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en el último vídeo que tenía una superficie de tres dimensiones
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donde la altura z es una función de (x) y (y)
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donde la altura z era una función de x e y.
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Y nos dio la superficie en el espacio tridimensional.
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Ahora vamos a tratar de conseguir nuestras cabezas alrededor de lo que el gradiente
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de una función de tres variables parece
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Por lo tanto el más fácil para mí imaginar es un campo escalar.
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Entonces, ¿qué es un campo escalar?
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Uno que me parece bastante intuitivo es la temperatura en
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una sala de tres dimensiones.
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Así que digamos que la temperatura en una habitación es una función de
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donde yo estoy en la habitación.
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Así que vamos a decir que es una función de mi x, y y z las coordenadas.
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Y no sé, nunca he hecho el modelo de la temperatura.
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Pero digamos que tengo, no sé, un kelvin 20 - de hecho,
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déjame hacer para que nuestro campo de vectores funciona bien.
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Digamos que tenemos una fuerza de 10 grados Kelvin de calor en
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el centro de la habitación
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Me puedo imaginar a medida que avanza cada vez más lejos de eso
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fuente de calor que se va a poner más y más frío.
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Así que digamos que la función de la temperatura.
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Y digamos que el centro de la sala se encuentra en las coordenadas
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x, y, z es igual a 0
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Así que digamos que nuestra función de la temperatura - Sólo estoy haciendo de este
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, yo no sé si se trata de un modelo preciso de la temperatura -
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es igual a 10 veces e el r cuadrado menos.
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Ahora, ¿por qué digo r?
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He dicho que es una función de x, y, z.
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Bueno, yo sólo estoy diciendo que decae de manera exponencial a medida que
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llegar más lejos y más lejos de esa fuente.
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Tipo de radial cada vez más lejos de esa fuente.
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¿Cuál es la distancia radial de distancia?
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Y esta realidad no es tan relevante a los gradientes de aprendizaje,
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pero vamos a tener un poco de intuición acerca de lo que
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función de la temperatura real - lo que en realidad cambia a medida
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vas a través de la sala.
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Por lo tanto el radio del centro, que sólo va a ser
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r cuadrado es solo x al cuadrado más y cuadrado más z al cuadrado.
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Eso es sólo el teorema de Pitágoras en tres dimensiones.
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Así que vamos a escribir nuestra función de temperatura.
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Así que vamos a escribir temperatura como función de x, y y z es
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igual a 10 e al menos x al cuadrado más y cuadrado plus z
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cuadrado--que es exactamente lo que he escrito hasta aquí.
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En lugar de x al cuadrado más y cuadrado plus z cuadrado, escribí
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r cuadrado, simplemente darle clase de la intuición que esto
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expresión sólo está diciendo el cuadrado de la distancia que nos
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alejarse del centro de nuestra sala, o desde el
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coordenadas 0, 0, 0.
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Pero eso no lo que estamos aprendiendo aquí.
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Pero desea comprender, al menos conceptualizar
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es difícil señalar un campo escalar.
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Todos los medios de un campo escalar es que en cualquier punto en este
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base--y en este caso que estamos tratando con tridimensional
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espacio--en cualquier punto en el espacio podemos asociar un valor.
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Y eso tiene mucho sentido.
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Si tuviera que tomar un termómetro y medir cualquier
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punto en el espacio en la habitación que usted está en este momento,
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obtendría una temperatura.
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No conseguir una temperatura y una dirección, por lo que tiene
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no es un campo vectorial.
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Sólo obtendrá una temperatura.
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Y es por eso que llama un campo escalar.
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Asociado con cada coordenada es sólo
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una temperatura.
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Entonces, ¿cómo sería ver el gradiente de esta función?
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Así el gradiente de esta función va a decirnos en
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qué dirección--y en realidad, el gradiente de esta función
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se va a generar un campo vectorial, porque va a
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nos dicen en qué dirección tenemos el más grande
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aumento de temperatura.
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Y también, la magnitud de los vectores en ese vector
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campo dirá nos lo grande de un aumento de temperatura
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Estamos mirando.
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O tipo de verlo como casi un
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pendiente tridimensional.
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Espero que te no confunde.
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Así que vamos a calcular el degradado y, a continuación, a mostrarle un
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diagrama que podría hacer las cosas un poco más intuitiva.
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Quiero borrar esta cosa aquí abajo.
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Y voy a cambiar de color azul, porque
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es un poco nauseabundos.
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Por lo tanto el gradiente de t va a ser igual al parcial
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T derivado con respecto a x veces el vector unitario en la x
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dirección, además de las derivadas parciales de la temperatura
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función con respecto a y el vector unitario en el y el tiempo
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dirección, además de las derivadas parciales de la temperatura
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función con respecto a z veces el vector unitario
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en la dirección z.
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Y ahora simplemente enchufe y chug y averiguar la
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derivadas parciales.
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Por lo tanto el gradiente de t es igual a--ahora podrías estar atemorizado.
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Oh, tengo una e a esta función variable tres, cómo
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¿tomar la derivada parcial?
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Recuerde que si usted está tomando la derivada parcial con respecto
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x sólo pretender como la y y las s son constantes.
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Así que vamos a hacer eso.
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Así que vamos a tomar la derivada del interior función.
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Esto es lo que verlo.
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Por lo tanto menos x al cuadrado más y cuadrado plus z cuadrado,
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con respecto a x.
