Introduction to the coordinate plane | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy

The general idea behind the word 'abstract'

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/the-beauty-of-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraI

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraI

Algebra I on Khan Academy: Algebra is the language through which we describe patterns. Think of it as a shorthand, of sorts. As opposed to having to do something over and over again, algebra gives you a simple way to express that repetitive process. It's also seen as a "gatekeeper" subject. Once you achieve an understanding of algebra, the higher-level math subjects become accessible to you. Without it, it's impossible to move forward. It's used by people with lots of different jobs, like carpentry, engineering, and fashion design. In these tutorials, we'll cover a lot of ground. Some of the topics include linear equations, linear inequalities, linear functions, systems of equations, factoring expressions, quadratic expressions, exponents, functions, and ratios.

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Algebra channel:
https://www.youtube.com/channel/UCYZrCV8PNENpJt36V0kd-4Q?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

இங்கு இருப்பது ரெனே டெஸ்கார்டிஸ்-ன் படம்..

இவர் கணிதம் மற்றும் தத்துவத்தில்

மிகப் பெரிய மேதை..

நீங்கள் இதில் ஒரு விஷயத்தை பார்க்கலாம்..

அனைத்து தத்துவ மேதைகளும் கணித மேதைகளே..

அனைத்து தத்துவ மேதைகளும் கணித மேதைகளே..

இவர் கலிலியோ காலத்தில் இருந்தவர்..

அவரை விட 32 வயது இளையவர்..

கலிலியோ இறந்தபின் ஐவரும் இறந்து விட்டார்..

இவர் மிக சிறிய வயதில் இறந்துவிட்டார்..

கலிலியோ 70 வயது வரை வாழ்ந்தார்..

டெஸ்கார்டிஸ் 54 வயதில் இறந்துவிட்டார்..

அவர் மிகப் பெரிய புகழ் பெற காரணமாக

இந்த வாக்கியம் ஒன்று இருந்தது..

மிக தத்துவமான வாக்கியம்..

"நான் யோசிப்பதனால் தான் இருக்கிறேன்"

மேலும் நான் ஒன்று கூற விரும்புகிறேன்..

இது இயற்கணிதத்தை சார்ந்தது அல்ல,

இருந்தாலும் மிக நல்ல வாக்கியம்..

இது அவ்வளவு புகழ் பெற்றதல்ல..

இங்கு இருப்பது..

இது மிகவும் இயல்பானது..

இது உங்களை, இந்த மாமனிதர்கள்

எவ்வாறு கணிதம் மற்றும் தத்துவத்தை

உயர்த்தி நிறுத்தினர் என்பதை விளக்கும்..

இவர்களும் மனிதர்கள் தான்..

அவர், "நகர்ந்து கொண்டே இரு என்றார்"

நகர்ந்து கொண்டே இருங்கள்..

நான் அனைத்து தவறுகளையும் செய்து விட்டேன்..

இருந்தாலும், நான் நகர்ந்து கொண்டே இருக்கிறேன்..

இது மிக நல்ல அறிவுரை..

இப்பொழுது அவர், கணிதம் மற்றும் தத்துவத்தில்

பல சாதனைகளை செய்துள்ளார்..

இதை நான் ஏன் இயற்கணிதத்தின்

அடிப்படையில் கூறுகிறேன் என்றால்,

அவர் தான் இயற்கணிதம் மற்றும்

அமைப்பு வடிவத்திற்கு உள்ள தொடர்பை

விளக்கியதில் இவர் தான் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறார்..

ஆக, இங்கு இடது பக்கத்தில்

நம்மிடம் இயற்கணிதம் உள்ளது.

இதை பற்றி சிறிது பேசிவிட்டோம்..

நம்மிடம் குறியீடுகள் உள்ள சமன்பாடு உள்ளது

இந்த குறியீடுகள்..

ஏதோ ஒரு மதிப்பை குறிக்கும்,

நம்மிடம் இவ்வாறு ஒன்று இருந்தால்,

y = 2x - 1

இதில் உள்ள தொடர்பு என்னவென்றால்,

x என்பதன் மதிப்பை

பொறுத்து y இருக்கும்..

இதை வைத்து இங்கு ஒரு பட்டியல் வரையலாம்..

அதில் x-ன் மதிப்புகளை தேர்வு செய்து

y-ன் மதிப்பை கண்டறியலாம்..

நான் தோராயமாக x-ன் மதிப்பை கண்டறிகிறேன்..

அதன் மூலம் y-ன் மதிப்பை கண்டறிகிறேன்..

ஆனால், நான் சுலபமான மதிப்புகளை எடுக்கிறேன்...

அப்பொழுது தான் இது சுலபமாக இருக்கும்..

