Introduction to the coordinate plane | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy

Bridging algebra and geometry. What makes linear equations so linear.

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/why-all-the-letters-in-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraI

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/the-beauty-of-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraI

Algebra I on Khan Academy: Algebra is the language through which we describe patterns. Think of it as a shorthand, of sorts. As opposed to having to do something over and over again, algebra gives you a simple way to express that repetitive process. It's also seen as a "gatekeeper" subject. Once you achieve an understanding of algebra, the higher-level math subjects become accessible to you. Without it, it's impossible to move forward. It's used by people with lots of different jobs, like carpentry, engineering, and fashion design. In these tutorials, we'll cover a lot of ground. Some of the topics include linear equations, linear inequalities, linear functions, systems of equations, factoring expressions, quadratic expressions, exponents, functions, and ratios.

About Khan Academy: Khan Academy is a nonprofit with a mission to provide a free, world-class education for anyone, anywhere. We believe learners of all ages should have unlimited access to free educational content they can master at their own pace. We use intelligent software, deep data analytics and intuitive user interfaces to help students and teachers around the world. Our resources cover preschool through early college education, including math, biology, chemistry, physics, economics, finance, history, grammar and more. We offer free personalized SAT test prep in partnership with the test developer, the College Board. Khan Academy has been translated into dozens of languages, and 100 million people use our platform worldwide every year. For more information, visit www.khanacademy.org, join us on Facebook or follow us on Twitter at @khanacademy. And remember, you can learn anything.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Algebra channel:
https://www.youtube.com/channel/UCYZrCV8PNENpJt36V0kd-4Q?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Voici un portrait de

Encore une fois, un grand esprit

à la fois en maths et en philosophie.

Et je crois que vous verrez souvent

que les grands philosophes

et vice versa.

Et il était contemporain de Galilée

il était 32 ans plus jeune

même s'il est mort peu après Galilée.

Ce type est mort bien plus jeune,

Galilée avait plus de 70 ans

Descartes est mort à seulement 54 ans.

Et c'est probablement pour cette citation,

qu'il est le plus connu dans la culture populaire,

une citation très philosophique :

"Je pense donc je suis"

mais je voulais aussi ajouter,

et ce n'est pas lié tant que ça à l'algèbre,

mais j'ai pensé que c'est une belle citation.

Probablement sa citation la moins célèbre.

Celle-là

Et je l'aime parce qu'elle est très concrète

et qu'elle vous fait réaliser que ces grands esprits

ces piliers de la philosophie et des mathématiques

qu'au bout du compte

ils n'étaient que des êtres humains.

et il a dit :

Il faut insister continuellement

J'ai fait toutes les erreurs qui pouvaient être faites.

Mais j'ai encore insisté."

Ce qui, je crois, est un très très bon conseil pour la vie.

Il a fait beaucoup de choses

en philosophie et mathématiques

mais la raison pour laquelle je l'inclus ici

alors que nous construisons les fondations de l'algèbre

est qu'il est celui

qui est la cause d'un lien très fort

entre l'algèbre et la géométrie.

Ici à gauche

on a le monde de l'algèbre.

Nous en avons parlé un peu.

Vous avez des équations qui traitent de symboles

et ces symboles sont en fait --

ils peuvent prendre des valeurs

et on peut avoir quelque chose comme

y = 2x - 1

ce qui nous donne une relation

entre ce qu'est x et

ce qu'est y.

et on peut en faire une table

et prendre des valeurs pour x

et voir ce que les valeurs de y seraient.

et je peux juste choisir au hasard des valeurs de x

et calculer ce que vaut y.

mais je vais prendre des valeurs rlativement simples

pour que les calculs

donc par exemple

si x vaut -2

alors y vaudra 2 *(-2) - 1

2 *(-2) - 1

qui vaut -4 - 1

ce qui fait -5

si x vaut -1

alors y vaudra 2 x (-1) - 1

qui est égal à

-2 - 1 qui vaut -3

si x=0

alors y vaudra

2 x 0 vaut 0 - 1 ce qui fait juste -1

Je vais en faire encore 2 ou 3.

