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No último vídeo nós
tínhamos uma superfície tridimensional,
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onde a altura z era uma função de x e y.
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E isso dava uma superfície
no espaço tridimensional.
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Agora vamos tentar entender
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como se parece o gradiente
de uma função de três variáveis.
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Então o mais fácil para eu imaginar
é um campo escalar.
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O que é um campo escalar?
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Um que eu acho bem intuitivo
é a temperatura
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numa sala tridimensional.
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Então digamos que a temperatura
numa sala é uma função
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de onde eu estou na sala.
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Então digamos que é uma função
das minhas coordenadas x, y, z.
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E sei lá, nunca modelei temperatura.
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Mas digamos que eu tenha, sei lá,
20 Kelvin -- na verdade,
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deixe eu fazer nosso campo
de vetores funcionar direito.
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Digamos que tenha uma fonte
de calor de 10 Kelvin
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no centro da nossa sala.
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Eu imagino que quando você
se afasta dessa fonte de calor
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vai ficando mais e mais frio.
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Então chamemos isso
de função temperatura.
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E digamos que o centro
da sala está nas coordenadas
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x, y e z iguais a zero.
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Digamos que nossa função
temperatura -- estou só inventando
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não sei se esse é um
bom modelo de temperatura --
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é igual a 20...
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eu continuo falando 20,
mas digamos que é 10 --
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é igual a 10 vezes e elevado
a menos r ao quadrado.
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Por que eu disse "r"?
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Eu disse que era uma função de x, y, z.
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Estou dizendo que decai
exponencialmente quando
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você se afasta da fonte.
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Se afasta radialmente daquela fonte.
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Qual é a distância radial?
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E isso não é de fato relevante
para aprender gradientes,
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mas vamos entender um pouco
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sobre a real função temperatura --
como ela de fato varia
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quando você anda na sala
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O raio de distância do centro...
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r ao quadrado é só x ao quadrado
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mais y ao quadrado mais z ao quadrado.
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É o teorema de Pitágoras
em três dimensões.
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Vamos escrever nossa função temperatura.
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Vamos escrever temperatura
como uma função de x, y, z
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é igual a 10 "e" elevado a menos
x ao quadrado mais y ao quadrado
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mais z ao quadrado -- que é exatamente
o que eu escrevi aqui em cima.
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Ao invés de x²+y²+z²
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eu escrevi r ao quadrado, só para
dar uma ideia de que
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essa expressão está dizendo
o quadrado da distância
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quando nos afastamos
do centro da nossa sala,
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ou da coordenada 0, 0, 0.
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Não é isso o que estamos
aprendendo aqui.
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Mas eu quero que você entenda
ou pelo menos conceitualize,
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é difícil desenhar um campo escalar.
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Tudo que um campo escalar significa
é que em qualquer ponto nessa base
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-- e nesse caso, estamos lidando
com o espaço tridimensional --
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para qualquer ponto nesse espaço
podemos associar um valor.
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E isso faz sentido.
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Se você fosse pegar um termômetro e medir
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cada ponto no espaço na sala
onde você está agora,
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você teria uma temperatura.
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Você não teria
uma temperatura e uma direção
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então não é um campo vetorial.
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Você só teria uma temperatura.
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E é por isso que se chama campo escalar.
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Associado a cada coordenada
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está só uma temperatura.
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Então como veríamos
o gradiente desta função?
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Bem, o gradiente desta função
vai nos dizer em que direção --
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e de fato, o gradiente esta função
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vai gerar um campo vetorial,
porque vai nos dizer
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em que direção teremos
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o maior aumento de temperatura.
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E também, a magnitude dos
vetores nesse campo vetorial
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vai nos dizer de quanto é
esse aumento na temperatura
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que nós estamos vendo.
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Ou você pode ver isso quase como
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uma inclinação tridimensional.
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Espero que isso não te confunda.
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Então vamos calcular o gradiente,
e depois eu vou te mostrar um diagrama
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que pode tornar as coisas
um pouco mais intuitivas.
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Deixe-me apagar essa coisa aqui embaixo.
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E eu vou tirar dessa cor azul
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porque é um pouco enjoativa.
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Então o gradiente de T vai ser igual
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à derivada parcial de T
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em relação a x
vezes o vetor unitário na direção x,
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mais a derivada parcial
da função temperatura
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em relação a y vezes
o vetor unitário na direção y,
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mais a derivada parcial
da função temperatura
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em relação a z vezes
o vetor unitário
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na direção z.
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E agora a gente só aplica e descobre
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as derivadas parciais.
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O gradiente de T é igual a --
agora você pode estar assustado.
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Ah, eu tenho um "e" elevado
a essa função de 3 variáveis,
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como eu tiro a derivada parcial?
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Lembre-se, se você vai tirar
a derivada parcial em relação a x
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você só finge que os y's e z's
são constantes.
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Vamos fazer isso.
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Vamos tirar a derivada da função de dentro
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É assim que eu vejo.
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Então menos x ao quadrado mais
y ao quadrado mais z ao quadrado
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em relação a x.
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Você poderia distribuir o menos se quiser.
