-
-
-
ในวิดีโอที่แล้วเรามีพื้นผิวสามมืติ
-
โดยที่ความสูง z เป็นฟังก์ชันของ x กับ y
-
และนั่นบอกผิวให้สเปซสามมิติกับเรา
-
ทีนี้ลองหันมองว่าเกรเดียน
-
ของฟังก์ชันสามตัวแปรจะหน้าตาเป็นอย่างไร
-
อันที่ง่ายทีสุดสำหรับผมที่จะนึกได้ คือ สนามสเกลาร์
-
แล้วสนามสเกลาร์คืออะไร?
-
อย่างนึงที่ผมว่าเข้าใจง่ายคือ อุณหภูมิใน
-
ห้องสามมิติ
-
งั้นสมมุติว่าอุณหภูมิในห้องเป็นฟังก์ชันของ
-
ตำแหน่งที่ผมอยู่ในห้อง
-
และสมมุติว่ามันเป็นฟังก์ชันของพิกัด x, y และ z
-
และ ไม่รู้สิ ผมไม่เคยสร้างแบบจำลองอุณหภูมิ
-
แต่สมมุติว่าผมมี ไม่รู้สิ 20 เคลวิน -- ที่จริง
-
ขอผมเขียนมันให้สนามเวกเตอร์ใช้ได้
-
สมมุติว่าเรามีแรงความร้อน 10 เคลวิน
-
ตรงกลางห้อง
-
ผมอาจนึกว่า เมื่อคุณไปไกลจาก
-
แหล่งความร้อน มันยิ่งเย็นขึ้นเย็นขึ้น
-
สมมุติว่านั่นคือฟังก์ชันอุณหภูมิ
-
และสมมุติว่าศูนย์กลางของห้องอยู่ที่พิกัด
-
x, y และ z เท่ากับ 0
-
งั้นสมมุติว่าฟังก์ชันอุณหภูมิของเรา -- ผมแค่สมมุติมัน
-
ผมไม่รู้ว่านี่เป็นแบบจำลองที่ถูกต้องของอุณหภูมิหรือเปล่า --
-
มันเท่ากับ 10 คูณ e กำลังลบ r กำลังสอง
-
ผมเรียก r ทำไม?
-
ผมบอกว่ามันคือฟังก์ชันของ x,y, และ z
-
ทีนี้ผมกำลังบอกว่า มันลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเมื่อ
-
คุณห่างจากแหล่งยิ่งขึ้นยิ่งขึ้นเรื่อย ๆ
-
ประมาณว่าห่างตามแนวรัศมีไปไกลเรื่อย ๆ จากแห่งความร้อน
-
แล้วระยะตามแนวรัศมีคืออะไร?
-
นี่มันไม่เกี่ยวกับการเรียนเรื่องเกรเดียน
-
แต่ลองเข้าใจสัำหน่อยว่าฟังก์ชัน
-
อุณหภูมิที่จริงนั้น -- มันเปลี่ยนไปอย่างไร
-
เมื่อคุณผ่านห้องนี้ไป
-
งั้นเมื่อห่างออกไปจากศูนย์กลาง มันจะ
-
เป็น r กำลังสอง ก็แค่ x กำลังสองบวก y กำลังสอง บวก z กำลังสอง
-
นั่นก็แค่กฏของพีทาโกรัสในสามมิติ
-
ลองเขียนฟังก์ชันอุณหภูมิของเรากัน
-
งั้นเขียนอุณหภูมิเป็นฟังก์ชันของ x, y และ z
-
เท่ากับ 10 e กำลังลบ x กำลังสอง บวก y กำลังสอง บวก z
-
กำลังสอง -- ซึ่งก็คือที่ผมเขียนตรงนี้
-
แทนที่จะเป็น x กำลังสอง บวก y กำลังสอง บวก z กำลังสอง ผมเขียน
-
r กำลังสอง เพื่อให้คุณเข้าใจว่าพจน์นี้แค่
-
บอกว่า ระยะห่างกำลังสอง
-
เมื่อเราห่างจากแหล่งกลางห้อง หรือจากพิกัด
-
0, 0, 0
-
แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่เราอยากเรียนตอนนี้
-
แต่ผมอยากให้คุณเข้าใจ อย่างน้อยก็ในหลักการ
