Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

(Google Translate - Please help to correct)

(Google Translate - Please help to correct)
I udfylde pladsen video jeg holdt sige, at alle

den andengradsligning er ved at afslutte den firkantede

som lidt af en genvej for at gennemføre kvadrat.

Og jeg var under indtryk af, at jeg havde gjort det

bevis allerede, men nu er jeg klar over, at jeg ikke har.

Så lad mig bevise andengradsligning til dig, ved at

udfylde pladsen.

Så lad os sige, at jeg har en andengradsligning.

Jeg gætte en andengradsligning er faktisk, hvad du forsøger at

løse, og hvad en masse mennesker kalder andengradsligning er

faktisk den kvadratiske formel.

Men alligevel jeg ønsker ikke at blive fanget op i terminologi.

Men lad os sige, at jeg har en andengradsligning, som

siger økse hugget plus bx plus c er lig med 0.

Og lad os bare afslutte pladsen her.

Så hvordan gør vi det?

Jamen så lad os trække c fra begge sider, så vi får øksen kvadreret plus

BX er lig med minus c.

Og lige som jeg sagde i udfylde pladsen video

Jeg kan ikke lide at have dette til en koefficient her.

Jeg kan godt lide bare at have en koefficient på min x kvadreret

sigt, så lad mig dele alt med A.

Så jeg får x kvadratet plus b / økse er lig med - du har

at dividere begge sider af en - minus c / a.

Nu er vi klar til at fuldføre pladsen.

Hvad var udfylde pladsen?

Jamen det er en eller anden måde at tilføje noget til dette udtryk, så

det har i form af noget, der er de firkantede

i et udtryk.

Hvad mener jeg med det?

Nå, jeg vil gøre en lille sidebemærkning her.

hvis jeg fortalte dig, at x plus en kvadrat, der er lig

x kvadreret plus to økse plus en firkant, right?

Så hvis jeg kan tilføje noget her, så dette venstre side

dette udtryk ser sådan ud, så kunne jeg

gå den anden vej.

Jeg kan sige dette vil være x plus noget anden potens.

Så hvad gør jeg nødt til at tilføje på begge sider?

Hvis du har set den udfylde pladsen videoen dette bør

forhåbentlig intuitivt for dig.

Hvad du skal gøre er du siger godt denne b / a, svarer dette til

Den 2a sigt, så en kommer til at udgøre halvdelen af ​​dette, vil

være halvdelen af ​​denne koefficient.

Det ville være A.

Og så hvad jeg har brug for at tilføje en anden potens.

Så jeg nødt til at tage halvdelen af ​​denne og derefter firkantet den og

derefter føje den til begge sider.

Lad mig gøre det i en anden farve.

Gøre det i denne magenta.

Så jeg har tænkt mig at tage halvdelen af ​​denne - jeg er bare udfylde

firkantet, det er alt jeg gør, ingen magi her - så

plus halvdelen af ​​dette.

Godt halvdelen af ​​det er b/2a rigtigt?

Du skal bare ganges med 1 / 2.

Og jeg er nødt til at firkantede det.

Godt, hvis jeg gjorde det til venstre side af ligningen, jeg

nødt til at gøre den til højre side.

Så plus b/2a potens.

Og nu har jeg denne venstre side af ligningen i

form, at det er kvadratet på et udtryk, der er

x plus noget.

Og hvad er det?

Nå det er lige til - lad mig skifte farver igen - hvad er

venstre side af denne ligning er lig med?

Og du kan bare bruge dette mønster og gå til venstre.

Det er x plus hvad?

Nå vi sagde en, kan du gøre en af ​​to måder. a er 1 / 2 af denne

koefficient eller en er kvadratroden af ​​denne koefficient eller

da vi ikke engang firkantet det vi ved, at dette

er a. b/2a er a.

Så dette er det samme som x plus b over 2a alt

firkantede, og så er lig - lad os se, om vi kan forenkle

dette eller gøre dette lidt renere - at lig -

Se, hvis jeg skulle have en fællesnævner - jeg er bare laver en

lidt algebra her - se, når jeg torv dette er det

kommer til at være 4a firkantede - lad mig lad mig skrive dette.

Dette svarer til b firhugget over kvadratet 4a.

Højre?

Og så hvis jeg er nødt til at tilføje disse to fraktioner, lad mig gøre

dette er lig med 4a potens.

Højre?

Og hvis nævneren er 4a firkantede, hvad betyder

minus c / a blive?

Jeg se, om jeg gange nævneren ved 4a, jeg er nødt til at

gange tælleren med 4a.

Så det bliver minus 4ac, right?

Og så b firhugget over kvadratet 4a, godt det er

bare stadig b potens.

Jeg er bare laver en lille smule algrebra.

Forhåbentlig er jeg ikke forvirrende dig.

Jeg har lige udvidet dette.

Jeg tog bare pladsen for denne, b firhugget over 4a potens.

Og så er jeg tilføjet dette til dette, fik jeg en fællesnævner.

Og minus c / a er det samme som minus 4ac over kvadrerede 4a.

Og nu kan vi tage kvadratroden af ​​både

sider af denne ligning.

Og det skulle forhåbentlig begynde at se lidt

bit kender dig nu.

Så lad os se, så vi får x.

Så hvis vi tager kvadratroden af ​​begge sider af denne ligning

vi får x plus b/2a er lig med kvadratroden af ​​dette - lad os

tage kvadratroden af ​​tælleren og demoninator.

Så er tælleren - Jeg har tænkt mig at sætte b firkantede første, jeg

bare for at skifte denne ordre, betyder det ikke noget - den

kvadratroden af ​​b kvadratet minus 4ac, right?

Det er bare tælleren.

Jeg har lige kvadratroden af ​​det, og vi er nødt til at få pladsen

roden af ​​nævneren også.

Hvad er den firkantede taget af 4a kvadreret?

Nå det er bare 2a, right?

2a.

Og nu, hvad gør vi?

Oh, det er meget vigtigt!

Når vi tager kvadratroden, er det ikke bare

positive kvadratrod.

Det er den positive eller minus kvadratrod.

Vi så, at par gange, når vi har - og du kan

siger, det er et plus eller minus også her, men hvis du kigger plus eller

minus på toppen og et plus eller minus på bunden, kan du

bare skrive det én gang på toppen.

Jeg vil lade dig tænke over hvorfor du kun at skrive det én gang.

Hvis du havde en negativ en et plus, eller negativ og et plus

undertiden annullere eller en negativ og en negativ,

det er det samme som bare at have et plus på toppen.

Anyway, jeg tror, ​​du får det.

Og nu vi bare nødt til at trække b/2a fra begge sider.

og vi får, vi får - og det er det spændende del - vi får x

er lig med minus skal over til 2a plus eller minus denne ting, så

minus b kvadreret minus 4ac, alt dette over 2a.

Og vi har allerede en fællesnævner, så vi kan

bare tilføje fraktioner.

Så fik vi - og jeg har tænkt mig at gøre dette i en levende fed - jeg

kender ikke måske ikke så meget fed, vel grøn farve - så vi

få x er lig med tælleren, negativ b plus eller minus firkantet

roden af ​​b kvadratet minus 4ac, alt dette over 2a.

Og det er den berømte kvadratiske formel.

Så der går vi vi bevist det.

Og vi viste det bare fra udfylde pladsen.

Jeg håber, du fandt, at vagt interessant.

Se i den næste video.