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Angle Bisector Theorem Proof

  • 0:00 - 0:02
    제가 처음으로 하고 싶은 것은
  • 0:02 - 0:05
    각의 이등분선 정리가 무엇인지 보여주고
  • 0:05 - 0:06
    우리가 직접
  • 0:06 - 0:08
    증명해보도록 하겠습니다
  • 0:08 - 0:11
    여기에 임의의 삼각형 하나가 있습니다
  • 0:11 - 0:13
    삼각형 ABC죠
  • 0:13 - 0:14
    그리고 위쪽에 있는 각에 대한
  • 0:14 - 0:16
    각의 이등분선을 그리도록 하겠습니다
  • 0:16 - 0:19
    사실 세 각들 중 아무 각으로 해도 되지만
  • 0:19 - 0:21
    그냥 이 각으로 하겠습니다
  • 0:21 - 0:22
    증명이 좀 더 수월해질테니까요
  • 0:22 - 0:26
    각 ABC를 이등분해보도록 하죠
  • 0:26 - 0:30
    이게 각 ABC의 이등분선이라고 합시다
  • 0:30 - 0:35
    그래서 여기 이 각은 저 각과 크기가 같습니다
  • 0:35 - 0:37
    그리고 아래쪽에 있는 점을
  • 0:37 - 0:39
    점 D라고 부르기로 합시다
  • 0:39 - 0:46
    각의 이등분선 정리는
  • 0:46 - 0:51
    이등분선을 제외한 다른 변들의 길이 비가 같다고 말합니다
  • 0:51 - 0:54
    그러니까 여기에 각의 이등분선을 그리면
  • 0:54 - 0:56
    큰 삼각형이 두 개의 작은 삼각형들로 분할되죠
  • 0:56 - 0:59
    각의 이등분선 정리는
  • 0:59 - 1:02
    우리가 방금 만든 두 삼각형의 변들이 비율이
  • 1:02 - 1:04
    같을거라고 말하고 있습니다
  • 1:04 - 1:10
    즉 선 AB와 선 AD의 비율이
  • 1:10 - 1:20
    선 BC와 선 CD의 비율과 같다는 거죠
  • 1:20 - 1:26
    그러니까, 색칠해서 구분해보자면
  • 1:26 - 1:32
    여기 보이는 선 AB와 선 AD의 비율이
  • 1:32 - 1:34
    선 BC와
  • 1:34 - 1:40
    여기보이는 선 CD의 비율과
  • 1:40 - 1:41
    같아질거라고
  • 1:41 - 1:42
    말하고 있습니다
  • 1:42 - 1:44
    그러니까 AB와 AD의 비율이
  • 1:44 - 1:46
    BC와 CD의 비율과 같다는 것을 보면
  • 1:46 - 1:47
    흥미로운 결과가 아닐 수 없죠
  • 1:47 - 1:49
    하지만 단순히 멋있는 결과라고 해서
  • 1:49 - 1:51
    무작정 믿어버리면 안됩니다
  • 1:51 - 1:53
    우리 스스로 증명해보아야 하죠
  • 1:53 - 1:55
    여기보면 우리가 미리 만들어놓은
  • 1:55 - 1:56
    비율들이 있습니다
  • 1:56 - 1:59
    그래서 비슷한 삼각형들을 이용하여 증명해볼건데요
  • 1:59 - 2:00
    불행히도
  • 2:00 - 2:02
    여기 보이는 두 삼각형들이
  • 2:02 - 2:04
    그다지 비슷해보이지는 않네요
  • 2:04 - 2:05
    우리는
  • 2:05 - 2:06
    여기 보이는 두 각들이
  • 2:06 - 2:07
    같다는 것은 알고 있지만
  • 2:07 - 2:09
    이 각이
  • 2:09 - 2:09
    저 각과 크기가 같은지는
  • 2:09 - 2:10
    모릅니다
  • 2:10 - 2:12
    우리는 두 각들의 크기가 같다고 확신해서 말할 수 없죠
  • 2:12 - 2:15
    그래서 이를 증명해내기 위해서는
  • 2:15 - 2:16
    여기에 있는
  • 2:16 - 2:17
    이 삼각형과 비슷한
  • 2:17 - 2:19
    또다른 삼각형을
  • 2:19 - 2:20
    그려야할 것 같습니다
  • 2:20 - 2:24
    하나의 방법은
  • 2:24 - 2:25
    또다른 선 하나를
  • 2:25 - 2:27
    그리는 것이죠
  • 2:27 - 2:28
    제가 이 증명을 처음 접했을 때는
  • 2:28 - 2:30
    당연하게 느껴지지 않았습니다
  • 2:30 - 2:31
    그러니까 당연하게 받아들여지지 않는다고
  • 2:31 - 2:33
    당황하실 필요는 없습니다
  • 2:33 - 2:35
    만약 여기 보이는
  • 2:35 - 2:38
    각의 이등분선을
  • 2:38 - 2:39
    밑으로 쭉쭉 이어본다면
  • 2:39 - 2:40
    이런 식으로 이어봅시다
  • 2:40 - 2:42