-
มันยากที่จะวาดสนามสเกลาร์
-
สนามสเกลาร์หมายถึง ณ จุดใด ๆ ใน
-
ห้องนี้ -- ในกรณีนี้ เรากำลังยุ่งกับสเปซสามมิติ
-
-- ณ จุดใด ๆ ในสเปซเรามีค่าค่าหนึ่งอยู่
-
และนั่นเข้าใจได้
-
หากคุณเอาเทอร์โมมิเตอร์มา วัด ณ จุด
-
ใดในสเปซในห้อง ที่คุณอยู่ตอนนี้
-
คุณจะได้อุณหภูมิมา
-
คุณไม่อาจได้อุณหภูมิกับทิศ มันเลยไม่ใช่
-
สนามเวกเตอร์
-
คุณจะได้แค่อุณหภูมิ
-
และนั่นคือสาเหตุที่เราเรียกว่าสนามสเกลาร์
-
จับคู่กับทุกพิกัดคือ
-
อุณหภูมิ
-
แล้วเราจะมองเกรเดียนของฟังก์ชันนี้ว่าอะไร?
-
เกรเดียนของฟังก์ชันจะบอกเราว่า
-
ทิศใด -- ที่จริง เกรเดียนของฟังก์ชันนี้
-
จะสร้้างสนามเวกเตอร์ เพราะมันจะ
-
บอกว่าทิศไหนที่เราจะได้
-
อุณหภูมิเปลี่ยนไปมากที่สุด
-
และเช่นกัน ขนาดของเวกเตอร์พวกนั้น
-
จะบอกเราว่าอุณหภูมิเพิ่มขึ้นเท่าไหร่
-
ตอนที่เราดู
-
หรือคุณอาจมองมันเหมือนกับ
-
ความชันแบบสามมิติ
-
หวังว่าคงไม่ทำคุณงงนะ
-
ลองคำนวณเกรเดียนกัน แล้วผมจะแสดงด้วยแผนภาพ
-
ที่อาจทำให้ทุกอย่างไปตามสัญชาตญาณมากขึ้น
-
ขอผมลบสิ่งนี้ตรงนี้นะ
-
ผมจะเปลี่ยนจากสีฟ้านี่ เพราะ
-
มันดูน่ารังเกียจ
-
งั้นเกรเดียนของ T จะเท่ากับอนุพันธ์ย่อย
-
ของ T เทียบกับ x คูณเวกเตอร์หน่วยในทิศ x
-
บวกอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันอุณหภูมิ
-
เทียบกับ y คูณเวกเตอร์หน่วยในทิศ y
-
บวกอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันอุณหภูมิ
-
เทียบกับ z คูณเวกเตอร์หน่วย
-
ในทิศ z
-
และทีนี้ เราแค่แทนมันลงไป แล้วหาอนุพันธ์
-
ย่อยพวกนั้น
-
งั้นเกรเดียนของ T เท่ากับ -- ทีนี้คุณอาจท้อ
-
โอ้ ฉันมี e กำลังฟังก์ชันสามตัวแปร แล้วฉันจะ
-
หาอนุพันธ์ย่อยได้ยังไง?
-
จำไว้ คุณกำลังหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ
-
ตัวแปร x คุณก็ทำเหมือนว่า y กับ z เป็นค่าคงที่
-
งั้นลองทำกัน
-
ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน
-
นั่นคือวิธีที่ผมมองมัน
-
งั้นลบ x กำลังสอง บวก y กำลังสอง บวก z กำลังสอง
-
เทียบกับ x
-
คุณอาจกระจายเครื่องหมายได้ถ้าต้องการ
-
ดังนั้น มันจะเป็น ลบ x กำลังสอง ลบ y กำลังสอง
-
ลบ z กำลังสอง
-
ดังนั้นอนุพันธ์ของนั่นเทียบกับ x จะเท่ากับ
-
-- นี่เป็นแค่ค่าคงที่ ดังนั้นอนุพันธ์เทียบกับ x
-
ก็แค่ 0
-
ดังนั้นอนุพันธ์เท่ากับ ลบ 2x
-
จริงไหม?
