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Linear Alg: Visualizing a projection onto a plane

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    我还要利用一个视频的时间
  • 0:02 - 0:03
    来介绍投影的
  • 0:03 - 0:05
    新旧两个定义
  • 0:05 - 0:08
    关于向量x在直线L上的
  • 0:08 - 0:12
    投影的旧定义是
  • 0:12 - 0:18
    它是L中的向量
  • 0:18 - 0:19
    或者说它属于L
  • 0:19 - 0:26
    使得x减去这个向量
  • 0:26 - 0:39
    即减去x在L上的投影 结果正交于L
  • 0:39 - 0:40
    从直观上来看
  • 0:40 - 0:42
    如果有这样的一条直线L
  • 0:42 - 0:46
    这是直线L
  • 0:46 - 0:49
    并有某个向量x
  • 0:49 - 0:52
    我们取其在L上的投影
  • 0:52 - 0:53
    这是x
  • 0:53 - 0:57
    x在L上的投影在这里
  • 0:57 - 1:00
    它是L中的一个向量
  • 1:00 - 1:02
    它满足当我取
  • 1:02 - 1:04
    x和这个向量之差时
  • 1:04 - 1:06
    结果与L正交
  • 1:06 - 1:08
    这个投影是L中的向量
  • 1:08 - 1:09
    这是关于直线上投影的
  • 1:09 - 1:11
    旧的定义
  • 1:11 - 1:12
    L中的某个向量
  • 1:12 - 1:13
    也许在这里
  • 1:13 - 1:16
    如果取二者之差
  • 1:16 - 1:18
    则结果的出的向量
  • 1:18 - 1:19
    正交与L中的任何向量
  • 1:23 - 1:26
    就像这样
  • 1:26 - 1:29
    这就是做差后得到的向量
  • 1:29 - 1:34
    即x减去x在L上的投影
  • 1:34 - 1:36
    当然 对于这个向量
  • 1:36 - 1:40
    就是我们定义的这个向量
  • 1:40 - 1:45
    它是x在L上的投影
  • 1:45 - 1:46
    我们还有什么方法
  • 1:46 - 1:49
    来描述它呢？
  • 1:49 - 1:51
    我们可以写出相同的定义
  • 1:51 - 1:55
    我们可以说它是L中的向量 满足――
  • 1:55 - 1:58
    我用紫色的来写
  • 1:58 - 2:12
    就是L中的向量v 满足――
  • 2:12 - 2:14
    我这么来写――
  • 2:14 - 2:18
    使得x-v满足……
  • 2:18 - 2:24
    即x减去L上的投影 结果等于w
  • 2:24 - 2:37
    它与L中的任何向量正交
  • 2:37 - 2:38
    正交于L意味着
  • 2:39 - 2:41
    正交于L中的任何向量
  • 2:41 - 2:43
    我只是换了种写法
  • 2:43 - 2:45
    不再写成是x在L中的投影
  • 2:45 - 2:51
    而写成L中的某个向量v
  • 2:52 - 2:55
    满足x-v等于某个向量w
  • 2:55 - 3:00
    这个w正交于L中的任何向量
  • 3:00 - 3:03
    我们也可以把这个叙述改写为
  • 3:03 - 3:08
    x等于v+w
  • 3:08 - 3:11
    从而就有x在L上的投影
  • 3:11 - 3:16
    是L中唯一的向量v
  • 3:16 - 3:19
    使得x=v+w
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    其中w是唯一的向量――
  • 3:23 - 3:24
    我的意思是 它将会是唯一的向量――
  • 3:24 - 3:27
    在L的正交补中
  • 3:27 - 3:28
    对吗？
  • 3:28 - 3:31
    它正交于L中的所有向量
  • 3:31 - 3:33
    所以它就属于
  • 3:33 - 3:38
    L的正交补
  • 3:38 - 3:40
    所以说这个定义与用子空间来描述的定义
  • 3:41 - 3:43
    是完全一致的
  • 3:43 - 3:47
    我们可以将其扩展到任意子空间中
  • 3:47 - 3:47
    而不仅仅限于直线
  • 3:47 - 3:51
    我帮助大家从直观上理解
  • 3:51 - 3:56
    比如说我们在R3中处理问题
  • 4:00 - 4:03
    已知R3中的一个子空间
  • 4:03 - 4:05
    假设这个子空间是一个平面
  • 4:05 - 4:06
    我将它确定为平面
  • 4:06 - 4:09
    从而我们就清楚了
  • 4:09 - 4:10
    我们不是一定取直线上的投影
  • 4:10 - 4:14
    这是子空间V
  • 4:14 - 4:16
    我来画出其正交补
  • 4:16 - 4:18
    假设它的正交补
  • 4:18 - 4:21
    就像这样
  • 4:21 - 4:22
    假设这是一条直线
  • 4:22 - 4:24
    它延伸到―― 它与平面较于这一点
  • 4:24 - 4:26
    然后延伸到背面
  • 4:26 - 4:26
    当然
  • 4:26 - 4:28
    它必与0向量相交
  • 4:28 - 4:32
    这是唯一的一点
  • 4:33 - 4:34
    满足子空间与其正交补重叠
  • 4:34 - 4:37
    它延伸到背面 你又能看见它了
  • 4:37 - 4:38
    事实上你不会再看见它
  • 4:38 - 4:41
    因为这个平面是向各个方向延伸的
  • 4:41 - 4:42
    我想你明白我的意思
  • 4:42 - 4:45
    这条直线就是
  • 4:45 - 4:49
    V的正交补空间
  • 4:49 - 4:54
    现在我们来取R3中的任意的向量
  • 4:54 - 4:57
