Introduction to the coordinate plane | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy

Bridging algebra and geometry. What makes linear equations so linear.

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/why-all-the-letters-in-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraI

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/the-beauty-of-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraI

Algebra I on Khan Academy: Algebra is the language through which we describe patterns. Think of it as a shorthand, of sorts. As opposed to having to do something over and over again, algebra gives you a simple way to express that repetitive process. It's also seen as a "gatekeeper" subject. Once you achieve an understanding of algebra, the higher-level math subjects become accessible to you. Without it, it's impossible to move forward. It's used by people with lots of different jobs, like carpentry, engineering, and fashion design. In these tutorials, we'll cover a lot of ground. Some of the topics include linear equations, linear inequalities, linear functions, systems of equations, factoring expressions, quadratic expressions, exponents, functions, and ratios.

About Khan Academy: Khan Academy is a nonprofit with a mission to provide a free, world-class education for anyone, anywhere. We believe learners of all ages should have unlimited access to free educational content they can master at their own pace. We use intelligent software, deep data analytics and intuitive user interfaces to help students and teachers around the world. Our resources cover preschool through early college education, including math, biology, chemistry, physics, economics, finance, history, grammar and more. We offer free personalized SAT test prep in partnership with the test developer, the College Board. Khan Academy has been translated into dozens of languages, and 100 million people use our platform worldwide every year. For more information, visit www.khanacademy.org, join us on Facebook or follow us on Twitter at @khanacademy. And remember, you can learn anything.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Algebra channel:
https://www.youtube.com/channel/UCYZrCV8PNENpJt36V0kd-4Q?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

"Добре, това е уравнение,

'Декартови координати'

'Декартови координати'

2(0) -1

2(1) -1

Алгебра и Геометрия.

Алгебрата по същя начин както Евклид е изучавал

Продължавай да се бориш.

Рене Декарт

Този на прекалено абстрактната Алгебра

всяка от променливите в

да са велики математици

двуизмерен.

е (1,1)

и техните ъгли.

или шантаво.

какво ще получим, ако

които променяме.

на това уравнение.

отделни точки.

по вертикалната ос.

по хоризонталната ос и ще е наляво,

сложно за пресмятане.

Това тук е снимка на

Още един от най-великите умове

в математиката и философията.

Мисля, че ще видите тенденцията

великите философи

и обратно.

Той е бил нещо като съвременник на Галилей

Бил е с 32 години по-млад.

Въпреки че е починал скоро след Галилей.

Починал е доста млад,

за сравнение Галилей е бил над 70 годишен,

Декарт умира само на 54 години.

И той вероятно е най-известен

с този цитат тук.

Много философско изказване.

"Мисля, следователно съществувам."

Също така исках да вметна,

тъй като няма общо с алгебрата,

но според мен е наистина добра мисъл.

Вероятно най-неизвестната му фраза.

Тази тук.

Харесвам я, защото е много практична

и те кара да осъзнаеш, че тези велики умове,

тези стълбове на философията и математиката

в крайна сметка

са били просто хора.

А той е казал

Продължавай да се бориш.

Направих всяка грешка, която може да се направи,

но продължих да се боря"

Което мисля, че е много, много добър житейски съвет.

Та той е направил много

за философията и математиката

но причината да го включим тук

докато изучаваме основите на алгебрата

е, че този човек има

най-много заслуги за силната връзка

между алгебра и геометрия.

Тук в ляво

имаме света на алгебрата.

Това сме го говорили вече.

Имаме уравнения, съставени от символи

и тези символи всъщност

могат да приемат стойности

така можем да съставим уравнение

у = 2х -1

Това ни дава връзка

между стойността на х

и стойността на у.

И дори можем да направим таблица

и да избираме стойности за х

за да видим какви може да са стойностите за у.

Можем да си изберем случайна стойност за х

и тогава да открием колко ще е у.

