Abstract-ness
-
0:01 - 0:04זה כאן, זו תמונה של רנה דקארט.
-
0:04 - 0:06שוב פעם אחד המוחות הגדולים
-
0:06 - 0:08גם במתמטיקה וגם בפילוסופיה
-
0:08 - 0:10ואני חושב שאתם תראו שיש פה קצת טרנד
-
0:10 - 0:13שהפילוסופים הגדולים היו גם מתמטקאים גדולים
-
0:13 - 0:15ולהפך
-
0:15 - 0:17הוא היה קצת בן זמנו של גלילאו
-
0:17 - 0:19הוא היה צעיר ממנו ב 32 שנים
-
0:19 - 0:22למרות שהוא נפטר זמן קצר אחרי שגלילאו נפטר
-
0:22 - 0:23האיש הזה נפטר בגיל הרבה יותר צעיר
-
0:23 - 0:25גלילאו היה בשנות ה 70 לחייו
-
0:25 - 0:28דקארט נפטר במה, הוא היה רק בן 54.
-
0:28 - 0:31והוא גם כנראה הכי מוכר בתרבות המודרנית
-
0:31 - 0:33בשל הציטוט שמופיע כאן
-
0:33 - 0:34ציטוט מאוד פילוסופי
-
0:34 - 0:36"אני חושב משמע אני קיים"
-
0:36 - 0:37אבל גם רציתי להוסיף
-
0:37 - 0:39וזה לא כ"כ קשור לאלגברה
-
0:39 - 0:41אבל אני פשוט חשבתי שזה ציטוט ממש מעולה
-
0:41 - 0:43כנראה הציטוט הכי פחות מפורסם שלו
-
0:43 - 0:44זה ממש כאן
-
0:44 - 0:47ואני אוהב אותו רק כי הוא מאוד מעשי
-
0:47 - 0:49והוא גורם לך להבין שהמוחות הגדולים האלה
-
0:49 - 0:51עמודי התווך של הפילוסופיה ושל מתמטיקה
-
0:51 - 0:52שבסופו של דבר
-
0:52 - 0:54הם היו רק בני אדם
-
0:54 - 0:56והוא אמר, "אתה פשוט ממשיך לנסות"
-
0:56 - 0:58אתה פשוט ממשיך לנסות
-
0:58 - 1:00אני עשיתי כל טעות שיכולה להעשות
-
1:00 - 1:02אבל פשוט המשכתי לנסות."
-
1:02 - 1:05שאני חושב שזה עצה מאוד טובה לחיים.
-
1:05 - 1:08עכשיו, הוא עשה הרבה דברים
-
1:08 - 1:09בפילוסופיה ובמתמטיקה
-
1:09 - 1:11אבל הסיבה שאני כולל כאן
-
1:11 - 1:13כשאנחנו בונים את יסודות האלגברה
-
1:13 - 1:16היא שהוא האדם
-
1:16 - 1:19שהכי אחראי לקשר חזק מאוד
-
1:19 - 1:21בין האלגברה לגאומטריה
-
1:21 - 1:23אז בצד שמאל כאן
-
1:23 - 1:25יש לך את העולם של האלגברה
-
1:25 - 1:26דברנו עליו קצת
-
1:26 - 1:28יש לך משוואת שמתעסקות עם סמלים
-
1:28 - 1:30והסמלים האלה הם בעצם
-
1:30 - 1:32הם יכולים לקבל ערכים
-
1:32 - 1:33אז יכול להיות לך משהו כמו
-
1:33 - 1:38y = 2x - 1
-
1:38 - 1:39זה נותן לנו מערכת יחסים
-
1:39 - 1:41בין מה ש-x שווה
-
1:41 - 1:42לבין מה ש-y שווה
-
1:42 - 1:44ואפשר אפילו לעשות כאן טבלה
-
1:44 - 1:47ולבחור ערכים ל-x
-
1:47 - 1:48ולראות מה הערכים של Y יהיו
-
1:48 - 1:52ואני יכול לבחור פשוט ערכים אקראיים ל X
-
1:52 - 1:53ואז לחשב למה שווה Y
-
1:53 - 1:55אבל אני אבחר ערכים יחסית פשוטים
-
1:55 - 1:58וככה שהמתמטיקה לא נהיית יותר מדי מסובכת
-
1:58 - 1:59אז לדוגמא
-
1:59 - 2:01אם X שווה 2-
-
2:01 - 2:04אז Y יהיה: 2X
1- 2- -
2:04 - 2:072 X -2 -1
-
2:07 - 2:10שזה 4- 1-
-
2:10 - 2:12שזה 5-
-
2:12 - 2:15אם X שווה 1-
-
2:15 - 2:20אז Y יהיה 2X-1 -1
-
2:20 - 2:22שזה שווה ל
-
2:22 - 2:25זה 2- 1- שזה 3-.
