坐标平面入门 | 代数入门 | 代数I | 可汗学院
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0:01 - 0:04这是一张勒内·笛卡尔的画像
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0:04 - 0:05在数学和哲学的
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0:05 - 0:07一位伟人
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0:07 - 0:09我估计你可能发现了一个规律
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0:09 - 0:12那些伟大的哲学家也是
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0:12 - 0:15伟大的数学家，反之亦然
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0:15 - 0:17他可以算个当代的伽利略了
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0:17 - 0:20年轻32岁，但是在伽利略去世后
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0:20 - 0:21不久他也去世了
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0:21 - 0:23算是英年早逝了
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0:23 - 0:25伽利略一直活到了70多岁
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0:25 - 0:28笛卡尔54岁就去世了
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0:28 - 0:31然后估计他在流行文化里最有名的
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0:31 - 0:33就是这句充满哲学的话了
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0:33 - 0:35“我思故我在”
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0:35 - 0:38但我还想加一个，虽然没有
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0:38 - 0:41跟代数有关系，但我觉得是一个很好的名言
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0:41 - 0:44估计没有那么有名的一句
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0:44 - 0:46我喜欢这句因为这很实际
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0:46 - 0:49并且这让你意识到这些伟人
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0:49 - 0:51这些哲学和数学的支柱
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0:51 - 0:54其实最后也都只是普通人类
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0:54 - 0:56他说：“你只要继续努力
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0:56 - 0:57你只要继续努力
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0:57 - 1:00我犯了所有可能的错误
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1:00 - 1:01但我还在继续努力“
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1:01 - 1:05我觉得这是个很好的人生指导
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1:05 - 1:08那他在哲学和数学上有很多贡献
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1:08 - 1:10但现在我们在建立代数的基础时
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1:10 - 1:13我想介绍他是因为
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1:13 - 1:17他是对建立代数和几何之间
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1:17 - 1:21的强烈联系的最重要的个人
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1:21 - 1:24所以左边这里是代数
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1:24 - 1:26然后我们已经讨论过了
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1:26 - 1:28这是带有符号的等式
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1:28 - 1:30然后这些符号能
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1:30 - 1:32有一些值
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1:32 - 1:37所以你可以有y等于2x减1
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1:37 - 1:40这给了我们一个x和
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1:40 - 1:42y之间的关联
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1:42 - 1:46然后我们还可以建立一个表格，选一些x值
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1:46 - 1:48看看y的值是多少
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1:48 - 1:51我还可以随便选一个x的值
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1:51 - 1:52然后求得y的值
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1:52 - 1:55但我会选一些比较简单直接的值
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1:55 - 1:58这样不会太复杂
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1:58 - 2:00所以，比如x等于负2
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2:00 - 2:02那y等于2乘负2
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2:02 - 2:12减1，等于负4减1，也就是负5
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2:12 - 2:15假如x等于负1，那y等于
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2:15 - 2:202乘负1减1，等于
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2:20 - 2:24负2减1，等于负3
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2:24 - 2:32假如x等于0，那y等于2乘0减1
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2:32 - 2:352乘0得0，减1就是负1
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2:35 - 2:37再来几个
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2:37 - 2:39我可以选任何的数值
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2:39 - 2:40我可以说
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2:40 - 2:42x等于负根号2
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2:42 - 2:47或者x等于负5/2，或者正6/7？
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2:47 - 2:48但我选这些数字
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2:48 - 2:50因为这样我更容易
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2:50 - 2:52求得y等于多少
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2:52 - 2:57当x等于1时，y等于2乘1减1
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2:57 - 2:592乘1等于2，减1是1
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2:59 - 3:01再来一个
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3:01 - 3:04让我用一个还没用过的颜色
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3:04 - 3:06这种紫色吧
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3:06 - 3:11假如x等于2，那y等于2乘2
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3:11 - 3:14减1
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3:14 - 3:16所以是4减1等于3
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3:16 - 3:17好
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3:17 - 3:19我大概给这个关系取了个样
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3:19 - 3:22ok，这描述了
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3:22 - 3:24变量y和变量x之间的关系
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3:24 - 3:27然后我让其变得更具体了
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3:27 - 3:30我说，那对于每一个x值
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3:30 - 3:34对应的y值是多少呢？
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3:34 - 3:35笛卡尔发现了
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3:35 - 3:37你可以将这关系可视化
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3:37 - 3:40首先，你可以看这每一个点
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3:40 - 3:42但你还可以看到
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3:42 - 3:45整个关系
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3:45 - 3:47所以他所做的是
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3:47 - 3:50他将这个非常抽象的
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3:50 - 3:54代数世界和跟形状、大小和角度
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3:54 - 3:57相关的几何世界联系起来了
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3:57 - 4:03所以这边是几何世界
