Skaler alanın gradyanı

Üç boyutlu skaler alan gradyanı için oda sıcaklığı modeli

-

Önceki videoda, yükseklik z'nin x ve y cinsinden bir fonksiyon olduğu üç boyutlu bir yüzey görmüştük.

-

-

Şimdi, üç değişkenli bir fonksiyonun neye benzediğini anlamaya çalışalım.

-

Hayalimde canlandırması en kolay örnek, bir skaler alan.

Skaler alan nedir?

Üç boyutlu bir odadaki sıcaklık, anlaşılması kolay bir örnek.

-

Farzedin ki, odadaki sıcaklık, odanın neresinde bulunduğuma bağlı bir fonksiyon.

-

Diyelim ki, bu fonksiyon, benim x, y ve z koordinatlarım cinsinden ifade ediliyor.

Bu zamana kadar sıcaklık modellemesi yapmış olmasam da, örneğin, odanın ortasında 10 kelvin sıcaklık kuvveti olduğunu düşünelim.

-

-

-

-

Bu kaynaktan uzaklaştıkça sıcaklığın azalacağını düşünebilirim.

-

-

Odanın ortasında x,y ve z koordinatlarının 0 olduğunu düşünelim.

-

Sıcaklık derecesi fonksiyonumuzu - bunu kendim uyduruyorum, uygun bir model olduğundan emin değilim - 10 çarpı e üzeri eksi r kare olarak tanımlayalım.

-

-

Neden r dedik?

Önceden x, y ve z cinsinden bir fonksiyon demiştik.

Kaynaktan uzaklaştıkça sıcaklığın üstel bir şekilde azaldığını belirtiyorum.

-

Sanki dairesel bir şekilde uzaklaşıyorum.

Dairesel uzaklık nedir?

Bu, gradyan öğrenmekle doğrudan ilişkili olmasa da, odada hareket ettikçe sıcaklık fonksiyonunun nasıl değişeceği konusunu anlamaya çalışalım.

-

-

-

Merkezden yarıçap uzaklığının karesi eşittir x kare artı y kare artı z kare.

-

Bu, üç boyutlu Pisagor teoreminin sonucudur.

Şimdi sıcaklık fonksiyonunu yazalım.

Sıcaklığın x,y ve z cinsinden fonksiyonu eşittir 10 e üzeri eksi x kare artı y kare artı z kare-aynen buraya yazdığım gibi.

-

-

Size odanın ortasından, yani 0,0,0 koordinatlarından, gittiğim uzaklığı sezdirmek için x kare artı y kare artı z kare yerine r kare yazdım.

-

-

-

-

Ama burada konumuz bu değil.

Yine de bu olguyu gözünüzde canlandırmanızı istedim.

Bir skaler alan çizmek zordur.

Skaler alanın anlamı, bu temel kümenin - bu örnek için üç boyutlu uzayın- her noktasına bir değer verilmesi durumudur.

-

-

Şu şekilde anlamlandırabiliriz.

Bir termometre ile, içinde bulunduğunuz odanın her noktasında sıcaklığı ölçebilirsiniz.

-

-

Hem sıcaklık, hem de yön elde etmezsiniz. Dolayısıyla, bu bir vektör alanı değildir.

-

Yalnızca sıcaklık elde edersiniz.

Bu nedenle, skaler alan diyoruz.

Her koordinatın sadece sıcaklığı var.

-

Buna göre, bu fonksiyonun gradyanı ne anlama gelir?

Bu fonksiyonun gradyanı bir vektör alanı oluşturur, çünkü hangi yönde sıcaklık artışının en fazla olduğunu belirtir.

-

-

-

-

Ayrıca, bu vektörlerin uzunluğu, artışın miktarını bize anlatır.

-

-

Veya, bunu üç boyutlu bir eğim olarak da düşünebilirsiniz.

-

Umarım kafanızı karıştırmadım.

Şİmdi gradyanı hesaplayalım, sonra da size konuyu daha iyi sezdirecek bir grafik göstereyim.

-

Şurayı sileyim.

Ve bu mavi renkten başka renge geçeceğim, çünkü bu mavi biraz mide bulandırıcı.

-

T'nin gradyanı eşittir T'nin x'e göre kısmisi çarpı x yönündeki birim vektör, artı sıcaklık fonksiyonunun y'ye göre kısmisi çarpı y yönündeki birim vektör, artı sıcaklık fonksiyonunun z'ye göre kısmisi çarpı z yönündeki birim vektör.

-

-

-

-

-

-

Ve şimdi, kısmi türevleri buluyoruz ve yerlerine koyuyoruz.

-

e sebebiyle kısmi türev almaktan yılmayın.

-

-

Hatırlarsanız, x'e göre kısmi türev alırken, y ve z'leri sabit olarak düşünüyoruz.

-

Böyle yapalım.

İçteki fonksiyonun türevini alalım.

-

eksi x kare artı y kare artı z karenin x'e göre türevi.

-

İsterseniz eksiyi içeri dağıtabilirsiniz.

O zaman eksi x kare eksi y kare eksi z kare olur.