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Seria menos x ao quadrado
menos y ao quadrado
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menos z ao quadrado.
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A derivada disso em relação a x vai ser só
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essas são constantes,
a derivadas delas
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em relação a x é só 0.
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A derivada é menos 2x.
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Certo?
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Menos 2x é a derivada de menos x ao quadrado
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Menos 2x vezes a derivada "de fora".
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Qual é a derivada de e elevado a x?
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A derivada de e^x é só e^x.
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É por isso que "e"
é um número tão incrível.
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E esse 10 aqui, é só uma constante
e quando você tira
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a derivada de uma constante vezes algo
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a constante vai junto.
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Então a derivada da expressão de fora,
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do jeito que eu imagino, é igual a
10 "e" elevado a menos x ao quadrado
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mais y ao quadrado mais z ao quadrado.
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E tudo isso vezes o
vetor unitário na direção i.
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Certo?
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E agora podemos fazer
a mesma coisa para direção a y.
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Então mais -- qual é a derivada parcial
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disso em relação a y?
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Vai parecer bem similar.
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A derivada parcial dessa função de dentro
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em relação a y, menos y ao quadrado.
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É menos 2y.
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-2y
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E então a derivada da coisa toda
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é só ela mesma de novo.
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Vezes 10 e elevado a menos x ao quadrado
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mais y ao quadrado
mais z ao quadrado.
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E então tudo isso vezes o vetor unitário
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na direção y -- vezes j.
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Então finalmente, a derivada parcial
da função temperatura
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em relação a z.
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E isso é só menos 2z vezes 10
"e" elevado a menos x ao quadrado
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mais y ao quadrado
mais z ao quadrado.
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É só a regra da cadeia.
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E eu estou tratando as outras
duas variáveis das quais
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não estou tirando a
derivada parcial como constantes.
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E então tudo isso vezes o
vetor unitário na direção k.
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E poderíamos simplificar isso um pouco.
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Você poderia ter menos 2x vezes 10.
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É menos 20x.
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Deixe-me escrever aqui.
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O gradiente da função temperatura é igual
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a menos 20 e elevado a
menos x ao quadrado mais y ao quadrado --
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você provavelmente não consegue ler isso --
mais z ao quadrado vezes i, menos 20...
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menos 20 y
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E na verdade, eu não vou fazer isso,
porque percebi
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que está acabando o meu tempo.
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Eu acho que você consegue
simplificar isso algebricamente.
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Mas de qualquer forma, a coisa
mais importante...
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eu sempre acho os gradientes
fáceis de calcular
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mas a dedução -- ops, desculpa.
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Isso também está incluso.
É um k aqui.
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A parte mais difícil é a dedução.
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Então vamos ter uma intuição
de como a função gradiente
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vai se parecer.
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O que aconteceria?
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Se você quisesse saber
o gradiente em qualquer ponto do espaço,
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você substituiria um x, y e z aqui.
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Você poderia escrever que
o gradiente de uma função
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é uma função de x, y, z.
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Mas não é mais...
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Lembre-se: T, a temperatura
em qualquer ponto, era um campo escalar.
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Em qualquer ponto em 3 dimensões
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você só tinha um número.
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Agora que você tem o gradiente,
em qualquer ponto em 3 dimensões
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você tem um vetor, certo?
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Porque tem os componentes i, j e k.
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Onde as magnitudes são
as derivadas parciais,
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e então a direção é dada por i, j e k.
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Então fomos de um campo escalar
para um campo vetorial.
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E vejamos como isso se parece.
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E eu vou fazer maior para podermos
explorar um pouco.
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Acho que está bom.
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Esse é o campo vetorial.
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Este é o gradiente da função
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que nós calculamos.
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E como você pode ver, em qualquer ponto --
e como esse programa de gráficos fez
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ele só pegou pontos diferentes
e calculou os gradientes
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nesses pontos e depois
plotou como vetores.
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Então o tamanho dos vetores
é a magnitude dos componentes x, y, z.
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E você soma como somaria quaisquer vetores
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E a direção é dada pelos pesos relativos
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dos componentes i, j, k.
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E como você pode ver,
a dedução é bem interessante.
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E quando você chega mais e mais perto
da fonte de calor, a taxa na qual
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a temperatura aumenta, aumenta!
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Certo?
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Os vetores, quando você chega perto
vão ficando cada vez maiores.
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Eu vou aproximar.
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Vamos voar para dentro do campo vetorial.
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Agora estamos dentro do campo vetorial.
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E você pode ver quando chegamos
mais e mais perto do centro
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da nossa fonte de calor, os vetores,
a taxa na qual
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a temperatura aumenta, vão ficando maiores.
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Espero não ter te confundido.
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Quando eu aprendi gradientes
pela primeira vez eu achei o cálculo
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relativamente direto.
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São só derivadas parciais.
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Mas a dedução é sempre a parte interessante
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E espero que essa analogia
com a temperatura -- nem mesmo analogia
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esse modelo de temperatura vai fazer
um pouco de sentido para você.
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Mas se aplica a qualquer campo escalar.
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Certo, vejo vocês no próximo vídeo.