    假设有这样一个向量
  • 4:57 - 4:59
    假设它为x
  • 4:59 - 5:09
    那么关于x在V上的投影的新定义
  • 5:09 - 5:16
    它就等于唯一的向量v
  • 5:16 - 5:17
    这是向量v
  • 5:17 - 5:18
    这是子空间V
  • 5:18 - 5:22
    这个唯一的向量v 它属于V
  • 5:22 - 5:30
    使得x=v+w
  • 5:30 - 5:40
    其中w属于
  • 5:40 - 5:46
    V的正交补
  • 5:46 - 5:47
    这就是新定义
  • 5:47 - 5:51
    如果说x等于V中的向量
  • 5:51 - 5:53
    加上V的正交补中的向量――
  • 5:53 - 5:55
    我们可以从直观上来理解
  • 5:55 - 5:59
    它将等于…… 这是在V上的向量
  • 5:59 - 6:01
    它等于这个向量
  • 6:01 - 6:04
    然后 在V的正交补中
  • 6:04 - 6:06
    加上这个向量
  • 6:06 - 6:07
    如果将它平移
  • 6:07 - 6:09
    就会得到那个向量 就像这样
  • 6:09 - 6:11
    这个是向量v
  • 6:11 - 6:13
    这个是向量v
  • 6:13 - 6:15
    这是一个向上的向量
  • 6:15 - 6:18
    它在平面外 与平面垂直 这就是w
  • 6:18 - 6:20
    如果取v+w
  • 6:20 - 6:22
    就得到向量x
  • 6:22 - 6:27
    你可以看出
  • 6:27 - 6:32
    v就是子空间V上的投影――
  • 6:32 - 6:33
    这是向量v――
  • 6:33 - 6:35
    它是向量x在子空间V上的投影
  • 6:35 - 6:39
    它是向量x在子空间V上的投影
  • 6:39 - 6:41
    所以这个类似于影子的投影仍然成立
  • 6:41 - 6:42
    如果想象有一个光源
  • 6:43 - 6:45
    投射到子空间上
  • 6:45 - 6:47
    垂直投射到子空间上
  • 6:47 - 6:49
    那么在子空间上的投影
  • 6:49 - 6:51
    就是向量x的影子
  • 6:51 - 6:54
    希望这能帮助你更好地理解
  • 6:54 - 6:55
    我们要做的是
  • 6:55 - 6:57
    将它总结归纳
  • 6:57 - 6:59
    视频开始时我介绍了直线上的投影
  • 6:59 - 7:00
    而这里是平面上的投影
  • 7:00 - 7:02
    我们可以将其概括为任意子空间上的投影
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    这是在R3中
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    我们可以推广到Rn R100中
  • 7:06 - 7:09
    这就是空间的维数
  • 7:09 - 7:10
    这个例子我们能从直观上来考虑
  • 7:10 - 7:12
    但是对于更高维数的空间
  • 7:12 - 7:14
    我们就难以从直观上理解了
  • 7:14 - 7:15
    事实上 还有一点
  • 7:15 - 7:17
    我要说明这个新的定义
  • 7:17 - 7:20
    与我们做的关于直线上投影的定义是一致的
  • 7:20 - 7:23
    这个一致性是说
  • 7:23 - 7:37
    x在子空间上的投影等于
  • 7:37 - 7:50
    V中唯一的向量 满足x减去x在V中的投影
  • 7:50 - 8:02
    结果正交于V中的任何向量
  • 8:02 - 8:03
    因为这个叙述声称
  • 8:03 - 8:06
    任何正交于
  • 8:06 - 8:08
    V中任意向量的向量
  • 8:09 - 8:11
    属于V的正交补
  • 8:11 - 8:12
    所以这个叙述可以写成
  • 8:12 - 8:17
    x减去x在V上的投影
  • 8:17 - 8:21
    属于V的正交补
  • 8:21 - 8:23
    或者称之为w
  • 8:23 - 8:25
    如果令这个向量为v
  • 8:25 - 8:28
    称这个向量为w
  • 8:28 - 8:32
    就得到了这个定义
  • 8:32 - 8:36
    从而有w=x-v
  • 8:36 - 8:37
    如果两边加上v
  • 8:38 - 8:41
    就得到w+v=x
  • 8:41 - 8:44
    我们将v定义为――
  • 8:44 - 8:46
    x在V上的投影
  • 8:46 - 8:51
    w属于V的正交补
  • 8:51 - 8:54
    我不想使大家感到疑惑
  • 8:54 - 8:56
    向量v是
  • 8:56 - 9:00
    x在子空间V上的投影
  • 9:00 - 9:02
    也许我应该用不同的记号
  • 9:02 - 9:04
    而不是用小写的v和大写的V
  • 9:04 - 9:06
    这说起来容易产生混乱
  • 9:06 - 9:07
    我只是利用这节课的时间
  • 9:07 - 9:10
    使大家从直观上来理解
  • 9:10 - 9:12
    除直线以外的子空间上的投影
  • 9:12 - 9:14
    并讲解了旧的定义
  • 9:14 - 9:16
    我是通过直线上的投影来讲解的
  • 9:16 - 9:17
    实际上就是一个线性变换
  • 9:17 - 9:19
    这个旧的定义与新定义是等价的
  • 9:19 - 9:22
    在下次课中 我会为大家讲解
  • 9:22 - 9:27
    这一项对于任意子空间都是一个线性变换
Title:
Linear Alg: Visualizing a projection onto a plane
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:28

Chinese, Simplified subtitles

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