Introduction to the coordinate plane | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy

Bridging algebra and geometry. What makes linear equations so linear.

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여기 보이는건 르네 데카르트의 사진입니다.

수학과 철학 분야에서

또 한명의 위대한 지성이죠.

여러분께서 여기서 한 특징을 발견하실 수 있을 거에요

위대한 철학자들은 위대한 수학자이기도 했다는 것이죠

또는 위대한 수학자가 위대한 철학자이기도 했고요

그는 약간 현대적인 버전의 갈릴레오 같은 사람이었어요

갈릴레오보다 32살이나 젊었지만

갈릴레오가 죽은 뒤 얼마 지나지 않아 죽었지요

휠씬 더 어린 나이에 사망한 것입니다

갈릴레오가 70대에 사망했지만

데카르트는 54살때 사망했습니다

그는 아마 이 명언으로

대중 문화에 가장 잘 알려져 있을거에요.

아주 철학적인 명언이죠

"나는 생각한다, 고로 존재한다"

하지만 전 다른 명언도 알려드리고 싶습니다

대수학과 별로 관련은 없지만

아주 좋은 명언이라고 생각해요

아마 그의 가장 유명하지 않는 명언일거에요

바로 이 문장입니다

제가 이걸 좋아하는 이유는 구절이 아주 현실적이기 때문이죠

왜냐하면 이 위대한 지성들,

수학과 철학의 기둥들도

그들의 마지막 날에는

그들도 그냥 인간이였다고 말해주는 구절이기 때문이죠

그리고 그가 말합니다, "계속 나아가라.

계속 나아가라.

나는 내가 저지를 수 있는 모든 실수는 다 저질렀다.

그러나 계속해서 나아갔다."

전 이것이 굉장히 좋은 인생의 교훈이라고 생각합니다

그는 철학과 수학 방면에서

많은 업적을 남겼는데요

하지만 대수학의 기본을 다지면서

그가 나오는 이유는

그가 바로 대수학과

기하학을 연결하는데

가장 큰 공헌을 한 사람이기 때문이죠.

여기 왼쪽에 보면

대수학의 세계가 있습니다.

우리가 조금 이야기해 본 것들입니다

여기 기호를 이용하는 공식들이 있고

이 기호들은

특정한 값들을 가질수 있어요.

그래서 이런 것이 있을수가 있죠.

y=2x-1

이 식은 어떤 x와

y의

관계를 알려줍니다

우린 심지어 여기 표를 만들고

x값을 고르면

y값이 무엇이 될지 알 수도 있습니다

그래서 제가 그냥 무작위로 x 값을 고르면

y 값이 뭐가 될지 알 수 있죠.

그러나 꽤 간단한 값을 골라 볼게요

계산이 너무 복잡해지지 않게요.

그러니까 예를 들어

만악에 x가 -2면

그때 y값은 2 x (-2) -1

2 x (-2) -1

그럼 -4 -1 이네요

-5죠.

만약 x가 -1이라면

y는 2 x (-1) -1

그것은

-2 -1 그러니까 -3이네요.

만약 x가 0이면

y 값은 2 x 0 -1

2 x 0 은 0 이니까 그냥 -1이네요.

이걸 몇번 더 해볼께요.

만약 x가 1이면

그리고 제가 그냥 아무 값이나 골랐을 수도 있죠

만약 x가 2의 음의 제곱근이면

y값이 뭐냐 라고 물었을 수도 있어요.

아님 x가 -5/2라고 하거나

혹은 6/7

하지만 전 그냥 쉬운 숫자들을 고르는거에요

그러면 y값을 구하는

계산이 훨씬 쉬워지거든요

하지만 만약 x가 1이면

y는 2곱하기 1 빼기1

2 x 1은 2이고 -1을하면 1이네요

아직 쓰지 않은 색을 골라서

하나 더 해 보겠습니다

보라색으로 써보죠

만약 x가 2이면

y값은

2곱하기 2 -1 (x가 2이니까요)

그럼 4-1이고 그건 3이네요

지금까지

전 이 관계식의 예들을 보여드렸습니다

하지만 제가 이 식은 y와 x 변수의

일반적인 관계를 보여준다고 했죠

그리고 좀 더 구체적으로 말해보면

그럼 만약

x가 이 변수들 중 하나라면

이 각각의 x값에 상응하는

y값은 뭘까?라고 물을 수 있죠

그리고 데카르트가 깨달은게 바로

이걸 시각적으로 표현할 수 있다는 것입니다

시각적으로 이 각각의 점들을 표현하는 거에요.

