The beauty of algebra | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy

This is a great example of converting a fraction to a decimal. Use a scratch pad so you can follow along.

Practice this lesson yourself on KhanAcademy.org right now: https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/decimals-pre-alg/decimal-to-fraction-pre-alg/e/converting_fractions_to_decimals?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=PreAlgebra

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/decimals-pre-alg/decimal-to-fraction-pre-alg/v/converting-fractions-to-decimals?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=PreAlgebra

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/decimals-pre-alg/decimal-to-fraction-pre-alg/v/converting-fractions-to-decimals-ex1?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=PreAlgebra

Pre-Algebra on Khan Academy: No way, this isn't your run of the mill arithmetic. This is Pre-algebra. You're about to play with the professionals. Think of pre-algebra as a runway. You're the airplane and algebra is your sunny vacation destination. Without the runway you're not going anywhere. Seriously, the foundation for all higher mathematics is laid with many of the concepts that we will introduce to you here: negative numbers, absolute value, factors, multiples, decimals, and fractions to name a few. So buckle up and move your seat into the upright position. We're about to take off!

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to KhanAcademy’s Pre-Algebra channel:: https://www.youtube.com/channel/UCIMlYkATtXOFswVoCZN7nAA?sub_confirmation=1
Subscribe to KhanAcademy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Innan vi ger oss in i brödet av algebra

vill jag ge er ett citat från en av de största hjärnorna i mänsklig historia,

Galileo Galilei, efterson jag tycker att detta citat sammanfattar den sanna poängen med algebra

och för den delen matematik rent generellt.

Han sa : "Filosofi is skrivet i den stora boken som alltid ligger framför våra ögon

-- universum tänker jag på --

men vi kan inte förstå den om vi inte först lär oss språket

och greppar symbolerna som den är skriven med.

Denna bok är skriven i det matematiska språket...

Utan vilket man vandrar förgäves genom en mörk labyrint."

Så väldigt dramatiskt men väldigt ljupt och det här är verkligen poängen med matematik.

Och det vi kommer inse när vi dyker djupare och djupare in i algebra

är är kommer kommer börja abstrahera saker.

Och vi kommer börja få kärnidéer

som börjar förklara hur universum faktiskt är strukturerat.

Visst kan dessa idéer tillämpas till olika saker

som ekonomi och finansiering och fysik och kemi

men i grund och botten är det samma idé bakom.

Alltså är de mer fundamentala, renare, än någon av de tillämpningarna.

Och för att se vad jag menar genom att gå ner till roten.

Låt oss köra med en... Jag antar att vi skulle kunna,

vi startade med en väldigt stor filosofi av universum skrivet i matematik.

Men låt oss starta med en väldigt konkret och enkel idé. Men vi fortsätter att abstrahera

och se hur samma idé sammanlänkas inom många domäner i vårt universum.

Låt oss helt enkelt säga att vi är på affären

där vi ska köpa någonting, och att det är rea.

Rean säger att det är 30% billigare och jag är intresserad av --

och jag handlar inte i alltför snofsiga butiker --

så låt oss säga att jag är intresserad av ett par byxor

vars pris innan rean är ungefär $20 (~135 kr).

Det är ungefär så mycket jag spenderar på mina byxor.

Så jag är intresserad av ett par byxor för $20. Men vad som är ännu bättre

är att det är 30% ränta på dessa byxor.

Så, hur ska jag tänka över hur mycket pengar jag kommer kunna dra av från de 20 dollarna.

Detta är inte algebra än

utan någonting som du förmodligen redan kommit i kontakt med.

Du skulle multiplicera 30 procent gånger 20 dollar.

Su du skulle säga att sänkningen -- sänkningen -- är lika med,

du skulle kunna skriva det som 30 procent gånger 20 dollar.

Vi skriver 20 dollar i lila.

eller så skulle du kunna skriva det - om du ville skriva -- detta är en decimal.

Du skulle kunna skriva det som 0.30*20 dollar.

Och om du gjorde uträkningen

skulle du få 6 dollar.

Så ingenting, ingenting nytt här.

Men om jag skulle vilja generalisera lite?

Det är rean på just detta par byxor.

Men tänk om jag skulle vilja veta vad det är för rea

på någonting annat i affären?

Då skulle jag kunna säga, låt x vara priset

-- jag gör det i en annan färg --

jag ska bara göra en symbol.

Låt x vara priset av produkten jag vill köpa,

priset utan något avdrag.

Så nu kan vi helt plötsligt säga att vårt avdrag

är lika med 30%, 30% gånger x.

Eller om vi skulle vilja skriva det som en decimal

skulle vi kunna skriva 30% som en decimal.

Vi skulle kunna skriva 0.30 gånger x -- gånger x --

Detta är intressant.

Nu kan du ge mig priset av vilken produkt som helst i affären

och jag kan ersätta det med x.

Sedan kan jag i grund och botten multiplicera det med 0.3

och få ut avdraget.

nu börjar vi, väldigt långsamt,

att gå in i det abstrakta hos algebra.

Vi ser att det blir mycket mer nyanserat och djupt

och uppriktigt sagt vackrare

allt eftersom vi börjar studera mer och mer algebraiska idéer.

Men vi är inte färdiga här.

Vi kan börja abstrahera detta ännu mer.

Här har vi sagt

att vi generaliserat detta för vilken produkt som helst,

inte bara för denna 20-dollarsprodukten.

Om vi har en 10-dollarsprodukt

kan vi sätta den 10-dollarsprodukten här istället för x.

Och så skulle vi säga 0.30 gånger 10.

Avdraget skulle bli 3 dollar.

Det skulle kunna vara en $100-produkt.

Då skulle avdraget vara 30 dollar.

Men låt oss generalisera ännu längre.

