Градиент скалярного поля

Понятие градиента скалярного поля (температуры в комнате) в трех измерениях.

В прошлом видео мы разбирали трехмерную поверхность,

где высота z являлась функцией от x и y.

И эта функция давала нам поверхность в трехмерном пространстве.

Теперь давайте попробуем разобраться, с тем, как выглядит

градиент функции от трех переменных.

Самым простым примером для меня является представление скалярного поля.

Так, что же такое скалярное поле?

Один из интуитивных примеров - температура

в трехмерной комнате.

Представим, что температура в комнате это функция от

моего местоположения в ней.

Т.е. можно сказать, что это функция от моих координат x, y, z.

И, я даже не знаю, я никогда не моделировал температуру.

Давайте попробуем, не знаю, величину, скажем в 20 Кельвин,

давайте подберем величину более подходящую для нашего векторного поля.

Пусть у нас будет источник тепла в 10 Кельвин,

расположенный в центре комнаты.

Можно представить, что по мере отдаления от

источника тепла, температура будет становиться ниже и ниже.

Предположим, что функция температуры.

И предположим, что центр комнаты расположен в координатах

x, y, z равных 0.

Итак, предположим, что функция температуры-- я просто выдумываю

это на ходу, и не знаю, является ли данное представление точной моделью температуры--

она равна 10 умножить на e в степени минус r в квадрате.

Почему я сказал "r"?

Ведь речь идет о функции от x, y, z.

Этим я просто пытаюсь сказать, что температура снижается экспоненциально,

по мере того, как вы отдаляетесь от источника тепла.

Как бы "радиально" удаляясь от этого источника.

Что же значит радиальное отдаление?

На самом деле это не имеет отношения к понятию градиента,

но давайте немного посмотрим, что же это

за функция температуры-- как она изменяется по мере

того как мы вы проходите через комнату.

Итак, радиус отдаления от центра будет

r в квадрате, что является по сути x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате.

Это просто теорема Пифагора для трех измерений.

Итак, давайте запишем нашу температурную функцию.

Итак, давайте запишем температуру как функцию от x, y, z

равную 10 е в степени минус x квадрат плюс y квадрат плюс z

квадрат-- что является тем же самым, что я написал выше.

Вместо "x квадрат плюс y квадрат плюс z квадрат", я написал

r квадрат, просто, чтобы дать вам понять, что это

выражение просто отображает квадрат расстояния по мере того, как

мы отдаляемся от центра нашей комнаты, или от

координат 0, 0, 0.

Хотя это не то о чем мы хотим узнать из этого видео.

Но я хочу, чтобы вы хотя бы концептуально поняли что,

довольно сложно нарисовать скалярное поле.

Скалярное поле просто означает, что в любой точке данного

базиса-- и в данном случае мы имеем трехмерное

пространство-- для каждой точки данного пространства мы можем найти соответствующее ей значение.

И это имеет смысл.

Если бы вы сейчас взяли термометр и измерили любую

точку в пространстве комнаты, в которой вы сейчас находитесь,

вы бы получили температуру.

Вы не получили бы температуру и направление, таким образом

это не векторное поле.

Вы бы только получили температуру.

И поэтому такое поле называется скалярным.

Связанная с каждой координатой это только

температура.

Так, как же нам рассматривать градиент такой функции?

Градиет данной функции будет говорить нам о том,

в каком направлении-- и, на самом дее, градиент этой функции

даст нам векторное поле, потому как он

скажет нам, в каком направлении у нас будет наибольший

прирост в температуре.

А так же величина векторов в данном векторном

поле даст нам знать на сколько велик прирост в температуре,

который мы ищем.

Или можно рассмотреть это поле как почти

трехмерный уклон.

Надеюсь это не спутывает вас с толку.

Давайте подсчитаем градиент и потом я покажу вам

диаграмму, которая, возможно, сделает вещи чуть-более понятными.

Давайте я сотру нижнюю строку.

И я переключусь с голубого цвета, потому, что

мне от него немного не по себе.

Итак, градиент от T будет равен частной

производной от T по x умножить на единичный вектор в направлении x,

плюс частная производная функции температуры

по y умножить на единичный вектор в направлении y,

плюс частная производная функции температуры

по z умножить на единичный вектор

в направлении z.

И сейчас мы будем вычислять

частные производные.

Итак, градиент Т равен-- тут вы можете быть напуганы.

У меня ведь еще есть "e" в степени с тремя переменными, как же мне

взять частную производную?

Помните - если вы берете частную производную по x,

то можно считать y и z за константы.

Итак, попробуем.

Итак, давайте возьмем производную "внутренней" части выражения.

Вот как я себе это вижу.

Итак, минус x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате

по отношении к x.

Если хотите можно перенести минус.

