Gradient of a scalar field Gradiente de um campo escalar

Intuition of the gradient of a scalar field (temperature in a room) in 3 dimensions.
Intuição de um gradiente em um campo escalar (temperatura em uma sala) em 3 dimensões.

No ultimo video nos vimos uma superficie de 3 dimensões,

onde a altura z era uma função de x e y

e ela nos deu uma superfício no espaço de 3 dimensões

Agora vamos tentar focar nossa atenção de como o gradiente

de uma função se parece

Portanto, a forma mais fácil é imaginar um campo escalar.

Portanto, o que é um campo escalar?

Uma forma que é intuitiva é a temperatura em

uma sala com 3 dimensões.

Portanto, vamos dizer que a temperatura em uma sala é uma função de

onde eu estou na sala.

Logo vamos dizer que é uma função de minhas coordenadas x, y e z.

E eu não sei, eu nunca atualmente modelei a temperatura.

Mas, vamos dizer que eu tenho, eu não sei, uns 20 kelvin - atualmente,

deixe me fazer ele que nosso campo de vetor vai para a direita.

Vamos dizer que nós temos uma força de 10 kelvin no

centro de nossa sala.

Eu posso imaginar que você (vc) vai mais e mais adiante

a fonte de calor vai se tornando cada vez mais fria.

Portanto, vamos dizer que uma função de temperatura

e vamos dizer que o centro da sala está nas coordenadas

x,y e z que são iguais a 0.

Logo vamos dizer que nossa função de temperatura - Eu estou somente fazendo isso

para cima, eu não sei se este é um modelo acurado de tempoeratura --

ele é igual a 10 vezes e elevado ao r quadrado negativo

Agora porque eu disse r?

Eu falei que é uma função de x, y e z.

Bem eu estou somente dizendo que ele exponencialmente decai quando você

vai mais e mais além daquela fonte.

Uma espécie de radialmente distante, cada vez mais daquela fonte.

Logo, o que é a distância radial?

e isto atualmente não é relevante para aprender gradientes,

mas vamos obter uma pequena intuição sobre a

atual função de temperatura - como ela pode atualmente mudar quando

você anda pela sala.

Logo vamos ver a raio do centro, este vai ser

r ao quadrado é justamente x ao quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado.

Este é somente o teorema de Pitágoras em 3 dimensões.

Vamos escrever nossa função de temperatura.

Vamos escrever a temperatura como uma função de x, y e z que é

igual a 10e para o negativo do x quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado.

o que é exatamente o que eu escrevi aqui em cima.

ao invés de x ao quadro mais y ao quadrado mais z ao quadrado, eu escrevi

r ao quadro, justamente para dar a você a intuição que esta

expressão esta justamente dizendo que o quadrado da distancia com nós

fomos do centro da sala, ou das

coordenadas 0,0,0.

mas não é o que nós estamos aprendendo aqui.

Mas eu quero que vc compreenda, o no mínimo conceitualize que,

é duro desenhar um campo escalar.

Todo campo escalar significa que em algum ponto na sua

base - e neste caso nós estamos lidando com 3 dimensões

no espaço - e qualquer ponto naquele espaço nós podemos associar a um valor.

e isto faz sentido.

Se vc toma um termometro e mede qualquer

ponto no espaço na sala que vc está

vc vai obter a temperatura.

Vc não obtém a temperatura e a direção, logo

isto não é um campo vetorial.

Você somente obtém a temperatura.

E isto é chamado um campo escalar.

Associado com cada coordenada

esta somente a temperatura.

Logo como nós podemos ver o gradiente desta função?

Bem o gradiente desta função vai nos dizer

em qual direção - e atualmente, o gradiente desta função

vai gerar um campo vetorial, porque ele

esta nos dizeno em qual direção nós temos o maior

aumento na temperatura.

e mais, a magnitude destes vetores naquele

campo vetorial vai nos dizer quanto um aumento na temperatura

nós estamos vendo.

ou vc pode ver uma espécie

de curvatura de 3 dimensões.

Espero que eu não confunda vc.

Vamos computar um gradiente, e então eu vou mostrar a vc

um diagrama que intutivamente faz as coisas serem mais intuitivas.

Deixe me apagar isto fazendo aqui.

e eu estou trocando esta cor azul porque

ela me causa enjôo.

logo o gradiente de T vai ser igual a derivada parcial de

T com respeito a x vezes o vetor unitário na direção x

mais a derivada parcial da função de temperatura

com respeito a y vezes o vetor unitário na direção y

mais a derivada parcial da fução temperatura

com respeito a z vezes o vetor unitário

na direção z.

E agora nós vamos desenhar e colocar na figura

com as derivadas parciais.

logo o gradiente de T é igual a - agora vc pode estar encorajado.

oh, eu tenho um e euma função com 3 variáveis, como eu faço

para obter a derivada parcial?

lembre, se vc esta considerando a derivada parcial com respeito

a x vc deve supor que y e z são constantes.

logo vamos fazer isso

Logo vamos tomar a derivada da função dentro.

