Zdůvodnění pomocí Věty o střední hodnotě: tabulka

Příklad zdůvodnění použitím Věty o střední hodnotě (kde je funkce definovaná pomocí tabulky).

Tato tabulka zobrazuje vybrané
hodnoty diferencovatelné funkce f.

Můžeme použít Větu o střední
hodnotě, abychom řekli,

že existuje hodnota c taková, že
derivace funkce f v bodě c je rovno 5

a hodnota c je větší
než 4 a menší než 6?

Pokud ano,
zdůvodněte.

Abychom mohli použít
Větu o střední hodnotě,

funkce f musí být diferencovatelná
na otevřeném intervalu

a spojitá na
uzavřeném intervalu.

Vypadá to, že
toto je splněno.

Pokud je diferencovatelná
na intervalu,

je určitě i spojitá
na tomto intervalu.

Zde je uvedeno, že se jedná
o obecně diferencovatelnou funkci.

Tedy na jakémkoli
intervalu.

Další částí je si říci, pokud
je splněna tato podmínka,

potom pro sklon sečny mezi
body [4; f(4)] a [6; f(6)] platí,

že alespoň jeden bod mezi 4 a 6
bude mít derivaci rovnu sklonu sečny.

Pojďme zjistit, jaký je sklon sečny
mezi body [4; f(4)] a [6; f(6)].

Pokud je to rovno 5,

potom můžeme použít
Větu o střední hodnotě.

Pokud to
není rovno 5,

Větu o střední hodnotě
nelze aplikovat.

Pojďme to
udělat.

f(6) minus f(4) to celé lomeno 6 minus
4 je rovno 7 minus 3 to celé lomeno 2.

A to je
rovno 2.

Tedy 5 není
rovno 2.

Nemůžeme tedy použít
Větu o střední hodnotě.

Dám sem ještě
vykřičník pro zdůraznění.

Pojďme na
další část.

Můžeme pomocí Věty o
střední hodnotě zdůvodnit,

že rovnice f(x) s čárkou
je rovno −1 má řešení v intervalu,

kde x je větší než
0 a menší než 2?

Pokud ano,
zdůvodněte.

Pojďme na to.

Vezměme
sklon sečny,

tedy f(2) minus f(0) to celé
lomeno 2 minus 0.

Dostáváme −2 minus 0
to celé lomeno 2.

Což je rovno −2
lomeno 2 tedy −1.

A také víme, že jsou splněny
podmínky spojitosti a diferencovatelnosti.

Můžeme tedy říci, že jelikož je
funkce f obecně diferencovatelná,

bude diferencovatelná a spojitá
na uzavřeném intervalu od 0 do 2.

Musí být diferencovatelná
jen na otevřeném intervalu.

Ale je lepší, že je diferencovatelná
i na uzavřeném intervalu,

protože na uzavřeném
intervalu musí být spojitá.

A jelikož f je obecně
diferencovatelná,

je diferencovatelná a
spojitá na intervalu ⟨0; 2⟩.

Takže Věta o střední
hodnotě nám říká,

že existuje nějaké x
v intervalu ⟨0; 2⟩ takové,

že derivace funkce f v bodě x
je rovna sklonu sečny.

Nebo můžeme říct
průměrné rychlosti změny.

Tedy je rovna −1.

A mohu tedy
napsat "Ano".

A toto bude
mé zdůvodnění.

Toto je sklon sečny, neboli
průměrná rychlost změny.

A jelikož f je obecně
diferencovatelná,

je diferencovatelná a spojitá
i na tomto uzavřeném intervalu.

Potom nám Věta o
střední hodnotě říká,

že existuje x v tomto intervalu,
pro které je f(x) s čárkou rovno −1.

A máme hotovo.