純量場的梯度

從三維空間的純量場 (房間的溫度分布)，學習梯度的運算與直觀概念。

[ 主題：純量場的梯度 ]

上一段影片，我們談到三維平面。

高度 Z，是 x, y 的函數。

這定義出了三度空間的平面。

現在讓我看看，

這三變數函數的「梯度」是什麼。

對我來說，最容易想像的例子，是個純量場。

那純量場是什麼？

一個直覺的例子，便是一個房間裡面的溫度。

一個直覺的例子，便是一個房間裡面的溫度。

假設這房間的溫度取決於我在的位置，

假設這房間的溫度取決於我在的位置，

也就是 x, y, z 的函數。

我從沒真的研究過房間的溫度，

但為了舉向量場的例子，假設溫度是20K。

但為了舉向量場的例子，假設溫度是20K。

假設房間中心點有個溫度 10K 的熱源。

假設房間中心點有個溫度 10K 的熱源。

我可以想像越遠離房間中心點的熱源，會越冷。

我可以想像越遠離房間中心點的熱源，會越冷。

現在我們來寫這溫度的函數。

假設房間中心點的座標，

x, y, z 都是 0。

讓我掰一個溫度的函數，

我不知道是不是真的有這種溫度分佈。

它等於 10 乘上指數 e 的負 r 平方。

r 是什麼?

它是 x, y, z 的函數。

我只是要假設越遠離熱源，溫度呈指數遞減。

我只是要假設越遠離熱源，溫度呈指數遞減。

像是從中心往外輻射的那種遞減。

那輻射 (軸向) 的距離怎麼算呢？

雖然這與學習梯度無關，

但是讓我們用直覺想一下，

你走到房間的不同地方，溫度會怎麼變化。

你走到房間的不同地方，溫度會怎麼變化。

所以這軸向的距離，r 平方，

等於 x 平方，加上 y 平方，再加上 z 平方。

這不過是三維的畢達哥拉斯定理。

因此，把溫度分佈，

寫成 x, y, z 的函數，

就等於 10 乘上 e 的負 X 平方加 Y 平方加 Z 平方。

我把它寫在這。

為了方便起見，我把 x, y, z 各自的平方和，

寫成 r 平方。

讓你有個概念，這不過是離熱源的距離平方，

也就是距離 (0, 0, 0) 座標的平方。

也就是距離 (0, 0, 0) 座標的平方。

這不是要學的重點，

我只是想讓你們瞭解，

一個純量場真的很難畫...