Тогда получится - минус x квадрат минус y квадрат

минус z квадрат.

Тогда производная по x

будет-- это просто константы так, что производная для них

по x будет равна 0.

Получается, что производная равна минус 2x.

Верно?

Минус 2x это производная от минус x в квадрате.

Минус 2x умножить на производную оставшегося "внешнего" выражения.

Какова же производная от e в степени x?

Производная от e в степени x равна e в степени x.

Вот поэтому "e" - такое замечательное число.

И 10 - это просто константа

если взять производную по константе,

то константа перенесется без изменений.

Итак, производная от "внешней" части выражения, по моему

представлению, равняется 10 e в степени минус x в квадрате плюс

y в квадрате плюс z в квадрате.

И все это выражение умноженное на единичный вектор в направлении i.

Верно?

Теперь мы можем проделать то же самое для направления y.

Итак, плюс-- чему равна частная производная этого

выражения по y?

Она будет очень похожа на прошлую производную.

Частная производная от данного "внутреннего" выражения

по отношению к у, т.е. от минус y в квадрате.

Она будет развна минус 2y.

Потом берем производную от этой части

она будет равна самому выражению.

Итак 10 e в степени минус x в квадрате плюс y

в квадрате плюс z в квадрате

Потом умножить это на единичный вектор

у в направлении j.

И, наконец, частная производная температурной

функции по отношению к z.

Получится: минус 2z умножить на 10 e в степени минус x в квадрате

плюс y в квадрате плюс z в квадрате.

Просто следуем по цепочке.

И оставгиеся две переменные, по которым я не беру

частных производных, я считаю за константы.

Потом полученное выражение умножаем на единичный вектор в направлении k.

И мы можем немного упростить выражение.

Можно перемножить минус 2x на 10.

Получим минус 20x.

Давайте я запишу это тут.

Итак, градиент температурной функции равен

минус 20 e в степени минус x в квадрате плюс y в квадрате-- вы,

наверное, не можете это прочитать-- плюс z в квадрате, умножить на i минус 20y.

Лучше я не буду углубляться в это так, как я осознал,

что у меня не хватит времени.

Я думаю вы сможете упростить алгебраически это выражение.

Но, тем не менее, наиболее важным я считаю, что

градиенты довольно просты в вычислении, но

интуитивно-- ой, простите

Это тоже надо включить.

Это "k" вот тут.

Более сложная часть - интуитивное понимание.

Давайте посмотрим как будет выглядеть

данная градиентная функция.

Итак, что произойдет?

Если вы захотите узнать градиент в любой точке в пространстве,

вы просто замените значения x, y, z в выражении.

Итак, можно записать градиентную функцию как

функцию от x, y, z.

Не забывайте, что T - температура в любой точке была скалярным полем.

В любой точке трехмерного пространства она

проста давала вам число.

Теперь, когда у вас есть градиент а любой точке трехмерого

пространства - он дает вам вектор.

Верно?

Потому как у него есть компоненты i, j, k.

Величина определяется частными производными, а

направдение задается при помощи i, j, k.

Итак мы прошли путь от скалярного до векторного поля.

Давайте посмотрим как оно выглядит.

Давайте я его увеличу, чтобы мы могли его немного поизучать.

Думаю так довольно хорошо.

Итак, это векторное поле.

На самом деле это градиент функции, которую

мы только, что решили.

И, как вы можете видеть, в каждой точке-- и когда этот графический

редактор, который построил эту можель, просто подобрал точки

и рассчитал градиенты в этих точках, а после он

нанес их на модель в виде векторов.

Так, что величина векторов получилась равной величинам

компонент x, y, z.

Поом вы складываете эти компоненты вместе, как складывали бы любые векторы.

Потом задается направление, путем подсчета относительных весов

компонентов i, j, k.

И, как вы можете видеть, интуитивное понимание градиентов

довольно интересно.

По мере приближения к нашему источнику тепла, частота,

с которой возрастает температура, увеличивается!

Верно?

По мере приближения векторы становятся все больше и больше.

Дайте я приближу изображение.

Давайте "влетим" внутрь векторного поля.

Итак, мы в векторном поле.

И, как вы видите, по мере приближения к центру

нашего источника тепла, вектора - частота, с которой

возрастает температура становится все больше и больше и больше.

Как бы там ни было, надеюсь я не сбил вас с толку.

Когда я впервые изучал градиенты, я подумал, что их вычисление

довольно простое.

Это всего лишь частные производные.

Однако, интуитивное понимание - вот, что на самом деле интересно.

И, надеюсь, даже если аналогия с температурой-- и даже не

аналогия-- эта температурная модель будет

иметь мало смысла для вас.

То ее можно применить к практически любому скалярному полю.

Как бы там ни было, увидимся в следующем видео.