உதாரணமாக,

x என்பது -2 என்றால்,

y என்பது 2x - 2 - 1

2x - 2 - 1

அதாவது -4 -1

அதாவது -5

x-ன் மதிப்பு -1 என்றால்,

y-ன் மதிப்பு 2x - 1 - 1

அதாவது

-2 -1 என்றால் -3

x-ன் மதிப்பு 0 என்றால்,

y என்பது 2 பெருக்கல் 0 - 1

2 பெருக்கல் 0 என்பது 0, 0 - 1 என்பது -1

மேலும் சிலவற்றை செய்யலாம்...

x என்பது 1 என்றால்,

நான் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்..

உதரணத்திற்கு நான் x -ன் மதிப்பு

2-ன் மூலம் எனலாம்..

அல்லது x-ன் மதிப்பு -5/2 எனலாம்..

அல்லது +6/7 எனலாம்..

ஆனால், நான் இந்த எண்களை ஏன் எடுக்கிறேன் என்றால்,

இது கணிதத்தை மிகவும் எளிமையாக்கும்..

எளிதில் y-ன் மதிப்பை கண்டறியலாம்..

ஆனால், x-ன் மதிப்பு 1 ஆகும்,

y-ன் மதிப்பு 2 பெருக்கல் 1 கழித்தல் 1

2 பெருக்கல் 1 என்பது 2, 2 - 1 என்பது 1

மேலும் ஒன்றை செய்யலாம்..

புது வண்ணத்தில் செய்கிறேன்..

இதை இளஞ்சிவப்பு நிறத்தில் செய்யலாம்..

x என்பது 2 என்றால்,

y என்பது

2 பெருக்கல் 2 கழித்தல் 1

ஆக, 4 - 1 என்பது 3

இது சரியே,

நான் இந்த சமன்பாட்டில் சிறிது மாதிரிகள் செய்திருக்கிறேன்..

இது x மற்றும் y -க்கு இடையிலான

பொதுவான தொடர்பை வெளிப்படுத்தும்..

நான் இதை மேலும் தெளிவு

படுத்துவதற்காக என்ன செய்கிறேன் என்றால்,

x என்பது இதில் ஒரு மாறிலி என்றால்,

ஒவ்வொரு x-ன் மதிப்பிற்கும்

y-ன் மதிப்பு என்ன?

டெஸ்கார்டிஸ் என்ன நினைத்திருப்பார்

என்பதை நீங்கள் கற்பனை செய்து பார்க்கலாம்..

நீங்கள் இதன் புள்ளிகளை நினைத்து பார்க்கலாம்..

அதுவும், இதன் தொடர்பை வெளிபடுத்த

உங்களுக்கு உதவியாக இருக்கும்..

அவர் என்ன கூறியிருந்தார் என்றால்,

அவர் இந்த இரு விஷயங்களையும் இணைத்து விட்டார்,

அதாவது இயற்கணிதம் மற்றும்

வடிவ அமைப்புகள்..

ஆக, இங்கு வடிவ அமைப்புகள் உள்ளது..

கண்டிப்பாக பல தரப்பட்ட மக்கள்,

வரலாற்றில் இதை பற்றி மறந்திருந்தால்,

அவர்கள் சிரமப்பற்றிருப்பார்கள்..

அதாவது டெஸ்கார்டிஸ் கண்டறிவதற்கு முன்பு..

அவர் இதனை யுகிலிடியன் அமைப்பு வடிவம் என்றால்..

இது தான் நீங்கள் 8, 9, 10

வகுப்புகளில் பயின்ற

அமைப்பு வடிவம் ஆகும்..

இது உங்கள் உயர் கல்வி பாடத்திட்டத்தில் இருக்கும்..

அது தான் முக்கோணம், சாய்வுகள்

மற்றும் வட்டங்களுக்கான தொடர்பை

பற்றி விளக்குவது..

உங்களிடம் ஒரு ஆரம் இருந்தால், பிறகு முக்கோணம் உள்ளது..

அது வட்டத்தில் உள்ளது..

நாம் இது போன்ற கணக்குகளை ஆழமாக

அமைப்பு வடிவ பாடத்தில் பார்க்கலாம்..

டெஸ்கார்டே என்ன கூறுகிறார் என்றால்,

இந்த முக்கோணம் மற்றும் வட்டத்தை என்னால் கற்பனை செய்ய முடியும்..

ஏன் முடியாது?

நாம் ஒரு காகிதத்தை பார்த்தால்,

அதை இரு பரிமாணம் என்று நினைக்கிறோம்..

நாம் இந்த காகிதத்தை

ஒரு இரு பரிமாணத்தின் பகுதி எனலாம்..

நாம் இதை இரு பரிமாணம் என்கிறோம்..

ஏனெனில் அதில் இரு திசைகள் உள்ளன..

மேல் மற்றும் கீழ் திசை..