-
2:25 - 2:29אם X=0
-
2:29 - 2:33אז Y יהיה
2 x 0 -1 -
2:33 - 2:362 X 0 זה
-1 שזה -
2:36 - 2:37אני אעשה עוד כמה
-
2:37 - 2:38אם X שווה 1
-
2:38 - 2:39ויכולתי לבחור כל ערך כאן
-
2:39 - 2:40יכולתי להגיד מה קורה
-
2:40 - 2:42אם x הוא השורש השלילי של 2
-
2:42 - 2:45או מה קורה אם x שווה 5- חצאים
-
2:45 - 2:48או שש שביעיות (6/7)
-
2:48 - 2:49אבל אני רק בוחר את המספרים האלה
-
2:49 - 2:51כי זה עושה את המתמטיקה הרבה יותר קלה
-
2:51 - 2:53כשאני מנסה לחשב מה Y הולך להיות
-
2:53 - 2:54אבל כש X שווה 1
-
2:54 - 2:57Y יהיה
2(1) -1 -
2:57 - 3:002*1 זה 2 -1 זה 1
-
3:00 - 3:03ואני אעשה עוד אחד
-
3:03 - 3:05בצבע שעוד לא השתמשתי בו
-
3:05 - 3:07בו נראה את הסגול הזה
-
3:07 - 3:08אם x זה 2
-
3:08 - 3:09אז y יהיה
-
3:09 - 3:142(2) -1 (עכשיו ש-x הוא 2)
-
3:14 - 3:17ככה שזה : 4-1
זה שווה 3 -
3:17 - 3:18אז בצדק,
-
3:18 - 3:20אני בערך דגמתי את היחסים האלה
-
3:20 - 3:23אבל אמרתי בסדר, זה מתאר את היחסים הכלליים
-
3:23 - 3:25בין משתנה Y
לבין משתנה x -
3:25 - 3:27ואז הפכתי את זה ליותר מוחשי
-
3:27 - 3:28אמרתי, בסדר אז
-
3:28 - 3:30אם X הוא אחד מהמשתנים האלה
-
3:30 - 3:31לכל אחד מהערכים האלה של X
-
3:31 - 3:34מה יהיה הערך המקביל של Y
-
3:34 - 3:36ומה שדקארט הבין זה
-
3:36 - 3:37שאפשר להמחיש את זה באופן חזותי
-
3:37 - 3:40מה שאפשר לראות זה נקודות יחידות
-
3:40 - 3:43אבל זה יכול גם לעזור לך באופן כללי
-
3:43 - 3:46לראות את כל כל היחסים
-
3:46 - 3:47אז מה שהוא בעצם עשה
-
3:47 - 3:52הוא גישר את העולמות של האלגברה שהיא די מופשטת
-
3:52 - 3:55ושל הגאומטריה שהיא נוגעת
-
3:55 - 3:58לצורות וגדלים וזוויות
-
3:58 - 4:03אז כאן יש לך את העולם של גאומטריה
-
4:03 - 4:05וכמובן שהיו אנשים בהיסטוריה
-
4:05 - 4:07אולי הרבה אנשים שההיסטוריה אולי שכחה
-
4:07 - 4:09שיכול להיות שהתעסקו עם זה
-
4:09 - 4:12אבל לפני דקארט זה נחשב באופן כללי
-
4:12 - 4:15שגאומטריה הייתה הגאומטריה האוקלידית
-
4:15 - 4:16וזה בעצם הגאומטריה
-
4:16 - 4:18שלמדת בשיעור גאומטריה
-
4:18 - 4:20בכיתה ח' או ט' או י'
-
4:20 - 4:23בתכנית לימודים המסורתית של התיכון
-
4:23 - 4:24וזאת הגאומרטיה של לימוד
-
4:24 - 4:29היחסים בין משולשים והזוויות שלהם
-
4:29 - 4:31והיחסים בין עיגולים
-
4:31 - 4:34ויש לכם רדיוסים ואז יש לכם משולשים
-
4:34 - 4:36מצויירים בעיגולים וכל השאר
-
4:36 - 4:37ונכנס לקצת עומק
-
4:37 - 4:40ברשימת הנושאים של הגאומטריה.