    계속 계속
  • 2:42 - 2:43
    이어서 그려봅시다
  • 2:43 - 2:45
    그리고 이 삼각형과 닮은꼴인
  • 2:45 - 2:47
    또다른 삼각형 하나를 그려야 하는데요
  • 2:47 - 2:49
    선 AB와 평행한 선 하나를
  • 2:49 - 2:52
    아래쪽에 그려봅시다
  • 2:52 - 2:53
    그리고 평행선을 그릴때
  • 2:53 - 2:54
    하나 알려드릴 것은
  • 2:54 - 2:55
    만약 C가 AB 위에 없다면
  • 2:55 - 2:59
    C를 지나고
  • 2:59 - 3:01
    AB에 평행한
  • 3:01 - 3:02
    또다른 선을
  • 3:02 - 3:03
    그리면 되는 겁니다
  • 3:03 - 3:05
    즉 그냥
  • 3:05 - 3:07
    또다른 선을 이런 식으로 그린 다음
  • 3:07 - 3:09
    여기 보이는 이 점을
  • 3:09 - 3:11
    점 F라고 부릅시다
  • 3:11 - 3:14
    그리고 FC가 AB에 평행하다는 것을 보이기 위해
  • 3:14 - 3:17
    이런 식으로 표시해 놓읍시다
  • 3:17 - 3:20
    여기 보이듯이
  • 3:20 - 3:25
    FC가 AB와 평행합니다
  • 3:25 - 3:26
    이런 식으로 그려놓은 후에
  • 3:26 - 3:28
    우리는 흥미로운 결과를 볼 수 있는데요
  • 3:28 - 3:30
    우리는 방금 두 닮은꼴 삼각형을
  • 3:30 - 3:32
    그려놓았죠
  • 3:32 - 3:35
    여기서 알아낼 수 있는 것들이 뭘까요
  • 3:35 - 3:36
    삼각형의 닮음에 대해 생각하기 전에
  • 3:36 - 3:38
    각들에 대해서부터 생각해봅시다
  • 3:38 - 3:40
    여기 보이는 이 각들에 대해 우리가 알고 있는 것은
  • 3:40 - 3:44
    엇각이 존재한다는 거죠
  • 3:44 - 3:46
    이를테면 두 평행선이 있다고 합시다
  • 3:46 - 3:49
    AB가 이렇게 쭉쭉 이어지고
  • 3:49 - 3:51
    FC도 쭉쭉 이어지고
  • 3:51 - 3:54
    선 BD가 횡단선이라면
  • 3:54 - 3:57
    이 각의 크기가 몇 도이든
  • 3:57 - 3:59
    이 각도 똑같은 크기를 가질 거라는 거죠
  • 3:59 - 4:01
    우리가 처음에
  • 4:01 - 4:02
    횡단선과 각들에 대해 얘기할 때
  • 4:02 - 4:04
    엇각에 대한
  • 4:04 - 4:05
    내용을 배웠었죠
  • 4:05 - 4:07
    그래서 이 두 각들은
  • 4:07 - 4:08
    같은 각들일겁니다
  • 4:08 - 4:09
    그리고 이 각과 이 각 또한
  • 4:09 - 4:10
    같은 각들이죠
  • 4:10 - 4:11
    왜냐하면 이 각과 이 각이
  • 4:11 - 4:12
    같기 때문입니다
  • 4:12 - 4:15
    이것은 각의 이등분선이고 그렇기 때문에
  • 4:15 - 4:17
    우리는 각 ABD가 각 DBC와
  • 4:17 - 4:19
    같다는 것을 알 수 있습니다
  • 4:19 - 4:21
    그러니까 이 각이 어떤 각이든 간에
  • 4:21 - 4:22
    이 각 또한 같은 각이라는 거죠
  • 4:22 - 4:24
    우리는 이로부터 매우
  • 4:24 - 4:26
    흥미로운 결과를 볼 수 있는데요
  • 4:26 - 4:27
    여기에 있는 큰 삼각형
  • 4:27 - 4:31
    BFC를 보면 두 밑각이 같습니다
  • 4:31 - 4:35
    이는 이 삼각형이
  • 4:35 - 4:37
    이등변 삼각형이라는 것을 의미하죠
  • 4:37 - 4:43
    따라서 BC는 FC와 같을 것이고
  • 4:43 - 4:45
    매우 재밌는 결과죠
  • 4:45 - 4:46
    우리는 방금 횡단선과
  • 4:46 - 4:48
    엇각의 원리를 이용하여
  • 4:48 - 4:49
    이 삼각형이 이등변삼각형이라는 것과
  • 4:49 - 4:51
    BC가 FC와 같다는 것을 증명해냈습니다
  • 4:51 - 4:53
    이것은 꽤 유용하게 쓰일 수 있죠
  • 4:53 - 4:54
    왜냐하면 우리는
  • 4:54 - 4:57
    비록 아직 증명해내지는 않았지만
  • 4:57 - 4:59
    이 삼각형과 이 삼각형이
  • 4:59 - 5:00
    닮음이라는 것을
  • 5:00 - 5:01
    알고 싶기 때문이죠
  • 5:01 - 5:03
    하지만 이것이 여기 보이는
  • 5:03 - 5:04
    BC에 대해 어떤 것을 알려줄 수 있을까요?
