Why Synthetic Division Works

제가 지금 하고 싶은 것은

완전히 똑같은 표현을
하는 것이지만

일반적인 대수에서의
나눗셈의 방법으로 하는 것입니다

그리고 우리는 왜
조립제법이 실제로

같은 결과를 볼 수 있는지
그 이유를 알아보겠습니다

우리는 조립제법과

일반적인 나눗셈 사이의
연관관계를 볼 것입니다

이제 시작하겠습니다

우리가 일반적인
나눗셈을 한다면

(여기에 쓰여져 있는)

우리는 얼마나

여기에 있는 차수 x가,

여기에 있는 차수에 얼마나
들어가는지 알고 싶습니다

이것은 3*(x^3)이죠

x는 3x^3에 3x^2만큼 들어갑니다

그래서 우리는 여기 x^2의 자리에

3x^2를 쓸 겁니다

이제 이 평행관계가 보일 것입니다

우리가 조립제법을 할 때

우리는 3을 그대로 내렸고,
이 3은

3x^2를 의미했습니다.

그래서 이 3과 3x^2는 실제로

같은 것을 의미하는 것이죠

그러나 아마 당신이 눈치 챘을수도 있지만,
여기서

우리는 약간의 생각을 해야 합니다

우리는 x가 3x^3에 3x^2만큼
들어간다고 했습니다

여기서는 그냥 아무런 생각
없이 3을 그대로 내렸습니다

어떻게 이게 가능한 것일까요?