-
ลบ 2x คืออนุพันธ์ของลบ x กำลังสอง
-
ลบ 2x คูณอนุพันธ์ของตัวนอก
-
แล้ว อนุพันธ์ของ e กำลัง x คืออะไร?
-
อนุพันธ์ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x
-
นั่นคือสาเหตุที่ e เป็นเลขอัศจรรย์
-
และ 10 นี่ตรงนี้ นี่ก็แค่ค่าคงที่ที่คุณหา
-
อนุพันธ์ของค่าคงที่ คูณอะไรสักอย่าง
-
ค่าคงที่ก็ตามไป
-
ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันอันนอก วิธีที่ผมคิด
-
เท่ากับ 10 e กำลัง ลบ x กำลังสอง
-
บวก y กำลังสอง บวก z กำลังสอง
-
แล้วทั้งหมดนั่นคูณเวกเตอร์หน่วย ในทิศ i
-
จริงไหม?
-
และทีนี้เราก็ทำเหมือนกันสำหรับทิศ y
-
งั้นบวก -- อนุพันธ์ย่อยของอันนี้
-
เทียบกับ y คืออะไร?
-
มันจะออกมาคล้าย ๆ กัน
-
อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันในเทียบกับ
-
y, มันคือลบ y กำลังสอง
-
ดังนั้นมันคือ ลบ 2y
-
-
-
แล้วอนุพันธ์ของทั้งหมดนั่น คือ
-
ตัวเองอีกแล้ว
-
ดังนั้นคูณ 10 e กำลังลบ x กำลังสอง บวก y
-
กำลังสอง บวก z กำลังสอง
-
แล้วทั้งหมดนั่นคูณเวกเตอร์หน่วยในทิศ
-
y คือคูณ j
-
แล้วสุดท้าย อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันอุณหภูมิ
-
เทียบกับ z
-
และนั่นก็แค่ลบ 2z คูณ 10 e กำลังลบ x กำลังสอง
-
บวก y กำลังสอง บวก z กำลังสอง
-
นั่นก็แค่กฏลูกโซ่
-
และผมมองตัวแปรอีกสองตัวที่ผมไม่ได้หาอนุพันธ์ย่อย
-
เทียบกับมัน ว่าเป็นค่าคงที่
-
แล้วทั้งหมดนั่นคูณเวกเตอร์หน่วยในทิศ k
-
แล้วเราก็จัดรูปมันได้หน่อย
-
คุณมี ลบ 2x คูณ 10
-
นั่นคือลบ 20x
-
ขอผมเขียนมันไว้ตรงนี้
-
เกรเดียนของฟังก์ชันอุณหภูมิจะเท่ากับ
-
ลบ 20 e กำลังลบ x กำลังสอง บวก y กำลังสอง -- คุณ
-
อาจอ่านมันไม่ได้ -- บวก z กำลังสอง คูณ i ลบ 20 y
-
ที่จริง ผมจะไม่ทำอย่างนั้น เพราะผมเพิ่งรู้ตัว
-
ว่าผมหมดเวลาแล้ว
-
ผมว่าคุณสามารถจัดรูปมันได้
-
แต่เอาล่ะ สิ่งที่สำคัญกว่าคือ ผมหา
-
เกรเดียนที่คำนวณได้ง่าย ๆ เสมอ แต่สัญชาตญาณ
-
-- โอ้ โทษที
-
นี่ก็รวมด้วย
-
นี่คือ k ตรงนี้
-
ส่วนที่ยากกว่า คือสัญชาตญาณ
-
ลองหาสัญชาตญาณว่า ฟังก์ชันเกรเดียน
-
หน้าตาเป็นอย่างไร
-
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น
-
หากคุณอยากรู้เกรเดียน ณ จุดใด ๆ ในสเปซ
-
คุณต้องแทนค่า x,y และ z ในนี้
-
คุณอาจเขียนมันเป็นฟังก์ชันเกรเดียนเป็น
-
ฟังก์ชันของ x,y และ z
-
จำไว้, T, อุณหภูมิ ณ จุดใด ๆ, เป็นสนามสเกลาร์
-
ณ จุดใด ๆ ในสามมิติ มันจะให้
-
แค่เลขตัวเดียว
-
ทีนี้ เมื่อคุณหาเกรเดรียน ณ จุดใด ๆ ในสามมิติ
-
คุณจะได้เวกเตอร์
-
จริงไหม?
