Gradient pola skalarnego

Gradient pola skalrnego (temperatura w pokoju) w 3 wymiarach

W poprzednim filmie
mieliśmy trójwymiarową powierzchnię,

gdzie wysokość z
była funkcją od x i y.

I to dawało nam powierzchnię
w przestrzeni trójwymiarowej.

A teraz spróbujmy zobaczyć,
jak wygląda gradient

funkcji od trzech zmiennych.

Dla mnie najłatwiej jest
wyobrazić sobie pole skalarne..

Czym jest pole skalarne?

To co wydaje mi się
być dość intuicyjne,

to temperatura w
trójwymiarowym pokoju.

Powiedzmy, że temperatura w pokoju
jest funkcją

zależną od mojego
położenia w tym pokoju.

Czyli funkcja od moich
współrzędnych x,y i z.

I nie wiem, bo tak naprawdę
nigdy nie modelowałem temperatury,

ale powiedzmy, że...
20 kelwinów, albo

zróbmy to tak,
żeby nasze pole wektorowe dobrze działało.

Powiedzmy, że mamy temperaturę
10 kelwinów

w środku pokoju.

Powiedzmy, że im dalej
jesteśmy od tego punktu,

robi się coraz zimniej.

Czyli funkcja temperatury,

gdzie środek pokoju
znajduje się w miejscu

o współrzędnych x,y,z równych 0.

Powiedzmy że funkcja
temperatury, i teraz

wymyślam to na poczekaniu,
nie wiem jak jest naprawdę,

jest równa 10 razy
e do minus r kwadrat.

Dlaczego powiedziałem r?

Powiedziałem, że to
funkcja od x,y i z.

Chodzi o to, że spada wykładniczo,

kiedy oddalamy się od
źródła ciepła.

Oddalamy się od tego źródła
po promieniu.

Czym w ogóle jest odległość kątowa?

To nie jest potrzebne,
przy uczeniu się o gradientach,

ale chcemy dostać intuicję
co do zachowania

tej właśnie funkcji temperatury,
jak się zmienia

kiedy przemieszczamy się w pokoju.

Więc odległość od środka o promień,
to będzie po prostu

r kwadrat równe x kwadrat dodać
y kwadrat dodać z kwadrat.

Po prostu twierdzenie pitagorasa
w trzech wymiarach.

Zapiszmy więc naszą
funkcję temperatury.

Zapiszmy temperaturę jako
funkcję od x,y i x, gdzie

f(x) to 10 e do minus x kwadrat
dodać y kwadrat dodać

z kwadrat - czyli dokładnie to,
co jest zapisane tutaj.

Zamiast x kwadrat dodać
y kwadrat dodać z kwadrat, zapisałem

r kwadrat, po to, żeby intuicyjnie
pokazać że to

wyrażenie mówi tylko,
że kwadrat odległości

od środka pokoju,
czyli

punktu o wsp. (0,0,).

Ale to nie tego,
się tutaj uczymy.

Ale chcę, żebyście zrozumieli, albo przynajmniej
sobie wyobrazili,

jak trudno jest narysować pole skalarne.

Pole skalarne to takie,
dla którego każdy punkt z jego bazy,

w tym wypadku mamy
do czynienia z przestrzenią trójwymiarową,

możemy przypisać jakąś wartość.

I to ma sens.

Jeśli mielibyście wziąć termometr
i zmierzyć jakikolwiek punkt

w pokoju, w którym
obecnie przebywacie,

dostalibyście temperaturę.

Nie dostaniecie temperatury
i kierunku, więc

to nie jest pole wektorowe.

Dostaniecie tylko
temperaturę.

Dlatego jest nazywane
polem skalarnym.

Temperatura jest zależna

od pozostałych współrzędnych.

Więc jak będzie wyglądał
gradient tej funkcji?

Gradient będzie nam mówił,

w którym kierunku,
i właściwie gradient

będzie generował pole
wektorowe, bo będzie

nam mówił w którym
kierunku musimy iść,

żeby temperatura
rosła najszybciej.

I na dodatek, długość
tego pola wektorowego

powie nam na jak duży
wzrost temperatury

patrzymy.

Można na to patrzeć
prawie jak na

trójwymiarowe nachylenie.

Mam nadzieję,
że nie wprowadzam zamieszania.

Wyliczmy więc gradient,
a potem pokażę wam

schemat, dzięki któremu
to stanie się jeszcze bardziej intuicyjne.

Trochę tutaj pościeram.

I zmienię ten niebieski,

bo jest trochę mdły.

Więc gradient T
będzie równy

pochodnej T po x
razy wektor

w kierunku x, dodać pochodna
cząstkowa funkcji temperatury

po y razy wektor jednostkowy y

dodać pochodna cząstkowa
funkcji temperatury po z

razy wektor jednostkowy

w kierunku z.

I teraz obliczamy
po prostu

pochodne cząstkowe.

Więc gradient T jest równy,
teraz możecie zacząć się bać.

Ał, teraz w tej funkcji
trzech zmiennych jest e,

jak mam policzyć
pochodną cząstkową?

Pamiętajcie, że liczymy
pochodną cząstkową po x,

i udajemy po prostu,
że y i z są stałymi.

Zróbmy to.

Policzmy pochodną funkcji wewnętrznej.

Ja tak to widzę.

Więc minus x kwadrat
dodać y kwadrat

dodać z kwadrat
po x.