  • 5:04 - 5:06
    우리는 방금 BC와 FC가
  • 5:06 - 5:08
    같다는 것을 증명해냈고
  • 5:08 - 5:10
    여기 보이듯이 BC와 FC는 같습니다
  • 5:10 - 5:11
    그리고 우리는
  • 5:11 - 5:13
    AB와 AD의 비율이
  • 5:13 - 5:14
    FC와 FD의 비율과
  • 5:14 - 5:18
    같다는 것을 증명해내고 싶습니다
  • 5:18 - 5:21
    왜냐하면 우리가 방금 보였듯이
  • 5:21 - 5:22
    BC는 FC와 같기 때문이죠
  • 5:22 - 5:24
    이제 본격적으로
  • 5:24 - 5:25
    각의 이등분선 정리로 들어가봅시다
  • 5:25 - 5:27
    FC는 AB와 평행하고
  • 5:27 - 5:31
    따라서 이 이등변삼각형이 생성되죠
  • 5:31 - 5:32
    두 변이 같다는 것을 표시해줍시다
  • 5:32 - 5:34
    그리고 삼각형의 다른 각들도
  • 5:34 - 5:36
    살펴본다면
  • 5:36 - 5:37
    만족스러운 결과를 얻을 수 있을겁니다
  • 5:37 - 5:38
    여기에 있는
  • 5:38 - 5:40
    삼각형 ABD를 본다면
  • 5:40 - 5:41
    이 쪽에 있는 삼각형 ABD와
  • 5:41 - 5:43
    삼각형 FDC에 대해서
  • 5:43 - 5:44
    우리는 이미
  • 5:44 - 5:45
    두 삼각형들이
  • 5:45 - 5:46
    한 쌍의 같은 각을
  • 5:46 - 5:47
    가지고 있다는 것을 알고 있습니다
  • 5:47 - 5:48
    또한 두 삼각형들을 보면
  • 5:48 - 5:50
    삼각형 ABD의
  • 5:50 - 5:51
    이 각은
  • 5:51 - 5:52
    반대쪽의
  • 5:52 - 5:53
    여기 보이는
  • 5:53 - 5:53
    이 각과
  • 5:53 - 5:54
    동위각이라는 것을
  • 5:54 - 5:55
    알 수 있죠
  • 5:55 - 5:56
    그리고 두 삼각형이
  • 5:56 - 5:57
    두 개의 같은 각들을
  • 5:57 - 5:58
    가지고 있다면
  • 5:58 - 5:59
    세번째 각은 당연하게도
  • 5:59 - 6:00
    똑같은 크기를 갖겠죠
  • 6:00 - 6:01
    아니면 AA 닮음 원리를
  • 6:01 - 6:03
    이용해서
  • 6:03 - 6:05
    두 삼각형이 닮음이라고
  • 6:05 - 6:07
    말할 수 있죠 써볼게요
  • 6:07 - 6:09
    대응하는 변들을 잘 맞춰야합니다
  • 6:09 - 6:11
    AA 닮음 원리를 이용하자면
  • 6:11 - 6:13
    이 초록색 각에서부터 시작해서, 그러니까 B
  • 6:13 - 6:16
    그리고 그 다음에 파란색 각으로 가면
  • 6:16 - 6:21
    삼각형 BDA가 됩니다 그리고 이것은
  • 6:21 - 6:24
    다시 초록색 각에서 출발해서, 그러니까 F
  • 6:24 - 6:31
    그리고 파란색 각으로 가면 삼각형 FDC와 닮음입니다
  • 6:31 - 6:33
    이쯤되면 각의 이등분선 정리로
  • 6:33 - 6:34
    들어가보도록 하죠
  • 6:34 - 6:36
    두 닮은꼴 삼각형들을 두고
  • 6:36 - 6:41
    AB와 AD에 대한
  • 6:41 - 6:43
    대응하는 변들의 비율을 계산해보면
  • 6:43 - 6:44
    닮은꼴 삼각형에서는
  • 6:44 - 6:46
    대응변들의 길이 비가 같습니다
  • 6:46 - 6:47
    아니면 또다른 방법은
  • 6:47 - 6:50
    닮은꼴 삼각형의 두 변들의 길이 비와
  • 6:50 - 6:51
    또다른 삼각형에서의 대응하는 두 변의 길이비를
  • 6:51 - 6:54
    비교해보는 것입니다