-

Böylece - bunlar sadece sabit ve x'e göre türevleri sıfır olduğundan- fonksiyonun x'e göre türevi eksi 2x'dir.

-

-

-

Öyle değil mi?

Eksi x karenin türevi, eksi 2x.

Eksi 2x çarpı dışın türevi.

Peki, e üzeri x'in türevi nedir?

e üzeri x'in türevi, e üzeri x'tir.

İşte bu yüzden e bu kadar mükemmel bir sayı.

Ve şuradaki 10, yalnızca bir sabit. Eğer sabit çarpı bir şeyin türevini alıyorsanız, sabit yerinde durur.

-

-

Dıştaki ifadenin türevi eşittir 10 e üzeri eksi x kare artı y kare artı z kare.

-

-

Şimdi bunun tamamını i yönündeki birim vektörle çarpıyoruz.

Değil mi?

Aynı şeyi y yönünde yapalım

Artı - y yönünde kısmi türevimiz nedir?

-

Öncekine benzer olacak.

İçteki fonksiyonun y'ye göre kısmi türevi, eksi 2y.

-

-

-

Ve tamamın türevi yine kendisi.

-

Buna göre, 10 e üzeri eksi x kare artı y kare artı z kare ile çarpıyoruz.

-

Ve bunun tamamını y yönündeki birim vektör -j- ile çarpıyoruz.

-

Son olarak da, sıcaklık fonksiyonunun z'ye göre kısmi türevi.

-

Bu da eksi 2z çarpı 10 e üzeri eksi x kare artı y kare artı z kare.

-

Bu zincir kuralıdır.

Kısmi türevini aldığım değişken dışındaki değişkenleri sabit olarak değerlendiriyorum.

-

Ve bunun tamamı çarpı k yönündeki birim vektör.

Burayı biraz sadeleştirebiliriz.

Eksi 2x çarpı 10 eşittir eksi 20x

-

Şuraya yazayım.

Buna göre, sıcaklık derecesi fonksiyonunun gradyanı eşittir eksi 20 e üzeri eksi x kare artı y kare artı z kare, çarpı i, eksi 20 y...

-

-

Ve aslında bu sadeleştirmeye devam etmeyeceğim. Çünkü zamanım azalıyor.

-

Sanırım, siz cebirsel olarak sadeleştirebilirsiniz.

Neyse, gradyanların hesaplamalarının kolay ama anlamını kestirmenin zor olduğunu düşünürüm.

-

-

Pardon. Burası da dahil.

Bu k.

Zor kısmı sezgisel olarak algılamak.

Şİmdi, bu gradyanın neye benzediğini kavramaya çalışalım.

-

Eğer uzayda bir noktadaki gradyanı bulmak istersek, x,y ve z değerlerini yerine koyuyoruz.

-

-

Dolayısıyla, gradyan fonksiyonunu x, y ve z cinsinden bir fonksiyon olarak yazabiliriz.

-

Hatırlarsanız, T, herhangi bir noktadaki sıcaklık, bir skaler alandı.

Üç boyutlu herhangi bir noktada size bir sayı veriyordu.

-

Gradyan ise, üç boyutlu her noktada size bir vektör veriyor.

-

Değil mi?

Çünkü i, j ve k bileşenleri var.

Kısmi türevden miktarları, i, j ve k'den de yönü tespit ediyoruz.

-

Dolayısıyla skaler alandan vektör alana ulaşmış oluyoruz.

Şimdi neye benzediğini görelim.

-

Daha iyi incelemek için biraz büyüteyim.

*

Böyle gayet iyi.

İşte bu, vektör alanı.

Aslında bu, çözdüğümüz fonksiyonun gradyanı.

-

Gördüğünüz gibi, bu grafik programı değişik noktalar seçip gradyanlarını buldu ve gradyanları vektör olarak çizdi.

-

-

-

Buna göre, vektörlerin uzunluğu, x, y ve z bileşenlerinin miktarına eşit.

-

Sonra da, her vektöre uyguladığımız şekilde, vektörleri topluyoruz.

Yön ise, i, j ve k bileşenlerinin ağırlıkları oranına göre belirlenir.

-

Gördüğünüz üzere, bu durum çok ilginç.

-

Isı kaynağına yaklaştıkça, sıcaklık artış hızı da artıyor.

-

Öyle değil mi?

Yaklaştıkça, vektörler büyüyor.

Yakınlaştırayım.

Vektör alanının içine girelim.

-

Şimdi vektör alanının içindeyiz.

Gördüğünüz gibi, ısı kaynağının merkezine yaklaştıkça, vektörler, sıcaklığın artış hızı, gittikçe büyüyor.

-

-

Umarım kafanızı karıştırmadım.

Gradyanı ilk öğrendiğimde, hesaplamalar kolay gelmişti. Sadece kısmi türev.

-

-

İşin ilginç olan kısmı, gradyan kavramı.

Umarım, bu sıcaklık modeli size mantıklı gelir.

-

-

Bu durum her skaler alana uygulanabilir.

Neyse, bir sonraki videoda görüşmek üzere.