그렇게 한다면 일반적인

관계를 보여주는데도 도움을 주죠.

그래서 그가 결국 이룬 것은

이 추상적인 대수학의 세계를

도형과 각도가 있는

기하학과 연결시킨거에요.

그래서 기하학의 세계가 존재하고요

당연한 사실이지만 역사 속에는

여기에 발을 담갔지만 잊혀진

많은 사람들이 있을수도 있죠.

하지만 일반적으로 데카르트 이전의 기하학을

유클리드의 기하학이라고 봐요

그 기하학은

여러분께서 기하학 수업 시간에 배우는 것입니다

일반적인 고등학교 교육 계정에 따라

8, 9 아니면 10학년때 배우게 됩니다

그리고 그건

삼각형과 각도와 원의 관계에

대해서 배우는 기하학이죠.

반지름, 원에 접하는 삼각형

등등도 배우고요.

기하학 영상 리스트에서

좀더 깊이있게 배우게 될 거에요

하지만 데카르트는 "난 유클리드가 이 삼각형과 원을 연구하던 것처럼

이걸 시각적으로 표현할 수 있을 것 같아"

"한번 해보지 뭐" 라고 말한거죠.

우린 여기 종이를 보면

이차원의 평면이라고 생각합니다

종이를 이차원 면의

한 부분으로 볼수 있어요.

우리 그걸 이차원이라고 불러요.

왜냐하면 움직일 수있는 방향이 두 방향 밖에 없기 때문입니다

위아래로,

한 방향을 움직일 수 있고

제가 파란색으로 그려볼게요.

왜냐하면 우린 이걸 시각적으로 보고 싶으니까요

이걸 색깔로 표현할게요

그래서 위아래 방향이 있고

오른쪽 왼쪽 방향이 있죠

그래서 이차원 면이라고 부르는거에요

만약 우리가 삼차원을 다룬다면

앞뒤 방향도 있어요

이차원은 스크린에서 보여주기가 쉽습니다

스크린이 이차원이니까요

그리고 데카르트가 말하길

"여기 두 변수가 있으니

이걸 한 방향과

연관 시키는게 어떨까?"

그래서 관례적으로 y변수를

종속 변수라고 해요

값에 따라

바뀌는 값이니까요

그레서 이걸 수직선에 놓고요

그리고 여기 독립변수를 놓을게요

y값이 뭐가 될지 보기위해

제가 맘대로 값을 고르는 변수입니다

이걸 수평선에 놓아요

그리고 데카르트가 바로

x와y를 관례적으로 쓰기 시작한 사람이에요

나중에 대수학을 더 배우면

미지수로 다루게 되는 z도요

그리고 그가 "이 각 방향에

숫자를 두자" 라고 했기 때문에

이 x축 방향에서

여긴 -3으로 하고

여긴 -2로 하고

여긴 -1

여긴 0

전 x축 방향에만 숫자를 두는거에요

왼쪽 오른쪽 방향이요

이제 여긴 1

여긴 2

여긴 3

그리고 y축 방향에도 똑같이 할 수 있죠

그래서

여길 -5, -4, -3

좀 더 깔끔하게 할게요

이걸 좀 지우고요

좀 지우고 이걸 더 연장하죠

너무 지저분하게 보이지 않고

-5까지 쭉 내려갈 수 있게요

여기까지 쭉 내려가서

숫자를 두죠

여긴 1, 여긴 2, 여긴 3

그리고 여긴 -1,

-2. 이건 그냥 다 관례적인거에요.