é o jeito que eu vejo ela

logo menos x ao quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado,

com relação a x.

logo vc pode distribuir este menos se vc deseja

logo ele sera menos x ao quadrado menos y ao quadrado

menos z ao quadrado.

logo a derivada com relação a x será justamente

-- estas são justamente constantes, logo a derivada com

relação a x é justamente 0.

Logo a derivada é menos 2x.

certo?

menos 2x é a derivada parcial de menos x ao quadrado

menos 2x vezes a derivada dde fora

bem, o que é a derivada de e com relação a x?

A derivada de e para x é e para x.

O que é um número maravilhoso.

e isto é 10 aqui, esta é uma constante que quando eu tomo

a derivada de uma constante vezes algo

a constante é transportada.

logo a derivada da expressão externa,

o que eu imagino é igual a 10 e menos x ao quadrado mais

y ao quadrado mais z ao quadrado.

e então todas as vezes que o vetor unitário na direção i.

Certo?

e agora nós podemos fazer a mesma coisa para a direção y.

logo - qual a derivada parcial

com relação a y?

bem vamos ver algo muito similar.

a derivada parcial desta função

para y, é a menos y ao quadrado

logo é menos 2y

e então a derivada de tudo é

justamente ela mesmo novamente.

logo vezes 10 e para menos x ao quadrado mais y

ao quadrado mais z ao quadrado.

e então todas as vezes que o vetor unitário

na direlão de y vezes j.

e então finalmente, a derivada parcial da função temperatura

com relação a z.

e justamente 2z vezes 10 e para o menos x ao quadrado

mais y ao quadro mais z ao quadrado.

esta é justamente a regra.

e eu estou tratando com as outras duas variáveis eu não estou considerando

a derivada parcial com respeito as constantes.

e então todas as vezes que o vetor unitario na direção k.

e nós podemos simplificar um pouco

vc pode ter menos 2x vezes 10.

isto é menos 20x.

deixe me escreve aqui.

então o gradiente da função de temperatura é igual

a menos 20 e ao menos x ao quadrado mais y ao quadrado

vc provavelmente não pode ler isto - mais z ao quadrado, vezes i menos 20y.

e atualmente, eu não estou indo diretamente, porque eu percebo

que eu estou fugindo do tempo.

eu penso que vc pode simplificar isto algebricamente.

mas de qualquer modo, a coisa mais importante é sempre encontrar

o gradiente, e é facil de calcular eles, mas

a intuição - o desculpe.

isto esta também incluido.

isto é K certo.

a parte mais dificil da intuição

portanto vamos obter a intuição de uma função gradiente.

como ela atualmente se parece.

logo o que acontece.

se vc deseja saber o gradiente em algum ponto no espaço,

vc substitui um x, y e z aqui.

logo vc pode escrever ela como uma função gradiente

é uma função de x,y e z.

lembre, T, a temperatura em algum ponto, é um campo escalar.

em um ponto com 3 dimensões

ela somente dá a vc um número.

agora quando vc tem um gradiente, em algum ponto

em 3 dimensões ela dá a vc um vetor.

certo?

porque ela tem os componentes i,j e k.

onde a magnitude das derivadas parciais e

então as direções são dadas por i,j e k.

Logo nós temos dado um campo escala para um campo vetorial.

e vamos ver como ele se parece.

e deixe me fazer ele maior assim nós podemos explorar mais um pouco.

eu penso que está bom.

portanto, neste campo vetorial.

esta atualmente a função gradiente que

nós resolvemos

e nós podemos ver, em qualquer ponto - e quando fizermos o gráfico

que eu fiz, ele pontua diferente pontos e

calcula os gradientes naquele ponto e então

ela grafa eles como vetores.

logo a extensão dos vetores são as magnitudes dos

componentes x,y e z

e então vc adiciona eles juntos e vai ver alguns vetores.

e então a direção é dada pelo peso relativo de

dos componentes i,j e k.

e como vc pode ver, a intuição é muitop

interessante.

Quando vc vai ficando cada vez mais perto da fonte de calor a taxa

a qual a temperatura aumenta, ela aumenta!

certo?

Os vetores quando vc fica mais perto, ficam maiores e maiores.

e deixe me dar um zoom nele.

vamos atualmente voar in campo vetorial.

logo nós estamos agora no campo vetorial

e como vc pode ver quando chegamos mais perto ao centro

da fonte de calor, os vetores, a taxa a qual

a temperatura aumenta, fica maior e maior e maior.

espero que eu não confunda vc.

quando eu pela primeira vez aprendi gradientes, eu penso que a computação

e relativamente direta.

é somente derivadas parciais.

mas a intuição é sempre a coisa interessante.

e felizmente esta analogia da temperatura e não

somente analogia - este modelo de temperatura vai fazer

um pouco de sentido para vc.

mas ele se aplica muito a qualquer campo escalar

eu vou ver vc no próximo video.