  • 6:54 - 6:55
    그 둘의 길이비는 같게 될 것입니다
  • 6:55 - 6:56
    즉 닮음꼴인 삼각형에서는
  • 6:56 - 6:58
    AB의 비율이
  • 6:58 - 7:01
    아, 덧붙이자면
  • 7:01 - 7:03
    AA 원리에 의한 것이니까
  • 7:03 - 7:05
    적어보도록 할게요
  • 7:05 - 7:06
    AA 원리에 의하여
  • 7:06 - 7:06
    두 삼각형은 닮음꼴입니다
  • 7:06 - 7:12
    그러니까 AB와 AD의 비는
  • 7:12 - 7:13
    다른 삼각형의
  • 7:13 - 7:14
    대응하는 변들을
  • 7:14 - 7:15
    맞춰보면
  • 7:15 - 7:16
    선 AB의
  • 7:16 - 7:18
    대응하는 변은
  • 7:18 - 7:19
    선 CF죠
  • 7:19 - 7:21
    따라서 AB와 AD의 비는 CF와 AD
  • 7:21 - 7:25
    아, 그리고 AD는
  • 7:25 - 7:28
    CD와 같으므로 CF와 CD의 비와 같습니다
  • 7:28 - 7:29
    결과적으로
  • 7:29 - 7:33
    AB와 AD의 비율은 CF와 CD의 비율과 같습니다
  • 7:33 - 7:35
    하지만 우리는 방금 증명해냈죠
  • 7:35 - 7:36
    왜냐하면 이것은 이등변 삼각형이고
  • 7:36 - 7:39
    CF는 BC와 같습니다
  • 7:39 - 7:40
    여길 보면 알 수 있죠
  • 7:40 - 7:43
    즉 CF는 BC와 같습니다
  • 7:43 - 7:44
    그럼 이젠 끝난거에요!
  • 7:44 - 7:45
    우리는 방금 AB와 AD의 비가
  • 7:45 - 7:48
    BC와 CD의 비와 같다는 것을 증명해냈습니다
  • 7:48 - 7:49
    그래서 결국 우리가 해야 했던 일은
  • 7:49 - 7:50
    대표적으로 두 가지인데요
  • 7:50 - 7:53
    하나는 또다른 삼각형을 그리는 것인데
  • 7:53 - 7:55
    이것은 우리로 하여금
  • 7:55 - 7:56
    이것이 평행하다고 가정했을 때
  • 7:56 - 7:58
    우리로 하여금 두 가지를 알 수 있게 했습니다
  • 7:58 - 8:00
    또다른 각을 이용해서
  • 8:00 - 8:01
    삼각형이 닮음이라는 것을 알아냈고
  • 8:01 - 8:02
    또한
  • 8:02 - 8:03
    우리로 하여금
  • 8:03 - 8:05
    죄송해요. 잠시 목이 잠겼네요
  • 8:11 - 8:12
    우리로 하여금
  • 8:12 - 8:13
    여기 보이는 이 삼각형을 이용하여
  • 8:13 - 8:15
    두 삼각형이 닮음이라는 것과
  • 8:15 - 8:17
    이 큰 이등변 삼각형을
  • 8:17 - 8:18
    만듬으로써
  • 8:18 - 8:19
    이 삼각형의 두 변의
  • 8:19 - 8:20
    길이비와
  • 8:20 - 8:21
    이 길이를 비교했을 때
  • 8:21 - 8:22
    그 비율은 이것의 비율과
  • 8:22 - 8:24
    같을 것입니다
  • 8:24 - 8:25
    이 변과 이 변의 비를 알 수 있다면
  • 8:25 - 8:26
    그것은
  • 8:26 - 8:27
    이 변과 이 변의 비와 같을 것입니다
  • 8:27 - 8:29
    그러니까 이것은
  • 8:29 - 8:30
    이 변과 이 변의 비가
  • 8:30 - 8:31
    BC와 CD의 비와 같다는 것을
  • 8:31 - 8:32
    보여주는 또다른 방법이죠.
Title:
Angle Bisector Theorem Proof
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
08:35

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