純量場的概念，就是任何座標點，

(這裡我們用三維座標)，

任何座標點，我們都給他一個值。

這很合理，

就像你拿著溫度計測量房間裡每一點的溫度，

你在任何位置，

都會量到一個溫度。

而你不會量到溫度和方向，

所以它不是向量場，

你只會得到一個溫度，

所以它叫純量場。

每一點座標只有一個溫度值。

每一點座標只有一個溫度值。

接下來，這溫度函數的梯度代表什麼意思呢？

這函數的梯度能夠告訴我們方向，

因為一個函數的梯度是個向量場。

因為一個函數的梯度是個向量場。

而這向量，代表溫度上升最快的方向。

而這向量，代表溫度上升最快的方向。

同時，向量場裡每個向量的的大小，

代表溫度上升多少。

代表溫度上升的多少。

你也可以想成是三維空間的斜率。

你也可以想成是三維空間的斜率。

希望你沒被搞混。

所以先讓我們來算梯度，

再畫圖給你一點直覺。

讓我擦掉這小東西。

換個顏色，

這藍色有點噁心。

這溫度函數 T 的梯度，

等於 T 對 x 的偏微分，乘上 x 單位向量。

加上溫度函數 T 對 y 的偏微分，乘上 y 單位向量。

加上溫度函數 T 對 y 的偏微分，乘上 y 單位向量。

再加上溫度函數 T 對 z 的偏微分，乘上 z 單位向量。

再加上溫度函數 T 對 z 的偏微分，乘上 z 單位向量。

再加上溫度函數 T 對 z 的偏微分，乘上 z 單位向量。

現在我們把 T 代入，算這些偏微分。

現在我們把 T 代入，算這些偏微分。

T 的梯度就是... 你可能會被嚇到

天啊，我有個指數 e 的次方，
這次方還是三個變數！

要怎麼算？

記註，你只是做偏微分。

對 x 偏微分時，y 和 z 都是常數。

我們來試試看。

我們先對裡面的函數微分。

我們先對裡面的函數微分。

這是負的 x 平方加 y 平方加 z 平方，對 x 偏微分。

這是負的 x 平方加 y 平方加 z 平方，對 x 偏微分。

負數可以乘進去，

變成負 x 平方，減負 y 平方，減負 z 平方。

變成負 x 平方，減負 y 平方，減負 z 平方。

計算這函數對 x 的偏微分時，

y 和 z 都是常數，

對 x 偏微分是零。

所以微分的結果是負 2x。

是吧！

負 2x 是負 x 平方的微分。

負 2x 乘上對外面函數的微分。

那指數 e 的 x 次方的微分是什麼？

e 的 x 次方的微分，還是 e 的 x 次方。

所以 e 才是個神奇的數字。

這個 10 只是個常數，

一個常數乘上某個東西的微分，常數會留著。

一個常數乘上某個東西的微分，常數會留著。

所以外面這函數的微分，

等於 10 乘上 e 的負 x 平方，

加上 y 平方，加 z 平方。

最後再乘上 i 方向的單位向量。

對吧！

現在我們對 y 方向做一樣的事。

加上──這串東西對 y 的偏微分是什麼？

加上──這串東西對 y 的偏微分是什麼？

其實很像，

裡面這函數對 y 的偏微分，

也就是對負 y 平方的偏微分，

結果是負 2y。

結果是負 2y。

然後對這整串東西的微分，

還是自己。

所以再乘上 10 乘 e 的負 x 平方，

加 y 平方，加 z 平方。

整項乘上 y 方向的單位向量。

整項乘上 y 方向的單位向量，也就是 j。

最後，就是這溫度函數對 z 的偏微分。

最後，就是這溫度函數對 z 的偏微分。

結果是負 2z 乘 10，再乘上 e 的負 x 平方，

加 y 平方，加 z 平方。

這就是微分連鎖律。

我把其他兩個不微分的變數，

當作是常數。

最後整項乘上 k 方向的單位向量。

稍微化簡一下，

負 2x 乘上 10，

是負 20。

讓我把它寫下來。

所以這溫度函數的梯度等於，

負 20 乘上 e 的負 x 平方加 y 平方。

(你大概看不懂我寫的字)
加上 z 平方，乘上 i。減掉 20y ...

恩，寫到這就好，因為我發現沒時間了。

恩，寫到這就好，因為我發現沒時間了。

我相信你會簡化這些代數。

重點是，我覺得梯度其實很容易算

重點是，我發現梯度其實很容易算。

拍謝，

這裡還少一個 k 。

這裡還少一個 k 。

困難的是直覺。

因此讓我們從直觀上來看，

這函數的梯度長什麼樣子。

這函數的梯度長什麼樣子。

如果你想求空間中任一點的梯度，

你會把這些項寫成 x, y, z。

所以一個函數的梯度，

就是 x, y, z 的函數。

記註，溫度 T 是個純量場。

三維空間中，任一點的溫度只是一個值。

三維空間中，任一點的溫度只是一個值。

但三維空間中，任一點的梯度是個向量。

但三維空間中，任一點的梯度是個向量。

是吧！

因為它有 i, j, k 項。

大小是偏微分的值，

方向是 i, j, k。

所以梯度把純量場，變成了向量場。

來看看它長什麼樣子。

[ 拉模擬圖... ]

把它放大點，讓我們可以探索一下。

[ 放大中... ]

這樣差不多。

這是一個向量場。

這其實就是我們剛才解的函數的梯度。

這其實就是我們剛才解的函數的梯度。

你看，繪圖程式可以幫你，

挑出任何一點，

計算該點的梯度，

然後以向量表示。

向量的長度，就是 x, y, z 方向的大小。

向量的長度，就是 x, y, z 方向的大小。

你可以像向量加法一樣，把它們加起來。

然後方向決定於 i, j, k 項的相對大小。

然後方向決定於 i, j, k 項的相對大小。

你看，這直覺很有趣。

你看，這直覺很有趣。

當你越接近熱源，

溫度上升的速率，上升了！

對吧！

你越接近，向量越大！

放大一點...

讓我們乾脆飛進向量場裡。

[ 飛... ]

現在我們身在向量場中。

你可以看到，當我們越接近熱源中心點，

這些向量，也就是溫度上升率，

會越來越大，更大，超大。

恩，希望我沒有搞混你。

我一開始學梯度時，我覺得計算還滿直接的。

我一開始學梯度時，我覺得計算還滿直接的。

不過是偏微分罷了。

但直覺才有趣。

希望這溫度的比喻，

這溫度分佈的模型，對你有幫助。

這溫度分佈的模型，對你有幫助。

但梯度可以對任何純量場運算。

恩，下段影片再見。