-
4:40 - 4:43אבל דקארט אומר 'אני חושב שאני יכול לייצג את זה בצורה באופן חזותי
-
4:43 - 4:47באותה צורה שאוקלידיס למד את המשולשים האלה והעיגולים האלה'
-
4:47 - 4:48והוא אומר ' למה לא?'
-
4:48 - 4:51אם אנחנו רואים חתיכת נייר
-
4:51 - 4:52אם אנחנו חושבים על מישור דו-מימדי
-
4:52 - 4:54אתה יכול לראות חתיכת נייר
-
4:54 - 4:56כחלק ממישור דו-מימדי.
-
4:56 - 4:58אנחנו קוראים לזה דו-מימדי
-
4:58 - 5:00כי יש שני כיוונים שאפשר ללכת בהם
-
5:00 - 5:01יש את הכיוון למעלה-למטה
-
5:01 - 5:03זה כיוון אחד
-
5:03 - 5:05אז תנו לי לצייר את זה, אני אעשה את זה בכחול
-
5:05 - 5:07כי אנחנו מנסים להמחיש דברים בצורה חזותית
-
5:07 - 5:08אז אני אעשה את זה בצבע של הגאומטריה.
-
5:08 - 5:12אז יש לכם את הכיוון מעלה-מטה
-
5:12 - 5:14ויש לכם את כיוון השמאל-ימין
-
5:14 - 5:17זאת הסיבה שקוראים לזה מישור דו-מימדי.
-
5:17 - 5:18אם אנחנו מתעסקים עם תלת-מימדי
-
5:18 - 5:21יש לכם את כיוון הפנימה- החוצה.
-
5:21 - 5:23וזה מאוד פשוט לעשות שני מימדים על המסך
-
5:23 - 5:25כי המסך הוא דו-מימדי.
-
5:25 - 5:27והוא אומר 'טוב, אתם יודעים
-
5:27 - 5:30יש כאן שני משתנים ויש ביניהם יחסים.
-
5:30 - 5:33אבל למה שאני לא אשייך כל אחד מהמשתנים האלה
-
5:33 - 5:35אם אחד מהמימדים האלה כאן?'
-
5:35 - 5:38ועפ"י מוסכמה הוא נעשה את משתנה Y
-
5:38 - 5:39שהוא בעצם המשתנה התלוי,
-
5:39 - 5:40כמו שעשינו את זה,
-
5:40 - 5:42הוא תלוי במה ש X שווה.
-
5:42 - 5:44אז בוא נשים אותו על הציר האנכי
-
5:44 - 5:45ובוא נשים את המשתנה הבלתי תלוי שלנו,
-
5:45 - 5:47זה שבחרתי לו ערכים באופן אקראי
-
5:47 - 5:48לראות מה יהיה Y
-
5:48 - 5:51בוא נשים את זה על הציר האופקי.
-
5:51 - 5:53וזה למעשה היה דקארט
-
5:53 - 5:56שהגה את קונבנציה של שימוש ב Xים וYים
-
5:56 - 5:59ונראה אח"כ Zים באלגברה, באופן כ"כ נרחב
-
5:59 - 6:02כמשתנים לא ידועים או המשתנים שאנחנו מתמרנים.
-
6:02 - 6:04אבל הוא אומר 'טוב, אם אנחנו חושבים על זה בצורה כזאת
-
6:04 - 6:07אם אנחנו ממספרים את המימדים האלה
-
6:07 - 6:10אז בוא נאמר שבכיוון X
-
6:10 - 6:16בוא נעשה את זה פה 3-
-
6:16 - 6:18בוא נעשה את זה 2-
-
6:18 - 6:19זה 1-
-
6:19 - 6:21זה 0
-
6:21 - 6:24אני רק ממספר את ציר הX
-
6:24 - 6:25כיוון השמאל-ימין
-
6:25 - 6:27עכשיו זה 1 חיובי
-
6:27 - 6:28זה 2 חיובי
-
6:28 - 6:30וזה 3 חיובי
-
6:30 - 6:32ואנחנו יכולים לעשות את דבר בכיוון Y
-
6:32 - 6:34אז בוא נראה, זה יכול ללכת
-
6:34 - 6:40נגיד שזה 5-, 4-, 3-
-
6:40 - 6:42למעשה בוא אניאעשה את זה קצת יותר מסודר מזה
-
6:42 - 6:45תנו לי לנקות את זה טיפה.