si x vaut 1

et j'aurais pu prendre n'importe quelle valeur ici

J'aurais pu dire

est l'opposé de la racine carrée de 2

ou que se passe-t-il si x vaut -5 demis

ou six septièmes

mais je prends juste ces nombres

parce qu'ils rendent les calculs beaucoup plus faciles

quand j'essaye de trouver le résultat.

mais quand x vaut 1

y va valoir

2*1 vaut 2-1 soit 1

et j'en fait un autre

dans une couleur que je n'ai pas encore utilisée.

ce violet

si x vaut 2

alors y vaudra

2*(2) - 1

donc 4-1 est égal à 3

voilà, j'ai

choisi certains points de cette relation. Mais j'ai dit

j'ai dit "OK, ceci décrit une relation générale

entre une variable y et une variable x"

et ensuite j'ai rendu ça concret.

J'ai dit "OK, eh bien

si x est une de ces variables,

pour chacune de ces valeurs de x,

quelle serait la valeur correspondante de y ?"

et ce que Descartes a réalisé

est qu'on pouvait visualiser ça,

que l'on pouvait visualiser

Mais cela peut aussi nous aider en général

pour visualiser cette relation

en fait, ce qu'il a fait est

d'établir une relation entre ces mondes

et 2) celui de la géométrie qui s'occupait

des formes, des tailles et des angles.

Donc de ce côté vous avez le monde de la géométrie

et évidemment il y a des gens dans l'histoire,

peut-être beaucoup de gens que l'histoire peut avoir oublié

qui pourraient s'y être essayé.

Mais avant Descartes on considérait généralement

que la géométrie était la géométrie euclidienne.

et c'est en fait la géométrie

que vous avez étudié en géometrie

en 4ème ou 3ème

dans un collège standard.

Et c'est la géométrie qui étudie

les relations entre les triangles,

et les relations entre les cercles.

on a des rayons et puis on a

des triangles inscrits dans des cercles et tout le reste

et nous en étudierons certaines facettes

dans la série sur la géométrie.

Mais Descartes dit : "Bien, je pense que je peux représenter

ces triangles et ces cercles."

Il a dit : "Pourquoi pas ?"

Si on considère un morceau de papier.

Si on pense à un plan en deux dimensions.

on pourrait voir un bout de papier un peu comme

une section d'un plan à deux dimensions.

On l'appelle "à deux dimensions" parce qu'il y a

deux directions dans lesquelles on peut aller.

Il y a la direction haut-bas,

C'est une direction.

Je vais la dessiner etje vais le faire en bleu.

parce que nous essayons de visualiser les choses

Donc je vais le faire avec les couleurs utilisées pour la ²géométrie.

Donc on a la direction haut-bas

et on a la direction gauche-droite.

C'est pourquoi on l'appelle un plan à deux dimensions.

Si on a affaire à trois dimensions.

on a une dimension qui entre et qui sort.

et c'est très facile à faire à deux dimensions

sur l'écran car l'écran est

et il dit : "Vous le savez bien, il y a

deux variables ici et elles ont

cette relation. Mais pourquoi ne pas associer

l'une de ces dimensions ici ?"

et par convention choisissons la variable y

comme variable dépendante.

Avec la façon dont on l'a fait,

elle dépend de x.

Mettons-la donc sur l'axe vertical,

et mettons notre variable indépendante,

(celle où j'ai juste pris des valeurs au hasard)

pour voir ce que y allait devenir, mettons-la

sur l'axe horizontal.

et c'est en fait Descartes qui a inventé

une convention d'utiliser autant x et y

(et nous verrons plus tard z en algèbre)

comme variables inconnues avec les variables

Mais il affirme que "si on pense à ce sujet cette manière

Si nous numérotons ces dimensions

Disons que dans la direction x

marquons -3

marquons -2

voici -1

voici 0

Je numérote juste la direction x

suivant la direction gauche-droite.

Voilà +1

voilà +2

et voilà +3.

et on pourrait faire de même dans la direction y

Voyons où on va, donc cela pourrait être

disons que c'est -5, -4, -3

en fait je vais le faire plus proprment.

Je vais nettoyer ça un petit peu.

Je vais effacer ça et étendre ça un petit peu vers le bas

Pour descendre jusqu'à -5

sans que ça ait l'air trop sale.

