Gradient skalárního pole.

Intuitivní pohled na gradient skalárního pole (teploty v místnosti) ve 3 dimenzích.

V posledním videu jsme měli třídimenzionální povrch,

kde výška 'z' byla funkcí 'x' a 'y'.

Tak jsme dostali povrch v trojrozměrném prostoru.

Zkusme si teď představit jak vypadá gradient funkce 3 proměnných.

Zkusme si teď představit jak vypadá gradient funkce 3 proměnných.

Pro mě je nejjednodušší představit si skalární pole.

Takže, co je skalární pole?

Jedním, které je podle mě velmi intuitivní, je teplota

v trojrozměrné místnosti

Řekněme, že teplota v pokoji je funkce toho,

kde se v pokoji nacházím.

Řekněme, je to funkce mých 'x', 'y' a 'z' souřadnic.

A nevím, nikdy jsem ve skutečnosti teplotu nemodeloval,

ale řekněme, že mám, nevím, 20 Kelvinů - vlastně,

nechte mě to udělat tak. že naše vektorové pole bude dobře fungovat.

Řekněme, že máme zdroj tepla 10 Kelvinů

uprostřed našeho pokoje.

Dokážu si představit, že jakmile půjdeme dál a dál od

tepelného zdroje, teplota bude menší a menší.

Řekněme tedy, že teplotní funkce...

A řekněme, že střed pokoje je na souřadnicích

'x', 'y', a 'z' rovno 0.

Takže uvažujme naší teplotní funkci - teď si jen vymýšlím,

nevím jestli je to přesný model teploty -

je roven 10 krát e na mínus r na druhou

Nyní, proč jsem řekl 'r'?

Řekl jsem, že je to funkce 'x', 'y' a 'z'.

Jednoduše říkám, že exponenciálně klesá s tím,

jak jdeme dál a dál od zdroje.

Jakoby radiálně se vzdáleností od zdroje.

Co je radiální vzdálenost?

Tohle sice není tak důležité pro pochopení gradientu,

ale pokusme se intuitivně zjistit,

jak ta vlastní teplotní funkce... Jak se ve skutečnosti mění

s tím jak se pohybujeme po místnosti.

Radiální vzdálenosti od středu tedy jednoduše bude

'r' na druhou je 'x' na druhou plus 'y' na druhou plus 'z' na druhou.

To je jen Pythagorova věta ve třech dimenzích.

Pojďme tedy napsat naše teplotní funkci.

Napišme teplotu jako funkci 'x', 'y' a 'z'

rovná se 10 e na -x na druhou plus y na druhou plus z na druhou

což je přesně to, co jsem napsal tady nahoře.

Místo x na druhou plus y na druhou plus z na druhou jsem napsal

r na druhou, jen proto aby jsme intuitivně věděli,

že tento výraz prostě vyjadřuje vzdálenost

s tím jak se vzdalujeme od středu místnosti, neboli

od souřadnic 0,0,0, na druhou.

Tohle ale není to, co se tu chceme naučit.

Chci ale aby jste pochopili alespoň tu myšlenku.

Je těžké namalovat skalární pole.

Skalární pole jednoduše znamená, že každému bodu v této bázi

(v tomto případě pracujeme s trojrozměrným prostorem)

že každému bodu v této bázi můžeme přiřadit hodnotu.

Což dává smysl.

Pokud by jste vzali teploměr a měřili

v libovolném místě v prostoru místnosti, ve které se právě nacházíte,

dostali by jste hodnotu teploty.

Nedostali by jste teplotu a směr,

takže to není vektorový prostor.

Dostali by jste jen teplotu.

To je důvod, proč se tomu říká skalární pole.

Každému bodu odpovídá pouze teplota.

Každému bodu odpovídá pouze teplota.

Takže jak můžeme nahlížet na gradient této funkce?

Gradient této funkce nám řekne

v jakém směru... Gradient této funkce

nám ve skutečnosti vygeneruje vektorové pole, protože nám řekne,

v jakém směru bude největší přírůstek teploty.

v jakém směru bude největší přírůstek teploty.

Velikost vektoru v tomto vektorovém poli nám také řekne,

na jak velký přírůstek energie se díváme.

na jak velký přírůstek energie se díváme.

Nebo se na to svým způsobem můžete dívat jako na trojrozměrný sklon.

Nebo se na to svým způsobem můžete dívat jako na trojrozměrný sklon.

Doufám že z toho nejste příliš zmatení.

Pojďme tedy vypočítat gradient a pak vám ukážu diagram,

který to snad udělá trochu víc intuitivnější.

Jen smažu tady dole ten výraz.

Přejdu na jinou barvu,

ta modrá je trochu matoucí.

Gradient 'T' tedy bude roven

parciální derivaci T podle x krát jednotkový vektor ve směru x

plus parciální derivaci teplotní funkce

podle y krát jednotkový vektor ve směru y

plus parciální derivace teplotní funkce

podle z krát jednotkový vektor ve směru z.

podle z krát jednotkový vektor ve směru z.

Teď jen musíme přijít na ty parciální derivace.

Teď jen musíme přijít na ty parciální derivace.

Gradient T je tedy roven... Teď by jste mohli zastrašení:

'Mám e na tuhle funkci tří proměnných,

jak to mám parciálně zderivovat?'