-
6:45 - 6:48אני אמחק את זה ואאריך את זה למטה קצת
-
6:48 - 6:50אז אני יכול לרדת עד ל5-
-
6:50 - 6:52בלי שזה יראה מבולגן
-
6:52 - 6:53אז בוא נרד עד למטה כאן
-
6:53 - 6:55ואז אנחנו יכולים למספר את זה
-
6:55 - 6:58זה 1, זה 2, זה 3,
-
6:58 - 7:01ואז זה יכול להיות 1-
-
7:01 - 7:032- וכל אלה זה רק מוסכמות
-
7:03 - 7:04זה יכול היה להיות מתויג בדרך אחרת
-
7:04 - 7:06יכולנו להחליט לשים את X שם
-
7:06 - 7:07ואת Y שם
-
7:07 - 7:08ולהפוך את זה לכיוון החיובי,
-
7:08 - 7:09להפוך את זה לכיוון השלילי.
-
7:09 - 7:11אבל זו רק מוסכמה שאנשים אימצו
-
7:11 - 7:13החל מדקארט.
-
7:13 - 7:182-, 3-, 4- ו 5-
-
7:18 - 7:20והוא אומר 'טוב כל דבר אני יכול לשייך
-
7:20 - 7:23אני יכול לשייך כל אחד מזוגות הערכים האלה עם
-
7:23 - 7:25נקודה בשני מימדים.
-
7:25 - 7:28אני יכול לקחת את ה-X של נקודת הציון, אני יכול לקחת את הערך של X
-
7:28 - 7:30ממש כאן ואני אומר ' אוקיי, זה 2
-
7:30 - 7:34זה יהיה ממש שם לאורך כיוון השמאל-ימין
-
7:34 - 7:36אני הולך לשמאל כי זה שלילי.'
-
7:36 - 7:39וזה משוייך עם 5- בכיוון האנכי.
-
7:39 - 7:42אז אני אומר שהערך של Y הוא 5-
-
7:42 - 7:46ואז אם אני הולך 2 שמאלה ו 5 למטה.
-
7:46 - 7:49קבלתי את הנקודה הזאת ממש שם.
-
7:49 - 7:54אז הוא אומר ' שני הערכים האלה 2- ו 5-
-
7:54 - 7:56אני יכול לשייך לנקודה הזאת
-
7:56 - 7:59במישור הזה כאן, המישור הדו-מימדי.
-
7:59 - 8:03אז אני אומר: לנקודה הזאת יש את הקורדינטות (נק' ציון),
-
8:03 - 8:06אומרת לי איפה אני מוצא את הנקודה הזו (5-,2-)
-
8:06 - 8:09והקואורדינטות האלה נקראות 'קואורדינטות קרטזיות'
-
8:09 - 8:12נקראות על שם רנה דקארט
-
8:12 - 8:14הי הוא היה האיש שהגה אותןץ
-
8:14 - 8:15הוא משייך פתאום את כל היחסים האלה
-
8:15 - 8:18עם נקודות על מישור של קואורדינטות.
-
8:18 - 8:20ואז הוא אומר 'טוב בסדר, בוא נעשה עוד אחת'
-
8:20 - 8:22יש עוד איזה יחס,
-
8:22 - 8:27כשX שווה ל 1-, Y=-3
-
8:27 - 8:30אז X הוא 1-, Y הוא 3-
-
8:30 - 8:32זאת הנקודה הזאת שם.
-
8:32 - 8:33והקונבנציה (מוסכמה) היא שוב
-
8:33 - 8:34'כשאתה עורך את רשימת הקואורדינטות
-
8:34 - 8:37אתה רושם את הקואורדינטות של X, אח"כ אתה רושם את הקואורדינטות של Y
-
8:37 - 8:38וזה פשוט מה שאנשים החליטו לעשות.
-
8:38 - 8:421-, 3- זאת תהיה הנקודה הזאת שם
-
8:42 - 8:46ואז יש לך את הנקודה כש X הוא 0, Y הוא 1-
-
8:46 - 8:48כש X הוא 0 פה
-
8:48 - 8:50שזה אומר שאני לא הולך ימינה או שמאלה.
-
8:50 - 8:53Y הוא 1-, שזה אומר שאני הולך 1 למטה.
-
8:53 - 8:56אז זאת הנקודה הזאת שם. (1-,0)
-
8:56 - 8:57ממש שם
-
8:57 - 8:59ואני יכול להמשיך לעשות את זה
-
8:59 - 9:04כש X הוא 1, Y הוא 1
-
9:04 - 9:10כש X הוא 2, Y הוא 3
-
9:10 - 9:12בעצם אני אעשה את זה עם אותו צבע סגול
-
9:12 - 9:15כש X הוא 2, Y הוא 3
-
9:15 - 9:212,3 ואז זאת כאן בכתום הייתה 1,1
-
9:21 - 9:22וזה מעולה כשלעצמו
-
9:22 - 9:25אני בעצם פשוט דגמתי Xים אפשריים.
