Den største fælles divisor af to led

Den største fælles divisor eller største fælles faktor af to led findes.

Vi skal finde den største fælles divisor af de her led.

Den største fælles divisor af to udtryk

er den største faktor, der går op i begge udtryk.

Hvis vi kun har med tal at gøre,

skal faktoren gå op i begge tal,

men i vores tilfælde skal faktoren gå op i begge led.

Vi skal være lidt forsigtige,

når vi snakker om den største faktor

i forbindelse med udtryk som dem her.

Det er den største faktor i den forstand,

at den har flest faktorer

af de to led i sig.

Den er ikke nødvendigvis det størst mulige tal,

for måske kan nogle af de variable

og være negative.

Måske er de variable værdier, der er mindre end 1,

og hvis man tager et tal mindre end 1 i anden potens, bliver det faktisk et mindre tal.

.

Inden det bliver alt for detaljeret og indviklet,

vil det nok være en god ide at gennemgå den her opgave,

så det forhåbentlig bliver lettere at forstå.

Vi skal altså finde den største fælles divisor eller største fælles faktor.

Lad os splitte vores to led

op i mindre dele.

Vi skal altså lave en primtalsfaktorisering af leddene.

Det er ikke helt en primtalsfaktorisering,

for vi kan kun lave en primtalsfaktorisering af de tal, vi har.

Vi laver derfor primtalsfaktorisering af tallene,

og så laver vi almindelig faktorisering af den variable del af leddene.

Vi starter med at kigge på det øverste led.

Det står skrevet som 10cd i anden,

og det kan vi omskrive til

produktet af primtalsfaktorerne af 10.

Primtalsfaktorerne af 10 er 2 gange 5,

fordi både 2 og 5 er primtal.

10 kan vi altså skrive som

2 gange 5.

c kan vi ikke skrive på andre måder end c.

Vi kender ingen andre værdier,

som c kan skrives som.

Vi har derfor 2 gange 5 gange c indtil videre.

d i anden kan vi omskrive

til d gange d.

Det er det, vi mener med

at skrive det her led som et produkt af de faktorer,

leddet består af.

For den numeriske del af leddet

består faktorerne af primtalsfaktorerne,

og for resten af leddet

ganger vi eksponenterne ud.

Lad os nu gøre det for det nederste led,

hvor vi har 25c i tredje d i anden.

25 bliver til 5 gange 5.

Det her er altså lig med 5 gange 5.

Nu har vi c i tredje,

og det bliver til c gange c gange c.

Til sidst har vi d i anden,

og det bliver til d gange d.

Hvad er de to leds største fælles faktor

i det her tilfælde?

Begge led har mindst ét 5-tal,

og begge led har også mindst ét c.

Derudover har begge led to d'er.

Nu kan vi opskrive den største fælles faktor for de to led.

Den største fælles faktor

af de to led,

er de faktorer, som de to led har til fælles.

Derfor vil den største fælles faktor være lig med

det her 5 tal ganget med c,

for de to led har kun ét c til fælles.

Det skal så ganges med de to d'er, som leddene har til fælles.

Det er derfor lig med

5 gange c gange d i anden.

De 5cd i anden er den største fælles faktor for de to led.

.

Det her resultat afhænger af,

om c er negativ eller positiv,

og om d er negativ eller positiv.

.

.

Det er den største fælles divisor eller faktor

af de to led.

Udtrykket går op i begge led,

og vi har brugt

flest mulige faktorer.