இது ஒரு திசை..

நான் இதனை வரைகிறேன்..

ஏனெனில் நாம் காட்சி படுத்தி பார்க்க நினைக்கிறோம்..

இதை அமைப்பு வடிவத்தில் செய்யலாம்..

நம்மிடம் மேல் கீழ் திசைகள் உள்ளன..

நம்மிடம் இடது வலது திசைகள் உள்ளன..

அதனால் இது இரு பரிமாண அளவு..

நாம் மூன்று பரிமாணங்களை பற்றி பார்த்தால்

இதில் உள்ளே -வெளியே பரிமாணம் ஒன்று இருக்கும்..

இந்த திரையில் இரு பரிமாணத்தை பார்ப்பது எளிது..

ஏனெனில், இந்த திரையும் இரு பரிமாணம் தான்..

அவர் கூறுகிறார்,

நம்மிடம் இரு மாறிலிகள் உள்ளன.. இது அதன் தொடர்பு..

நாம் ஏன் இந்த மாறிகளையும்

ஒரு பரிமாணத்தின் மூலம் இணைக்க இயலாது?

நாம் இந்த y மாறியை

சார்புடைய மாறி எனலாம்..

இங்கு செய்திருப்பது போல,

இது x-ஐ பொறுத்து உள்ளது..

ஆக, இதை நேர் அச்சில் வரையலாம்..

இப்பொழுது சார்புடைய மாறியை வைக்கலாம்..

இதன் மதிப்பை நான் தோராயமாக எடுத்தேன்,

இதன் மூலம் y-ன் மதிப்பை கண்டறியலாம்..

ஆக, இதை கிடைமட்ட அச்சில் வைக்கலாம்..

x மற்றும் y -களை பற்றி கூறியதே

டெஸ்கார்டிஸ் தான்..

நாம் z என்பதையும் பயன்படுத்த ஆரம்பித்தோம்..

z என்பது தான் தெரியாத மாறிலியாக இருக்கும்..

இதை இவ்வாறு சிந்திக்கலாம்...

நாம் இந்த பரிமாணத்தை எண்களில் குறிக்கலாம்..

இந்த x திசையில்

நாம் இதை -3 எனலாம்..

இதை -2 எனலாம்..

இது -1..

இது 0..

நான் இந்த x திசையில் உள்ளதை எண்ணில் குறிக்கிறேன்..

இது இடது வலது திசை..

இது +1..

இது +2..

இது +3..

இதே போன்று y திசையிலும் குறிக்கலாம்...

இது என்னவென்றால்,

இது -5, -4, -3...

நான் சிறிது நன்றாக வரைய முயற்சி செய்கிறேன்

இதை சிறிது சுத்தம் செய்யலாம்..

இதை அளிக்கிறேன்..

இது -5 வரை செல்லும்..

இது நன்றாக புரியும் வண்ணம்

கீழே செல்லலாம்..

ஆக, இதை எண்ணில் குறிக்கலாம்..

இது 1, இது 2, இது 3..

இது -1 ஆக இருக்கலாம்..

இது -2 ஆக இருக்கலாம்..

நாம் இதை எப்படி வேண்டுமோ குறிக்கலாம்..

நாம் இங்கு x என்று எழுதலாம்..

இதை y எனலாம்..

இது நேர்ம திசையில் இருக்கலாம்..

இது எதிர்ம திசையில் இருக்கலாம்..

ஆனால், இது தான் நாம் டெஸ்கார்டிஸ் காலத்தில் இருந்து

பயன்படுத்தும் மரபு

-2, -3, -4, -5..

மேலும் அவர் என்ன கூறினார் என்றால்,

நாம் இந்த ஜோடி மதிப்புகளை

இரு பரிமாணத்தில் ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கலாம்..

நான் இந்த x- ஆயத்தை எடுக்கலாம், x மதிப்பை எடுக்கலாம்..

இங்கு, இது -2..

இது இடது - வலது திசை..

நான் இடது பக்கம் செல்கிறேன், ஏனெனில் இது எதிர்மம்..

இந்த -5 என்பது நேர் அச்சில் உள்ளது..

ஆக, y -ன் மதிப்பு -5..

நான் இடது பக்கம் இரு இடம் நகர்ந்தால், கீழே 5 செல்கிறேன்..

இந்த புள்ளி கிடைக்கும்..

ஆக, இதன் மதிப்பு -2 மற்றும் -5

நான் இதை இந்த புள்ளியில்

இந்த இரு பரிமாணத்தில் இணைக்கலாம்..

இந்த புள்ளியின் ஆயங்கள்

நாம் இந்த புள்ளியை (-2, -5) எங்கே கண்டறியலாம் என்று கூறுகின்றனர்..