Donc on descend jusqu'en bas

et on numérote

voilà 1, voilà 2,voilà 3,

et ça pourrait être -1

-2 et ce sont juste toutes des conventions

On pourrait les avoir étiquetés dans l'autre sens.

On pourrait avoir décidé de mettre le x là

et le y là

et que ceci soit le sens positif,

C'est la direction négative.

mais c'est juste une convention que les gens ont adoptée

à partir de Descartes.

-2, -3, -4 et -5

et il dit "Eh bien, je peux associer n'importe quelque chose

Je peux associer à chacune de ces paires de valeurs

un point en deux dimensions.

Je peux prendre la coordonnée x, je peux prendre la valeur x

juste ici et je dis "Ok c'est -2

qui serait juste là-bas le long

parce qu'il est négatif."

et puis on lui associe -5

Si je dis que la valeur y est -5

et donc, si je vais 2 à droite et 5 vers le bas.

J'atteins ce point là-bas.

ainsi il affirme que "Ces deux valeurs -2 et -5,

Je peux associer leur associer ce point

dans ce plan, dans ce plan en deux dimensions

donc je vais dire "Le point a les coordonnées

qui me disent où je peux trouver ce point. (-2, -5).

et ces coordonnées sont appelées

du nom de René Descartes parce qu'il est

le gars qui les a inventé.

Il est associe tout d'un coup ces

relations avec des points dans un plan de coordonnées

et puis il dit-il "Eh bien,OK, on en fait un autre."

Il y a cet autre lien,

lorsque x est égal à -1, y = -3

alors x vaut -1, y vaut -3.

C'est ce point juste là.

et la convention est une fois de plus.

"Lorsque vous listez les coordonnées,

vous listez la coordonnée x, puis la coordonnée y

et c'est ce qu'on a décidé de faire.

-1, -3 qui serait ce point là-bas

et puis vous avez le point quand x vaut 0, y vaut -1

lorsque x vaut 0 par ici, ce qui signifie

Je ne vais ni à gauche ou ni à droite.

y vaut -1, ce qui signifie que je vais 1 vers le bas.

C'est donc ce point juste là est (0, -1)

juste là

et je pourrais continuer à faire ça.

lorsque x vaut 1, y vaut 1

lorsque x vaut 2, y vaut 3

en fait je vais le faire avec la même couleur violette

lorsque x vaut 2, y vaut 3

2,3 et ensuite celui-là en orange

et c'est ???, j'ai en fait

choisi des x possibles.

mais ce qu'il a réalisé, c'est que non seulement vous choisissez

Ces x possibles, mais si on continuait

à choisir des x, si on essayait

tous les x entre les deux, on finirait en fait

par tracer une ligne.

Donc, si on faisait chaque x possible

on finirait par obtenir une ligne qui ressemble

à ça... juste ici.

et chaque relation, si on prend n'importe quel x

et qu'on trouve le y, représente en fait un point

sur cette ligne, ou d'une autre façon de penser,

n'importe quel point sur cette ligne représente

une solution a cette equation bien ici

Donc, si vous avez ce point- ci.

où on dirait que x vaut 1 et demi,

y vaut 2. J'écris que

(1.5,2).

est une solution de cette équation.

lorsque x vaut 1,5 , 2 x 1,5 est 3-1 soit 2.

C'est juste là.

Donc tout à coup, Descartes a réussi établir

un lien entre

Nous pouvons maintenant visualiser tous les paires de x de y

qui satisfont cette équation-là

et celui qui a établit ce lien

et c'est pourquoi les coordonnées que nous utilisons

pour désigner ces points sont appelés

Et que quand on va voir les équations,

nous étudierons des équations de cette forme

et dans un programme d'enseignement traditionnel de l'algèbre,

on les appelle équations linéaires...

équations linéaires.

et vous pouvez dire

Je vais vérifier que c'est égal à ceci de son côté.

mais pourquoi dire linéaire ?

pourquoi ressemblent-elles à une ligne? »

Pour comprendre pourquoi elles sont linéaires, il faut faire

ce saut que René Descartes a fait.

parce que si on trace ça,

en utilisant les coordonnées cartésiennes.

sur un plan euclidien, on obtient une ligne.

Et dans l'avenir, on verra qu'il existe d'autres

types d'équations où on n'obtiendra pas une ligne.

On obtient une courbe, ou quelque chose de fou