-
at hvis vi kan finne størrelsesforholdet mellom
-
2 sider i de her
-
trekantene,
-
vil det være lik med størrelsesforholdet mellom de her.
-
Hvis vi kan finne
-
størrelsesforholdet mellom den her siden og den her siden,
-
er det samme som størrelsesforholdet
-
mellom de her 2 sidene.
-
Det svarer til å vise,
-
at størrelsesforholdet mellom den her siden
-
og den her siden er det samme
-
som størrelsesforholdet mellom BC og CD,
-
og vi er dermed ferdige.