இந்த ஆயங்கள் தான் கார்டீசியன் ஆயங்கள்..

டெஸ்கார்டிஸ்-க்காக பெயரிடப் பட்டது..

ஏனெனில் அவர் தான் இதை கண்டறிந்தார்..

அவர் இந்த புள்ளிகளின் தொடர்பை

இந்த ஆயத்தில் குறிக்க ஆரம்பித்தார்..

அதன் பிறகு,

அவர் மேலும் ஒரு தொடர்பை உருவாக்கினார்..

x என்பது -1 என்றால், y என்பது -3

ஆக, x = -1, y = -3..

இது தான் இந்த புள்ளி..

இதன் மரபு என்னவென்றால்,

நாம் ஆயங்களை வரிசை படுத்தும் பொழுது..

x ஆயத்தை முதலிலும், பிறகு y ஆயத்தையும் குறிக்க வேண்டும்..

இவ்வாறு தான் அனைவரும் செய்வர்..

-1, -3 என்னும் புள்ளி இங்கு உள்ளது,

பிறகு, இந்த புள்ளியில் x என்பது 0, y என்பது -1..

x என்பது 0 என்றால்,

நான் இடது, வலது எங்கும் செல்ல வேண்டாம்..

y என்பது -1 என்றால், கீழே 1 இடம் செல்ல வேண்டும்..

ஆக, இந்த புள்ளி (0, -1) ஆகும்..

இங்கு உள்ளது..

இவ்வாறு சென்று கொண்டே இருக்கலாம்..

x என்பது 1 என்றால், y என்பது 1

x என்பது 2, y என்பது 3...

இதை அதே வண்ணத்தில் செய்கிறேன்..

x என்பது 2, y என்பது 3

2, 3 ... அதன் பிறகு இந்த புள்ளி (1, 1)

இது சுலபமானது..

நான் சில x-களை சோதித்து பார்த்தேன்,

அவர் என்ன யோசித்தார் என்றால்,

x-ன் மதிப்புகளை சோதித்தால் மட்டும் போதாது..

இவ்வாறு செய்து கொண்டே இருந்தால்,

இந்த அனைத்து x-களையும் செய்தால்,

இங்கு ஒரு கோடு உருவாகும்..

ஆக, ஒவ்வொரு x-ன் மதிப்பையும் எடுத்தால்,

இங்கு ஒரு கோடு உருவாகும்..

இது இவ்வாறு தோற்றமளிக்கும்..

எந்த ஒரு தொடர்பிலும் ஒரு x-ஐ எடுத்தால்,

இது கோட்டில் இந்த புள்ளியை குறிக்கும்..

அல்லது வேறு வழியில்,

இந்த கோட்டில் எந்த புள்ளியும்

இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வை அளிக்கும்..

ஆக, இந்த புள்ளி இங்கு இருந்தால்,

இதில் x என்பது 1 மற்றும் 1/2..

y என்பது 2..

ஆக, (1.5, 2)..

இது தான் நமது சமன்பாட்டின் தீர்வு..

x என்பது (1.5, 2)

இது இங்கு உள்ளது..

ஆக, அவர் இந்த இரண்டையும் இணைத்து விட்டார்..

அல்லது இயற்கணிதம் மற்றும் அமைப்பு வடிவத்தின் தொடர்பை

நம்மால் x மற்றும் y -ன் மூலமாக இதை கற்பனை செய்து பார்க்கலாம்..

இது இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும்..

ஆக, அவர் தான் இந்த தொடர்பை விளக்கினார்..

அதனால் தான் இந்த ஆயத்தை

நாம் "கார்டீசியன் ஆயம்" என்கிறோம்..

இது தான் நாம், வழக்கமான இயற்கணிதத்தில்

முதலில் பயிலும் சமன்பாடுகள்

இந்த சமன்பாடுகள் தான்..

இதன் பெயர் நேரியல் சமன்பாடுகள்..

நேரியல் சமன்பாடுகள்..

இதை நீங்கள் சமன்பாடுகள் எனவும் சொல்லலாம்..

இதுவும்.. இதுவும் சமம் தான்..

இதை ஏன் நேரியல் என்கிறோம்?

இது ஏன் கோடு போல் தோன்றுகிறது?

இது ஏன் நேரியல்..

டெஸ்கார்டிஸ் செய்தது போல நாமும் செய்ய வேண்டும்...

ஏனெனில், இதை குறித்தால்,

நமது கார்டீசியன் ஆயத்தை பயன்படுத்தி செய்யலாம்..

யுகிலீடியன் தளத்தில்.. நமக்கு கோடு கிடைக்கும்...

எதிர்காலத்தில்,

வேறு சில சமன்பாடுகளில் கோடு வராமலும் போகலாம்..

சில நேரங்களில் வளைவுகளும் வரலாம்..