Låt oss säga : "Vad är avdraget för vilken rea som helst

- när rean har en viss procent -- ?"

Nu kan vi säga att avdraget

-- låt mig definiera en variabel --

Vi låter m =... Jag säger p, bara för att det ska vara vettigt,

p är ekvivalent med procentrabatten.

Vad kan vi nu göra?

Nu kan vi säga att avdraget

är likvärdigt med procentuella avdraget.

I de andra exemplen har vi tagit 30 procent

men nu kan vi säga att p är procentuella avdraget.

det är p.

Det är det procentuella avdraget gånger produkten i fråga,

gånger priset, det ickerabbatterade priset av produkten i fråga.

Det var x.

Avdraget är lika med p gånger x.

Detta är riktigt intressant.

Nu har vi en generell metod för att beräkna ett avdrag

oavsett givet procentavdrag och given produkt x.

Och vi hade inte behövt använda dessa ord och bokstäver.

Vi kunde ha sagt "Låt y vara lika med avdraget"

då kunde vi ha skrivit samma underliggande idé.

Istället för att skriva avdrag kunde vi ha skrivit

att y är lika med procentavdraget för p

gånger orginalpriset för produkten

-- gånger x.

Och du hade kunnat definiera dessa bokstäver på vilket sätt du velat.

Istället för att skriva y där

kunde du använt en grekisk bokstav

så länge du kan hålla reda på det faktum

att symbolan representerar det faktiska dollaravdraget.

Men nu blir saker riktigt intressanta.

Eftersom vi kan använda den här typen av relation...

Vilket är en ekvation, du likställer

y till den här saken här,

det är därför det kallas en ekvation (från engelskans equate, likställa).

Detta kan användas för saker

som är helt orelaterade

till rabbatpriset på affären här.

Du skulle kunna ha...

Så i fysik kan du se

att kraft är lika med massa gånger acceleration.

Det är andra bokstäver

men det är i grund och botten samma idé.

Vi kunde låtit y vara lika med kraft

och m är lika med... eller massa är lika med p.

Så jag skriver att p är lika med massa

-- och detta skulle inte vara ett intuitivt sätt att definiera det --

men jag vill visa er att det är samma idé, samma relation

som tillämpas till 2 olika saker.

Och vi skulle kunna säga att x är lika med acceleration.

Vi skulle kunna säga att x är lika med acceleration.

Då kan det berömda "kraft är lika med massa gånger acceleration"

bli omskrivet, och det är faktiskt exakt samma idé bakom.

som y -- vilket vi definierat har kraft --

kan bli likvärdigt med massa

-- för vilket vi kommer använda symbolen p --

vilket är lika med p gånger acceleration.

Det kommer förhålla sig som så att vi använder bokstaven x här

-- gånger x.

Det här är exakt samma ekvation.

Det här är exakt samma ekvation.

Vi kan se att vi kan ta denna ekvation

och den kan tillämpas i ekonomi,

eller tillämpas till saker inom finansiering

eller så kan den tillämpas till saker inom datorkunskap

eller logik eller elektriskt ingenjörskap

eller vad som helst -- bokföring --

Det finns ett oändligt antal tillämpningar

för denna ekvation.

Och det som är läckert med matematik,

det som är läckert med främst algebra är

att vi kan fokusera på denna abstraktion.

Vi kan fokusera på det abstrakta här,

vi kan manipulera det abstrakta här,

och det vi kan upptäcka från dessa idéer, från dessa manipulationer,

kan sedan gå och bli tillämpat om igen

i alla andra av dessa tillämpningar, i alla av dem.

Och vad som är ännu läckrare är att det berättar för oss

om universums sanna struktur

om du skulle skala bort alla dessa mänskliga definitioner

och alla mänskliga tillämpningar.

Så vi kan till exepel säga :

"Kolla, om y är lika med p gånger x".

Så bokstavligt talat, om någon sa

"Hej, detta är y."

och någon å andra sidan säger "Jag har p gånger x."

kan jag säga "Du har samma sak i båda dina händer."

Och om du skulle dividera ena med ett nummer

och fortfarande ville att de skulle vara lika,

skulle du dividera den andra med samma nummer.

Så till exempel

kan vi säga -- vi vet att y är lika med p gånger x --

tänk om du skulle vilja att båda var likvärdiga.

vad kommer y genom x bli lika med?

y var lika med p gånger x

så y genom x

kommer bli samma sak som p gånger x genom x

Men det är här det blir intressant,

eftersom p gånger x genom x

-- om du multiplicerar med någonting

och dividerar det med någonting

kommer du få det ursprungliga numret.

om du multiplicerar med 5 och delar med 5,

kommer du bara få p,

eller vad än numret må vara.

Så de skulle ta ut varandra.

Men vi kunde manipulera abstraktionen här,

och få y genom x är lika med p

-- vi gör x:et grönt --

y genom x är lika med p

och nu får detta konsekvenser,

det får konsekvenser för alla av dessa idéer.

Den ena berättar en fundamental sanning om universum,

nästan utan någon av tillämpningarna,

men nu kan vi gå och ta tillbaka dem

till alla ställen där vi tillämpat dem.

Den verkligt intressanta saken är att vi kommer finna nya...

-- det finns oändligt många tillämpningar

och vi känner praktiskt taget inte ens til de flesta av dem.

Vi kommer upptäcka nya för dem

om tusen år.

Så detta ger dig förhopnningsvis en inblick

över varför Galileo sa vad han sa om

att matematik egentligen är språket

med vilket vi kan förstå universums filosofi.

Det är därför folk berättar för oss

att om en fullständigt främmande livsform skulle kontakta människor

skulle matematik förmodligen vara vår första gemensamma grund,

den plats där vi kan börja forma en bas,

som vi kan börja kommunicera via.