но нека избираме сравнително лесни стойности

за да не бъде

Например

ако х е -2

тогава у ще е 2(-2) -1

2(-2) -1

което е -4 -1

което е -5

ако х е -1

тогава у ще бъде 2(-1) -1

което е равно на

-2 -1 = -3

ако х= 0

тогава у ще бъде

2(0) е 0 -1, което е -1

Нека сметнем още няколко.

Ако х е 1

Можем да изберем всяка една стойност

Можех, например, да кажа

х е отрицатлната стойност на корен квадратен от 2

или х е -5/2

или 6/7.

Просто избирам прости числа

защото така пресмятането е много по-лесно

и мога веднага да разбера колко ще бъде у.

Когато х е 1

у ще бъде

2 по 1 е 2 и -1 става 1

Нека направим още едно пресмятане.

В цвят, който все още не сме използвали.

Например лилаво.

ако х е 2

тогава у ще бъде

2(2) -1, защото сега х=2

това прави 4 -1 = 3

Дотук добре,

просто показахме примери за тази връзка.

В началото казахме, че уравнението показва връзка

между променлива у и променлива х.

След това направихме конкретна връзка.

Нека

х е една от тези променливи.

За всяка от тези стойности на х,

каква ще е отговарящата стойност на у?

Това, което Декарт осъзнава е,

че връзката може да се визуализира.

Можем да изобразим

Това може да ни помогне

да изобразим връзката.

Така, това, което Декарт всъщност е направил е

да свърже двата свята.

с този на Геометрията, занимаваща се

с форми, размери и ъгли.

Ето това тук е светът на Геометрията

и очевидно има хора в историята,

много от тях може би са забравени,

които са тръгнали в тази посока.

Но преди Декарт се е считало,

че Геометрията е Евклидовата Геометрия.

Това е Геометрията,

която се изучава в училище,

в 8-ми, 9-ти или 10-ти клас.

в стандартните уроци по математика.

Тази Геометрия изучава

връзката между триъгълниците

Връзката между окръжности

с техните радиуси и

триъгълници, вписани в окръжност и всичко останало.

ТОва е основата, която се надгражда

при изучаването на този тип Геометрия.

Но Декарт казва, "Аз мисля, че моге да представя

триъгълниците и окръжностите"

Казва си "Защо не?"

Ако имаме лист хартия

и си представим двуизмерна равнина,

можем да кажем, че този лист хартия е

част от тази двуизмерна равнина.

Наричаме я двуизмерна, защото има

две посоки, в които можем да тръгнем.

Имаме вертикална посока,

това е едната.

Нека я изобразим в синьо,

защото се опитваме да визуализираме нещата,

затова ще го направим в цвета на Геометрията.

Ето това е вертикалната посока,

а това е хоризонталната посока.

Затова се нарича двуизмерна равнина.

Ако имахме триизмерно пространство

трябваше да нарисуваме и напречна посока (от нас към екрана и обратно)

Лесно се работи в двуизмерна равнина

на екрана, защото той е

Декарт казва "Имаме

две променливи и те имат

връзка помежду си. Защо да не представим

една от тези посоки?"

Нека представим променливата у,

която всъщност е зависимата променлива

според нашето увравнение,

защото зависи от стойностите на х.

Нека поставим стойностите по вертикалната ос.

И нека поставим стойностите на независимата променлива,

тази, която избирахме произволно в примерите

за да намерим стойността на у. Нека тя да бъде

на хоризонталната ос.

Всъщност Декарт е измислил това представяне

на х и у по двете оси.

По-късно ще видим и z в Алгебрата,

като неизвестна променлива, която зависи от променливите,

Декарт обяснява "Ако помислим по следния начин

и номерираме тези посоки"

Да кажем, че в хоризонтална посока,

нека това да бъде -3

това нека е -2

това е -1

това е 0

Просто номерираме хоризонталната посока

отляво надясно.

Това тук е 1

това е 2,

а това е 3.

Можем да направим същото с вертикалната посока

нека видим как ще изглежда

това са -5, -4, -3.