Ten minus może być
tam, gdzie chcecie

Więc to mogłoby być
minus x kwadrat

minus y kwadrat
minus z kwadrat.

Więc pochodna z tego po x
to po prostu,

to są tylko zmienne,
więc pochodna

po x to po prostu 0.

Więc pochodna to minus 2x.

Tak?

Minus 2x to pochodna
od minus x kwadrat.

Minus 2x razy pochodna
funkcji zewnętrznej.

A jaka jest pochodna
od e do x?

Pochodna z e do x
to e do x.

Dlatego właśnie e jest
tak cudowną liczbą.

A to 10 tutaj,
to zwyczajna stała,

więc pochodna stałej razy coś,

stała się przenosi.

Wiec pochodna wyrażenia zewnętrznego,

to wydaje mi się,
10 e do minus x kwadrat,

dodać y kwadrat
dodać x kwadrat.

A potem to wszystko razy
wektor w kierunku i.

Tak?

I teraz możemy zrobić
to samo w kierunku y.

Więc dodać...
jaka jest pochodna cząstkowa

po y?

Będzie wyglądać
bardzo podobnie.

Pochodna cząstkowa tej funkcji
po y

to minus y kwadrat.

Czyli minus 2y.

A potem pochodna tej całości

to będzie po prostu
ta funkcja.

Więc razy 10 e do minus
x kwadrat dodać y kwadrat

dodać z kwadrat.

A potem to wszystko
razy wektor

w kierunku y
razy j.

I w końcu, pochodna cząstkowa

funkcji temperatury po z.

I to jest tylko
minus 2z razy 10 e do minus x kwadrat

dodać y kwadrat
dodać z kwadrat.

To jest zwykła
reguła łańcuchowa.

I traktuję te dwie zmienne,
po których

nie biorę pochodnych,
jako stałe.

I potem to wszystko
razy wektor w kierunku k.

Moglibyśmy to trochę
uprościć.

Moglibyśmy mieć
minus 2x razy 10.

Czyli minus 20x.

Napiszę to tutaj.

Więc gradient funkcji
temperatury jest równy

minus 20 e do
potęgi minus x kwadrat dodać y kwadrat,

prawdopodobnie tego nie wiedzicie
dodać z kwadrat, razy i odjąć 20y.

I właściwie, nie mam zamiaru
tego rozwijać, bo zdałem

sobie sprawę z tego,
że czas się kończy.

Możecie to sami
uprościć algebraicznie.

Ale, najważniejszą rzeczą
w gradientach

jest to, że łatwo
je policzyć, ale

intuicja... przepraszam.

To też tu jest.

To jest k.

Intuicja jest trudniejsza.

Więc postarajmy się o intuicję
dotyczącą tego,

jak wygląda gradient funkcji.

Czyli co się dzieje.

Jeśli chcielibyście wiedzieć,
jaki jest gradient w dowolnym

miejscu przestrzeni,
wystarczy podstawić x,y i z.

Więc można gradient
zapisać jako

funkcję od x, y i z.

Pamiętajcie, że T, temperatura w
danym punkcie to pole skalarne.

W dowolnym punkcie
w trzech wymiarach

daje tylko liczbę.

A teraz, jeżeli mamy gradient
w danym punkcie

w trzech wymiarach,
dostajemy wektor.

Tak?

Bo ma składowe
i, j i k.

Gdzie długości to
pochodne cząstkowe

i kierunki są
zadane przez i, j i k.

Więc przeszliśmy od
pola skalarnego do wektorowego.

Zobaczmy jak to wygląda.

Powiększę to, żebyśmy
mogli to obejrzeć.

Myślę, że tak
jest dość dobrze.

Więc to jest
pole wektorowe.

To jest właściwie
gradient funkcji,

którą właśnie rozwiązaliśmy.

I jak widzicie, w każdym punkcie,
i ten program

do wykresów, który to zrobił
po prostu wybrał różne punkty

i wyliczył gradienty w
tych punktach,

a potem narysował
je jako wektory.

Więc długości tych wektorów,
to tylko długości

składowych x, y i z.

A potem się je dodaje,
tak jak zwyczajne wektory.

A wtedy kierunek
jest zadany przez

średnie ważone
składników i, j i k.

I jak widzicie,
intuicja jest

dość interesująca.

I w miarę zbliżania się
do źródła ciepła,

tempo wzrostu ciepła...
wzrasta.

Tak?

Im bardziej się zbliżamy,
tym większe robią się wektory.

Przybliżę to.

Chodźmy do pola
wektorowego.

Teraz jesteśmy
w polu wektorowym.

I widzicie, że im bardziej
zbliżamy się do centrum

naszego źródła ciepła,
wektory, prędość z jaką

rośnie temperatura,
jest coraz większa, większa i większa.

Mam nadzieję, że
wam nie zamieszałem.

Kiedy po raz pierwszy
uczyłem się gradientów,

myślałem, że liczy
się to dość prosto.

Zwyczajne pochodne cząstkowe.

Ale intuicja to
zawsze ta ciekawa rzecz.

I mam nadzieję, że ta analogia
do temperatury, właściwie

to nie analogia,
ten model temperatury,

ma waszym zdaniem
jakiś sens.

Ale to odnosi się do
właściwie każdego pola skalarnego.

No, do zobaczenia
w kolejnym filmie.