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Por lo tanto podría distribuir esta menos si así lo desea.
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Así que sería menos x al cuadrado menos y cuadrado
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menos z al cuadrado.
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Por lo tanto la derivada de con respecto a x sólo va a
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ser--estas son tan sólo constantes, el derivado con
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respecto a x es 0.
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Por lo tanto la derivada es menos x 2.
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¿Verdad?
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Menos 2 x es la derivada de menos x al cuadrado.
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Menos x 2 veces la derivada del exterior.
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Bien, ¿cuál es la derivada de e a la x?
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La derivada de e a la x es e a la x.
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Eso e es un número tan increíble.
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Y este 10 aquí, esto es sólo una constante que cuando llevas
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la derivada de una constante veces algo la
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transfiere constante.
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Así, los derivados de la expresión exterior, la forma
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imaginar, es igual a 10 e menos x más cuadrado
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cuadrado y además z al cuadrado.
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Y luego todo eso veces el vector unitario en la i dirección.
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¿Verdad?
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Y ahora podemos hacer lo mismo para la dirección y.
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Así además--¿cuál es la derivada parcial de
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¿Esto con respecto a y?
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Así va a ser muy similar.
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Las derivadas parciales de esta función interna con respeto
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y, es menos y cuadrado.
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Por lo que es menos 2 y.
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Y entonces es la derivada de toda la cosa
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sólo sí nuevamente.
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Lo veces 10 e al menos x al cuadrado más y
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cuadrado además z al cuadrado.
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Y, a continuación, todos de ese momento el vector unitario en la
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dirección y momento j.
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Y finalmente, las derivadas parciales de la temperatura
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función con respecto a z.
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Y eso es apenas menos 2z veces 10 e al menos x cuadrado
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Además y cuadrado plus z al cuadrado.
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Esto es simplemente la regla de la cadena.
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Y estoy tratar a las otras dos variables que no estoy tomando
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las derivadas parciales con respecto a como constantes.
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Y luego todo eso veces el vector unitario en la dirección de k.
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Y nosotros podríamos simplificar esto un poco.
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Podría tener menos x 2 veces 10.
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Es menos x 20.
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Me permito escribir aquí.
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Por lo tanto el gradiente de la función de la temperatura es igual
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al menos 20 e al menos x al cuadrado más y cuadrado--le
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probablemente no se puede lee esto--además de z al cuadrado, multiplicado por lo menos 20 y.
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Y en realidad, no voy a entrar en eso, porque me doy cuenta
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Estoy corriendo fuera de tiempo.
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Creo que esto puede simplificar algebraicamente.
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Pero de todos modos, lo más importante es que siempre me encuentro con
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degradados son fácil de calcular, pero la
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intuición--oh lo siento.
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Esto también está incluida.
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Se trata de un k aquí.
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La parte más difícil es la intuición.
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Así que vamos a obtener una intuición de lo que esta función degradada
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realmente será similar.
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Por lo tanto lo que sucedería.
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Si desea saber el degradado en cualquier punto del espacio,
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sería sustituir una x, y y z en aquí.
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Por lo que podría escribir la función degradada sea un
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función de x, y y z.
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Recuerde, T, la temperatura en cualquier punto, era un campo escalar.
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En cualquier momento en tres dimensiones sólo
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le dio un número.
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Ahora cuando tengas el degradado, en cualquier momento en tres
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dimensiones le da un vector.
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¿Verdad?
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Porque tiene, j y componentes de k.
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Donde la magnitud son las derivadas parciales, y
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a continuación, la dirección está dada por i, j y k.
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Así que hemos pasado de tener un campo escalar a un campo vectorial.
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Y vamos a ver lo que parece.
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Y me deja hacer más grande por lo que podemos explorar un poco.
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Creo que es bastante bueno.
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por lo que este es el campo vectorial
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Esto es en realidad el gradiente de la función que
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que acabamos de resolver para
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Y como se puede ver, en cualquier momento - y cuando esta gráfica
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programa que lo hizo, que acaba de recoger diferentes puntos y
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calcularon los gradientes en ese punto y, a continuación se
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graficada como vectores.
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Así la longitud de los vectores son sólo las magnitudes de
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x, y, z, y los componentes
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Y luego sumarlos como usted agregue cualquiera de los vectores.
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Y entonces la dirección está dada por la ponderación relativa de
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los componentes i, j, k.
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Y como se puede ver, la intuición es bastante
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interestante.
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A medida que más y más a nuestra fuente de calor, la velocidad a la
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que la temperatura aumenta, aumenta!
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derecho?
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Los vectores de medida que se acerca, más y más grande.
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Y permítanme hacer zoom in
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Vamos a volar en realidad en el campo de vectores.
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Así que ahora estamos en el campo de vectores.
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Y usted puede ver que nos acercamos más y más cerca del centro
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de nuestra fuente de calor, los vectores, la velocidad a la que el
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la temperatura aumenta, se hace más grande y más grande.
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De todos modos, espero que no te confunda.
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Cuando me enteré de gradientes, creo que el cálculo es
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relativamente sencillo.
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Son sólo las derivadas parciales.
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Pero la intuición es siempre lo más interesante
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Y espero que esta temperatura analogía - y ni siquiera
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analogía - este modelo de la temperatura hará una
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poco sentido para usted
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Pero se aplica a casi cualquier campo escalar.
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De todos modos, te voy a ver en el vídeo siguiente.