-
9:25 - 9:26אבל מה שהבנתי זה
-
9:26 - 9:28לא רק שאתה דוגם את ה Xים האפשריים האלה
-
9:28 - 9:30אבל אם המשכת לעשות עוד דוגמאות של Xים,
-
9:30 - 9:31אם הייתי מנסה לדגום את כל הXים ביניהם,
-
9:31 - 9:34היית למעשה מוצא את עצמך יוצר קו.
-
9:34 - 9:36אז אם היית עושהכל X אפשרי
-
9:36 - 9:38היית בסוף מקבל קו
-
9:38 - 9:44שנראה משהו כזה... כאן.
-
9:44 - 9:48וכל... כל יחסים, אם אתה בוחר כל X
-
9:48 - 9:51ומוצא כל Y זה באמת מייצג נקודה על הקו הזה,
-
9:51 - 9:52או עוד דרך לחשוב על זה
-
9:52 - 9:54כל נקושה על הקו מייצגת
-
9:54 - 9:57פתרון למשוואה הזאת
-
9:57 - 9:59אז אם יש לך את הנקודה הזאת כאן.
-
9:59 - 10:02שנראית כמו X שווה 1 וחצי
-
10:02 - 10:03Y שווה 2, אז תנו לי לכתוב את זה
-
10:03 - 10:071.5,2
-
10:07 - 10:09זה פתרון למשווה הזאת.
-
10:09 - 10:14כש X הוא 1.5, 2X 1.5 זה 3 -1 זה 2
-
10:14 - 10:16זה שם.
-
10:16 - 10:17אז פתאום הוא יכל לגשר
-
10:17 - 10:22את הפער או היחס הזה בין אלגברה וגאומטריה.
-
10:22 - 10:27אנחנו עכשיו יכולים לתאר בצורה חזותי את כל זוגות ה X וה Y
-
10:27 - 10:31שמספקים את המשוואה הזאת.
-
10:31 - 10:36אז הוא האחראי על יצירת הגשר הזה
-
10:36 - 10:38ולכן הקואורדינטות
-
10:38 - 10:43שאנחנו משתמשים כדי לציין את הנקודות האלה נקראות 'קואורדינטות קרטזיות'
-
10:43 - 10:45וכמו שנראה, הסוג הראשון של המשוואות
-
10:45 - 10:49שנלמד הן משוואות מהסוג הזה כאן
-
10:49 - 10:50ובתכנית הלימודים האלגברית הרגילה
-
10:50 - 10:53הם נקראות משוואות לינאריות...
-
10:53 - 10:56משוואות לינאריות.
-
10:56 - 10:58ואולי אתם אומרים: טוב אנחנו יודעים, זאת משוואה
-
10:58 - 11:00אני רואה שזה שווה לזה
-
11:00 - 11:01אבל מה כ"כ לינארי (קוי, שורתי) בהם?
-
11:01 - 11:02מהגורם להם להראות כמו קו?
-
11:02 - 11:04כדי להבין למה הן לינאריות
-
11:04 - 11:07צריך לעשות את הקפיצה הזאת שעשה רנה דקארט.
-
11:07 - 11:09כי אם אתה רושם את זה
-
11:09 - 11:11בשימוש של קואורדינטות קרטזיות
-
11:11 - 11:14על מישור אוקלידי, אתה תקבל קו.
-
11:14 - 11:16ובעתיד תראו
-
11:16 - 11:18שיש עוד סוגים של משוואות שבהן לא נקבל קו ישר
-
11:18 - 11:22נקבל עקומה, או משהו כזה משוגע או מוזר.
- Title:
- Abstract-ness
- Description:
-
The general idea behind the word 'abstract'
Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/the-beauty-of-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraI
Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraIAlgebra I on Khan Academy: Algebra is the language through which we describe patterns. Think of it as a shorthand, of sorts. As opposed to having to do something over and over again, algebra gives you a simple way to express that repetitive process. It's also seen as a "gatekeeper" subject. Once you achieve an understanding of algebra, the higher-level math subjects become accessible to you. Without it, it's impossible to move forward. It's used by people with lots of different jobs, like carpentry, engineering, and fashion design. In these tutorials, we'll cover a lot of ground. Some of the topics include linear equations, linear inequalities, linear functions, systems of equations, factoring expressions, quadratic expressions, exponents, functions, and ratios.
About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.
For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything
Subscribe to Khan Academy’s Algebra channel:
https://www.youtube.com/channel/UCYZrCV8PNENpJt36V0kd-4Q?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy - Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 11:22