그냥 반대로 적었을 수도 있어요.

x를 여기에 두기로 하고

y를 여기에

이쪽을 양수 방향

이쪽을 음수 방향으로 할 수 도 있어요

하기만 이건 그냥 사람들이 이렇게 쓰기로 정한거죠

데카르트를 시작으로요

-2,-3,-4 와 -5

그리고 그가 말했어요

"이 두 값들을

이차원상의 점과 연관 시킬 수 있겠네?"

x좌표는 x값과 연관시키는 거에요

여기서 -2를 고르고

여기 왼쪽에 있겠네요

음수이기 때문에 왼쪽으로 가구요

그리고 수직선상에 -5와 연관 시켜요

y 값이 -5이니까

제가 왼쪽으로 2칸 아래로 5칸을 가면

여기 이 점에 도달합니다

이 -2,-5 두 값들은

이 점과 연관 시킬 수 있네요

이 이차원 면에서 말이죠

그래서 이 점은 좌표가 있다고 해요

제가 어디서 점 (-2,-5)를 찾을 수 있는지 알려주니까요.

이 좌표들를 데카르트 좌표라고 해요

이걸 발명해낸 르네 데카르트의

이름을 따서 말이죠.

그는 이 관계값들을

좌표평면 상의 점과 연관 시켰여요.

그럼 하나 더 해보죠

여기 다른 관계값이 있네요

x가 -1이고 y가-3일때

x가 -1이고 y가-3이니까

여기 이 점이네요

그리고 또 한번 관례적으로

이 좌표들을 쓸땐

x좌표를 먼저쓰고 y좌표를 써요.

사람들이 그냥 그렇게 정했으니까요

-1,-3은 여기 이 점이네요

그리고 x가 0이고 y가-1이면

x은 여기 0이니까

오른쪽이나 왼쪽으로 갈 필요가 없다는 거죠

y는 -1이나까 한칸 아래로 가면

여기 이 점, (0,-1)이네요

바로 여기요

그리고 이걸 계속 할 수도 있어요

여기 x가1이면, y는 1

x가 2이면, y는 3

그럼 한번 보라색으로 해볼게요

x가 2이면, y는 3이고

그리고 여기 주황색으로 된게 1,1이에요

깔끔하네요

제가 한 일은 가능한 x값들을 놓은 거죠

하지만 데카르트가 깨달은 것은

가능한 x값들을 놓을 수 있을 뿐만 아니라

계속 가능한 x값들을 놓으면

이 중간에 가능한 x값들을 놓으면

결국 직선을 그리게 된다는거에요

그러니까 만약 모든 가능한 x값들을 놓으면

직선을 그리게 되는거에요

이런식으로요

그냥 x값을 고르고

y값을 찾아내면, 그 값은 이 선 위의 한 값이에요.

반대로 생각하면

어떤 점이든 이 선 위의 점은

이 식의 해가 될 수 있는거에요

그래서 여기 이점

x값이 1과 1/2으로 보이네요

y값은 2구요.

1.5, 2

이게 이 식의 한 해인거에요.

x가 1.5일땐, 2 곱하기 1.5는 3, -1은 2네요.

바로 여기요

그래서 데카르트는

대수학과 기하학의 관계를 발견 할 수 있었던 거에요.

그래서 지금 우린 x,y쌍의 값들

여기 이 식을 만족시키는 값을 시각적으로 볼수 있죠.

그는 이걸 연관시키는데 큰 공헌을 한 사람이여서

우리가 점을 표기하는 이 좌표가

데카르트 좌표라고 불리는 이유구요.

그리고 여기 이 식을

이런 식들을 나중에 더 배울거지만

일반적인 대수학 교과과정에서는

이걸 1차 방정식이라고 불러요.

1차 방정식

그럼 이건 공식이고

이건 이것과 같은데

뭐가 이걸 선으로 보이게 하는거야?

라고 묻는다면

이게 왜 선을 그리는지 알려면

르네 데카르트가 한 도약을 해 보면 됩니다

왜냐하면 이걸 유클리드 평면 위에

데카르트 좌표을 이용해서

표기를 하면 선이 나오니까요.

그리고 나중에 보겠지만

선을 그리지 않는 다른 형식의 식들도 있어요.

곡선이나 좀 들쭉날쭉한걸 것들을 그리는 식이죠