Всъщност нека го направим малко по-прегледно.

Нека изчистим тези числа.

Нека изтрием стрелката и да удължим линията надолу.

така, че да можем да изпишем до -5

без да изглежда претрупано.

Нека направим оста до тук.

И вече можем да поставим числата.

Това е 1, това е 2, това е 3,

А тук може да бъде -1

-2 и това са произволно избрани посоки.

Можеше да завъртим осите обратно.

Можем да сложим стойностите на х тук

а тези на у тук.

Това може да бъде положителната посока,

а това отрицателната посока.

Но тази подредба е възприета като стандарт,

въведен от Декарт.

-2, -3, -4 и -5.

И така Декарт казва "По този начин мога да асоциирам всичко"

Можем да свържем всяка от тези двойки числа с

точка в двуизмерното пространство.

Можем да вземем стойността на х

от тук и да решим, че при стойност -2

това трябва да бъде

защото стойността е отрицателна.

На тази стойност отговаря -5

Ето тук стойността на у е -5.

И така 2 наляво и 5 надолу.

Стигаме до тази точка.

По този начин стойностите -2 и -5

асоциираме с тази точка

в двуизмерната равнина

Това ознчава, че тази точка има координати,

които ни показват къде да я открием. (-2,-5).

Тези координати се наричат

на името на Рене Декарт, защото той

е създал тези координати.

Той пръв започва да асоциира връзките

между две променливи с точки на координатната равнина.

Нека асоциираме и другите стойности.

Имаме следваща връзка,

при х = -1, у = -3,

значи х е -1, а у е -3.

Това е тази точка.

По принцип

при изписване на координати,

първо се поставя координатата за х, а после тази за у.

Това се е наложило като стандарт.

(-1, -3) е тази точка тук.

Следващата точка е при х=0, а у=-1

когато х е 0, това означава,

че няма да се местя наляво или надясно.

у е -1, което означава 1 надолу.

Така получаваме тази точка. (0,-1)

Точно тук.

Така можем да продължим с другите точки.

при х=1, у=1

при х=2, у=3

Нека направим тази точка със същия лилав цвят

при х=2, у=3

(2,3), а тази тук с оранжево

По този начин изглежда достатъчно добре,

просто поставихме точките, които отговарят на х.

Това, което е осъзнал Декарт е, че ако поставим

не само тези точки за х,

а продължим да избираме различни стойности на х

и поставим всички точки за стойностите на х между тези, всъщност

ще изрисуваме линия.

Така, ако намерим точки за всяка възможна стойност на х

в крайна сметка ще имаме линия, която иглежда

по този начин... ето така.

и всяка възможна връзка, за която и да е стойност на х

стойността на у ще е такава, че точката ще бъде

на тази линия, или казано по друг начин

всяка точка от тази линия представлява решение

Така, ако вземем тази точка,

за която изглежда, че х=1.5,

а у=2. Нека изпишем това

(1.5,2)

Това е решение на уравнението.

При х=1.5, 2(1.5)=3 -1=2.

Това е тази точка.

Така изведнъж Декарт успява да опише

взаимоотношението между

Вече можем да изобразим всички двойки на х и у,

които удовлетворяват това уравнение.

Така той прави връзката

и затова координатите, които използваме

за да опишем тези точки се наричат

и както ще видим, първият тип уравнения,

които ще изучаваме са уравнения от този тип

и в традиционните уроци по алгебра

те се наричат линейни уравнения

Линейни уравнения.

И така може би ще кажете:

виждам, че това е равно на това,

но какво му е линейното?

Кое ги кара да изглеждат като линия?

За да разберем, че теи уравнения са линейни, трябва да направим

връзката, която е направи Рене Декарт.

Защото, ако изчертаем уравнението,

като използваме Декартови координати

на Евклидова равнина, ще получим линия.

По-напред ще видите, че има други

типове уравнения, които не описват линия.

Те описват крива или нещо странно