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4:03 - 4:05当然，在历史上还有很多人
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4:05 - 4:08涉猎了这方便，但被历史遗忘了
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4:08 - 4:11但在笛卡尔之前，几何
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4:11 - 4:14基本上是欧几里得几何
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4:14 - 4:16那大概就是你在传统的八年级
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4:16 - 4:18九年级，或者十年级
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4:18 - 4:22的几何课上所学的知识
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4:22 - 4:24那是学习三角形和
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4:24 - 4:28它的角的关系的几何
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4:28 - 4:32还有圆形和半径的关系
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4:32 - 4:35然后还有圆内接三角形
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4:35 - 4:36等等
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4:36 - 4:39我们还继续深入探讨了别的几何话题
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4:39 - 4:40但笛卡尔说，我觉得
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4:40 - 4:44我可以将这个用你表达三角形和
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4:44 - 4:46圆形的方法给表示出来
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4:46 - 4:50他说，假如我们我们讨论一个二维平面
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4:50 - 4:52你可以将一张纸
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4:52 - 4:54看作某种
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4:54 - 4:56二维平面的一部分
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4:56 - 4:58我们称其为二维因为总共
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4:58 - 4:59有两个方向可以走
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4:59 - 5:01向上或者向下
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5:01 - 5:02这是一个方向
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5:02 - 5:03让我画出来
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5:03 - 5:06这里我打算用蓝色了。因为我们要可视化一些东西了
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5:06 - 5:08所以我会用几何颜色
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5:08 - 5:12那我们有上/下方向
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5:12 - 5:14然后还有左/右方向
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5:14 - 5:16这就是为什么我们称其为二维平面
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5:16 - 5:18假如我们说是三维的话
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5:18 - 5:21就还有一个里/外方向
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5:21 - 5:23在屏幕上很好做二维的
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5:23 - 5:25因为屏幕本身是二维的
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5:25 - 5:28然后他说，你看，这有两个变量
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5:28 - 5:30它们有这个关系
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5:30 - 5:32那我是不是可以将每一个变量
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5:32 - 5:34和其中一个维度联系起来呢？
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5:34 - 5:38然后根据惯例，我们将变量y
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5:38 - 5:40也就是因变量
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5:40 - 5:43它取决于x，让我们将其放在纵轴上
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5:43 - 5:45然后将我们的自变量
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5:45 - 5:46也就是我随便选择数值然后
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5:46 - 5:48看y的值是多少的这个
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5:48 - 5:50我们将其放在横轴上
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5:50 - 5:52实际上是笛卡尔
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5:52 - 5:56发明的x和y，以及后面的z
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5:56 - 5:58来作为未知变量
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5:58 - 6:00或者你正在运算
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6:00 - 6:02的变量的惯例
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6:02 - 6:04他说，假如我们这么想
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6:04 - 6:07我们给这些维度标号
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6:07 - 6:12这个是x方向，然后让这里
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6:12 - 6:15是负3
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6:15 - 6:18这个是负2
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6:18 - 6:19这个是负1
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6:19 - 6:20这是0
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6:20 - 6:23现在我在给x方向标号
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6:23 - 6:25左/右方向
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6:25 - 6:26这是正1
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6:26 - 6:28这是正2
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6:28 - 6:30这是正3
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6:30 - 6:32然后我们在y方向可以坐同样的事
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6:32 - 6:36这个是负5
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6:36 - 6:40负4，负3……
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6:40 - 6:42让我再写好一些
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6:42 - 6:44把这里清理一下
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6:44 - 6:46擦掉这块然后往下延伸一点
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6:46 - 6:49这样我在不会太乱的情况下
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6:49 - 6:51走到负5
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6:51 - 6:53那我们一直下到这里
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6:53 - 6:54然后我们可以标号
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6:54 - 6:56这是1
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6:56 - 6:57这是2
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6:57 - 6:58这是3
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6:58 - 7:01然后这是负1，负2
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7:01 - 7:02这些都只是惯例
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7:02 - 7:04其实也可以换个方法来
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7:04 - 7:06我们可以说这是x然后这是y
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7:06 - 7:08把这边变成正方向
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7:08 - 7:09这边换成负方向
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7:09 - 7:11但这是人们从笛卡尔开始
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7:11 - 7:12的惯例
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7:12 - 7:18负2，负3，负4，和负5
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7:18 - 7:21然后他说，我觉得我可以
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7:21 - 7:25将这些数值组和二维里的点联系起来
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7:25 - 7:28我可以将这里的x坐标
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7:28 - 7:30这是负2