Vzpomeňte si, že pokud derivujete podle x,

tak můžete považovat y a z za konstanty.

Pojďme tedy na to.

Podívejme se na derivaci vnitřní funkce.

Takhle se na to dívám já.

- (x na druhou plus y na druhou plus z na druhou)

podle x.

Znaménko mínus můžete distribuovat jak chcete.

- x na druhou mínus y na druhou

mínus z na druhou

Derivace toho podle x tedy bude...

tohle jsou jen konstanty, takže derivace podle x

bude jednoduše 0.

Derivace je tedy -2x

Ano?

-2x je derivace -x na druhou

-2x krát derivace vnějšku.

Co je derivací e na x?

Derivace e na x je e na x

Proto je e tak úžasné číslo.

A tady ta 10, to je jen konstanta.

Když derivujete konstantu krát něco,

tak se konstanta přenáší dál.

Takže derivace vnějšího výrazu je

rovna 10 e na -x na druhou plus

y na druhou plus z na druhou.

A tohle všechno krát jednotkový vektor ve směru i.

Ano?

A teď můžeme udělat to stejné ve směru y.

Tedy plus... Co je derivací tohoto podle y?

Tedy plus... Co je derivací tohoto podle y?

Bude to vypadat velmi podobně.

Parciální derivace této vnitřní funkce

podle y , -y na druhou.

To bude -2y.

A pak derivace toho celého

je jen znovu to stejné,

takže krát 10e na -x na druhou plus

y na druhou plus z na druhou.

A pak to celé krát jednotkový vektor

ve směru y: krát j.

A nakonec parciální derivace teplotní funkce podle z.

A nakonec parciální derivace teplotní funkce podle z.

To je jednoduše -2z krát 10e na -x na druhou

plus y na druhou plus z na druhou.

To je jen řetězové pravidlo.

A na ostatní dvě proměnné, podle kterých nederivuji,

beru jako konstanty.

A pak to celé krát jednotkový vektor ve směru k.

Mohli bychom to trochu zjednodušit.

Mohli by jste vzít 2x krát 10.

Což je 20x

Napíšu to sem nahoru.

Gradient teplotní funkce je tedy roven

-20e na -x na druhou plus y na druhou

(asi to nebudete moct přečíst) plus z na druhou krát i mínus 20y.

Moc se tím dál nebudu zabývat, protože si uvědomuji,

že mi dochází čas.

Myslím, že to můžete algebraicky zjednodušit.

Každopádně důležité je,

že spočítat gradient je jednoduché, ale intuice... omlouvám se

že spočítat gradient je jednoduché, ale intuice... omlouvám se

Tohle k tomu také patří.

Tohle k.

Těžší částí je intuice.

Pojďme si tedy intuitivně představit,

jak bude gradient funkce ve skutečnosti vypadat.

Co by se tedy stalo?

Pokud by jste chtěli znát gradient v nějakém bodu v prostoru,

nahradili by jste tohle x,y a z.

Mohli by jste tedy psát, že gradient funkce je

funkce x,y a z

Vzpomeňte si, že T, teplota v libovolném bodě, byla skalární pole.

V libovolném bodě v třech dimenzích

jste dostali prostě jen číslo

Teď když máte gradient, tak v libovolném bodě v třech dimenzích

dostanete vektor.

Ano?

Protože to má složky i,j a k.

Velikost je určena parciálními derivacemi

a směr je dán i,j a k

Ze skalárního pole jsme tedy získali pole vektorové.

Teď se pojďme podívat jak vypadá.

Trochu ho zvětším, ať to můžeme lépe prozkoumat.

Myslím že takhle je to dobré.

Tohle je tedy vektorové pole.

Tohle je ve skutečnosti gradient funkce,

pro kterou jsme to řešili.

A jak můžete vidět, v libovolném bodě... Když to ten grafický program zpracovával,

tak jen vybral různé body,

v nich vypočítal gradient a pak

je zobrazil jako vektory.

Délky vektorů jsou dány velikostmi x,y a z složek.

Délky vektorů jsou dány velikostmi x,y a z složek.

Pak je sečtete dohromady tak jako by jste sčítali každé vektory.

Směr je pak dán relativní velikostí

i, j a k složek.

Jak můžete vidět, intuice je zde velmi

zajímavá.

Jak jdete blíž a blíž ke zdroji tepla,

zvětšuje se rychlost s jakou roste teplota.

Ano?

S tím jak se přibližujete se vektory zvětšují a zvětšují.

Já to přiblížím.

Pojďme se ve vektorovém poli prolétnout.

Nyní jsme tedy uvnitř vektorového pole.

Jak můžete vidět, s tím jak se přibližujeme ke středu

našeho zdroje tepla se vektory, tedy rychlost

s jakou roste teplota, zvětšují a zvětšují.

Doufám, že jsem vás příliš nezmátl.

Z doby kdy jsem se poprvé učil gradienty myslím, že výpočet

je relativně přímočarý.

Jsou to jen parciální derivace.

Tou zajímavou věcí je ale vždy intuice.

Snad vám tahle analogie s teplotou

(vlastně ne analogie - tento teplotní model)

bude dávat trochu smysl.

Takto to funguje u prakticky všech skalárních polí.

Uvidíme se u dalšího videa!