우리가 3을 그대로 내릴 수 있던 것은

조립제법의 일반형을,
이 곳에 x가 있기 때문에

조립제법의 기본형을 보기 위해

우리가 그렇게 추측했기 때문입니다

우리는 3x가 없었고,

4x도 없었고,

x^2도 없었습니다

그냥 x가 있었습니다

x을 가장 높은 차수의 어떤 것으로라도
나눈다면

조립제법에서의 첫 번째 숫자는

완전히 똑같은 것이 될 것입니다

단지 한 차수만 낮아질 것입니다

그래서 3x^3이 3x^2가 된 것입니다

그래서 완전히 똑같은 식이였구요,

지금부터는 여기에 작은
조립제법을 쓰겠습니다

여기에 x^2의 항이 들어가지요

3x^3이 3x^2로 갔습니다

우리는 실질적으로 이것을 x로 나눈 것이지요

우리가 이것을 실제로 할 수 있는 것이

우리는 단순히 여기에 있는 x만
다루고 있는 것을 알았고

가정했기 때문입니다

그러나 우리가 실질적으로 같은 것을
하고 있다는 것과

이 두 식의 평행함을 계속 보도록 하죠

여기에 있는 3x^2를 취해

거기에 x+4를 곱해 보죠

그래서 3x^2는

3x^3이 될 것이고

3x^2 곱하기 4는 12x^2가
될 것입니다

이제 우리는 이 두개를 뺍니다

이제 뺄셈을 진행합니다

이 두개를 빼게 된다면

이 두개는 서로 지워지고,

4x^2-12x^2이 남습니다

그래서 -8x^2가 나올 겁니다

다시 한 번, 당신은 무슨
상관 관계를 볼 수 있습니다

여기에 4x^2이 있고,

저기에 4x^2가 있습니다

우리는 단지 계수만 썼을 뿐인데
이것이 4x^2를 의미하는 것이었습니다

그래서 여기에 4를 쓴 것이죠

그리고 우리는 12x^2를 뺐습니다

여기서 12를 얻은 것은 3에 4를 곱해서 얻었고

그 다음에 뺄셈을 했습니다

여기서 우리는 3*-4를 진행합니다

3*4를 한 다음 뺄셈을 한 것이랑 같은 개념입니다

그래서 여기에 음의 부호를
붙이는 이유고요

그래서 우리는 이 행을 빼야 한다는
것을 기억할 필요가

없습니다

그냥 단순히 계속 덧셈만
하면 되는 것입니다

이것이 우리가 실질적으로
한 것입니다

3에다가 이 4를 곱했습니다

그 다음에 뺐습니다

그래서 -12x^2를 얻게 되었습니다

그리고 우리는 뺄셈을 했고,
-8x^2를 얻었습니다

그리고 당신은 아! 여기의 -8이

여기에 있는 것과
같은 것이네요? 라고 말할 것입니다

아직은 아닌 것이,
여기에 있는

이 -8이 실제로는
-8x를 의미합니다

우리의 단순화 과정의 한 부분입니다

그래서 이것을 저것으로 나누게 된다면

우리는 3x^2-8x+30 이라는 것을
얻게 됩니다

그래서 이 단순 나눗셈에서

우리는 다음으로, 얼마나 많은 x+4가

-8x^2에 들어갈 것인지에 대해
생각해 볼 것입니다

x는 -8x^2에 -8x번 들어갑니다

그래서 이것은 여기에 들어가는
열쇠이고요

x는 여기에 -8x번 들어갑니다

그리고 다시, 우리가 여기에

-8을 그냥 넣을 수 있는 것은

우리가 단순히 1x로 나누기 때문입니다

그래서 당신은 완전히
똑같은 계수를 가지게 되고요

단순히 한 차수 낮은 계수를 가지게 됩니다

그래서 여기에 있는 이 수는 우리의 x항입니다

그리고 여기에 똑같이 이 수를 볼 수 있습니다

그래서 조립제법에서의 많은
간략화는

우리가 단순히 1x로 나눈다는 점에서

진행이 될 수 있습니다

계속 가 보죠

-8x 곱하기 여기 이 식은

당신에게 -8x 곱하기 x는 -8x^2라는 것을
말해줍니다

그리고 당신은 -8x 곱하기 4를 하고
이것은 -32x입니다

우리는 단순하게 여기의 이 식을

그대로 내릴 수 있습니다

그래서 -2x가 생기고요

여기에 -1이 생깁니다

다시 한 번, 당신이

일반 나눗셈을 할 경우

당신은 이것을 이것과 뺄 것입니다

그래서 우리가 뺄셈을 한다면

음의 부호를 더하는 것입니다

이것들은 사라집니다

남는 것은 -2x 더하기 32x입니다

이것은 우리에게 30x를 남겨 줍니다

그리고 원한다면 이 -1을 끌고 내려와 줄 수 있습니다

(생략)

그래서 -1을 내려 주겠습니다

이 3은 여기에 같은 계수가
있고요

그러나 이 30은 여기 위에
있어야 합니다

이것이 우리의 최종 답의
부분이 될 것입니다

그리고 답을 구하기 위해, 다시 한 번,
이것은 조립제법을 했을 때

우리가 x로 나눗셈을 하기 때문에

가능한 일입니다

30x나누기 x는 30이 될 것입니다

이 30과 이 30은 정확히
똑같은 것입니다

그 다음에 우리는 곱합니다

30*x는 30x입니다

(생략)

(생략)

30*4는 120입니다

그 다음에 우리는
이것을 저것으로 뺄 것입니다

그래서 우리는 -1-120이 -120이라는 것을
알 수 있습니다

이것은 우리의 나머지입니다

이것은 우리가 여기에서 구한 수와
완전히 일치합니다

그래서 다행이도 당신은 이 연결관계를
볼 수 있습니다

왜냐햐면 우리는 x로 나눈다는 것을

전제로 하기 때문에,

우리는 식을 단순하게 만들 수 있는 것입니다

당신이 이것을 x로 나눈다면

당신은 이것이 한 차수만 낮은
똑같은 계수를

가질 것이라는 것을 알게 됩니다

그래서 계산을 계속
진행할 수 있었던 것입니다

그래서 이것은 우리의 계산을
좀 더 쉽게, 더 빠르게

더 적은 공간을 사용하게
만들어 주었습니다