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7:30 - 7:33它会在左/右方向的这里
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7:33 - 7:35我要往左走因为这是负数
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7:35 - 7:37然后这和垂直方向的
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7:37 - 7:39负5关联
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7:39 - 7:42所以y的值是负5
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7:42 - 7:46所以假如我向左走2，向下5
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7:46 - 7:49我就到了这个点
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7:49 - 7:53然后他说，这两个值，负2和负5
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7:53 - 7:56我可以将它们和平面里的这个点相关联
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7:56 - 7:59在这个二维平面里
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7:59 - 8:03然后我说这个点的坐标是
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8:03 - 8:06负2，负5，可以帮我们找到这个点
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8:06 - 8:08然后这些坐标被称为笛卡尔坐标
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8:08 - 8:12以他命名因为是他
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8:12 - 8:13发明的这个
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8:13 - 8:15他将这些关系和
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8:15 - 8:17平面里的点联系起来了
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8:17 - 8:19然后他说，我们再来一个
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8:19 - 8:21这还有一个关系
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8:21 - 8:25当x等于负1时
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8:25 - 8:27y等于负3
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8:27 - 8:30所以x是负1，y是负3
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8:30 - 8:31这是这边这个点
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8:31 - 8:33然后根据惯例
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8:33 - 8:34当你写坐标的时候
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8:34 - 8:36你先写x坐标，再写y坐标
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8:36 - 8:38人们就决定这么做了
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8:38 - 8:40负1，负3
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8:40 - 8:42这是这里这个点
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8:42 - 8:45然后你有点x等于0，y等于负1
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8:45 - 8:48当x是0的时候是在这里
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8:48 - 8:51也就是说我不用向左或者向右走，y是负1
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8:51 - 8:52所以我要往下走1
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8:52 - 8:53所以是这个点
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8:53 - 8:570，负1，在这里
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8:57 - 8:59然后我可以继续下去
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8:59 - 9:00当x等于1时，y等于1
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9:04 - 9:06当x等于2时，y等于3
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9:09 - 9:11让我都用同一个颜色
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9:11 - 9:16当x等于2时，y等于3，（2,3）
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9:16 - 9:20然后这个橙色的是（1,1）
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9:20 - 9:22这已经很棒了
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9:22 - 9:24我取了一些可能的x值
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9:24 - 9:26但他发现
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9:26 - 9:28你不仅是取了这些可能的x值
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9:28 - 9:30假如你继续取各种x值，各种
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9:30 - 9:34位于之间的x值，你最后会画一条线出来
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9:34 - 9:36所以假如你用每一个可能的x
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9:36 - 9:38你会得到一条看着是这样的线
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9:38 - 9:45像这样
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9:45 - 9:48然后任何的关系，假如你选任意x，得到y
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9:48 - 9:51它会是这条线上的一个点
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9:51 - 9:53或者另一种想法是，任何这条线上的点
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9:53 - 9:57表示了一个这个函数的解
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9:57 - 9:59比如你有这个点
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9:59 - 10:02看着像是x等于1又1/2，y是2
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10:02 - 10:06让我写下来（1.5,2）
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10:06 - 10:08这是这个函数的解
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10:08 - 10:13当x等于1.5时，2乘1.5是3，减1等于2
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10:13 - 10:15就在这里
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10:15 - 10:17所以一瞬间，他可以将
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10:17 - 10:22代数和几何架桥联系起来了
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10:22 - 10:27我们可以将所有满足这个等式的
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10:27 - 10:31x和y组表示出来了
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10:31 - 10:36然后因为他建立了这个联系
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10:36 - 10:37所以我们称描述这些点
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10:37 - 10:42的坐标为笛卡尔坐标
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10:42 - 10:46然后我们还会看见，我们将学的第一种函数
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10:46 - 10:48是这边这个形式的
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10:48 - 10:50在传统的代数课纲里
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10:50 - 10:51这类叫线性函数
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10:55 - 10:58然后你可能想说，这是个函数
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10:58 - 10:59我可以看出这个等于那个
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10:59 - 11:01但为什么是线性的呢？
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11:01 - 11:02是什么导致它们看着像一条线呢？
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11:02 - 11:04要意识到它们是线性的
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11:04 - 11:07你需要做笛卡尔所做的事
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11:07 - 11:10因为当你用笛卡尔坐标将其画出来的时候
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11:10 - 11:14在一个欧几里得平面上，你得到了一条直线
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11:14 - 11:15在之后，我们会看见还有
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11:15 - 11:18其它类型的函数，它们不会是一条直线
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11:18 - 11:22你会得到曲线或者一些疯狂的东西
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- 坐标平面入门 | 代数入门 | 代数I | 可汗学院
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将代数和几何联系起来。为什么线性函数是线性的。
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