-
เพราะมันมีองค์ประกอบ i,j และ k
-
โดยขนาดคืออนุพันธ์ย่อย และ
-
ทิศกำหนดโดย i,j และ k
-
ดังนั้นเราไปจากสนามสเกลาร์ เป็นสนามเวกเตอร์
-
และลองดูว่ามันเป็นยังไง
-
-
-
ขอผมทำให้มันใหญ่ขึ้น เราจะได้ดูมันละเอียดหน่อย
-
-
-
ผมว่านี่ใช้ได้แล้ว
-
นี่คือสนามเวกเตอร์
-
ที่จริงนี่คือเกรเดียนของฟังก์ชันที่เรา
-
เพิ่งแก้ไป
-
อย่างที่คุณเห็น ณ จุดใด ๆ -- และเมื่อโปรแกรม
-
วาดกราฟวาดมันแล้ว มันจะเลือกจุดต่าง ๆ แล้ว
-
คำนวณเกรเดียน ณ จุดนั้น แล้วมัน
-
ก็วาดเวกเตอร์พวกนั้น
-
ความยาวของเวกเตอร์ก็แค่ขนาด
-
ขององค์ประกอบ x, y กับ z
-
แล้วคุณก็บวกมันเข้าด้วยกันอย่างที่คุณบวกเวกเตอร์ใด ๆ
-
แล้วทิศจะกำหนดด้วยการถ่วง
-
องค์ประกอบ i,j และ k
-
และอย่างที่คุณเห็น สัญชาตญาณนั้น
-
น่าสนใจ
-
เมื่อคุณเข้าใกล้ และเข้าใกล้แหล่งความร้อน อัตรา
-
ที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นนั้น เพิ่มขึ้น!
-
จริงไหม?
-
เวกเตอร์พวกนี้เมื่อคุณเข้าใกล้ ยิ่งใหญ่ขึ้นใหญ่ขึ้น
-
และเมื่อเราขยายเข้าไป
-
ลองบินเข้าไปในสนามเวกเตอร์กัน
-
-
-
ตอนนี้เราอยู่สนามเวกเตอร์แล้ว
-
คุณเห็นได้ว่าเมื่อเราเข้าใกล้ศูนย์กลาง
-
ของแหล่งความร้อนยิ่งขึ้น เวกเตอร์ อัตราที่
-
อุณหภูมิเพิ่มขึ้น โตขึ้น โตขึ้น และโตขึ้น
-
เอาล่ะ ผมหวังว่าผมจะไม่ทำคุณงงนะ
-
ตอนที่ผมเรียนเรื่องเกรเดียนครั้งแรก ผมว่าการคำนวณ
-
นั้นตรงไปตรงมาทีเดียว
-
มันก็แค่อนุพันธ์ย่อย
-
แต่ความเข้าใจนั่นน่าสนใจเสมอ
-
หวังว่าการเปรียบเปรยเรื่องอุณหภูมินี้ -- ไม่ได้เปรียบเปรยด้วย
-
-- แบบจำลองอุณหภูมิจะช่วยให้คุณ
-
เข้าใจมากขึ้น
-
แต่มันใช้ได้กับสนามสเกลาร์ใด ๆ
-
เอาล่ะ แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
