L'Hopitals Regel Exempel 2

L'Hopitals Regel Exempel 2

Vi ska undersöka gränsvärdet då x går mot oändligheten av 4x

kvadrat minus 5x, och allt det delat med 1 minus 3x kvadrat.

Oändligheten är ett lite konstigt tal.

Man kan inte bara sätta in oändligheten och se vad som händer.

Men om man ville undersöka det här gränsvärdet, så kan man försöka

undersöka -- om du vill ta ta reda på gränsvärdet när den här

täljaren går mot oändligheten så sätter du in riktigt stora tal,

och då ser du vad som händer när det går mot oändligheten:

Att täljaren går mot oändligheten när

x går mot oändligheten.

Och om du sätter riktigt stora tal i nämnaren,

så ser du att den också -- eller,

inte riktigt oändligheten.

3x kvadrat kommer gå mot oändligheten, men vi

subtraherar det.

Om du subtraherar oändligheten från

något o-oändligt tal, så kommer

det att vara minus oändligheten.

Så om du bara skulle undersöka det med oändligheten,

så skulle du få plus oändligheten i täljaren.

I nämnaren skulle du få minus oändligheten.

Så jag skriver det så här.

Minus oändligheten.

Och det är en av de obestämda formerna

som L'Hopitals regel kan användas på.

Och du kanske säger, kom igen Sal, varför använder

vi ens L'Hopitals regel?

Jag vet hur man kan göra det här utan L'Hopitals regel.

Och det vet du säkert, eller du borde det.

Och vi ska göra det snart.

Men jag vill bara visa att L'Hopitals regel också

fungerar för den här typen av problem, och jag vill bara

visa ett exempel som hade formen oändligheten delat med minus

eller plus oändligheten.

Men vi använder L'Hopitals regel.

Så om det här gränsvärdet existerar, eller om gränsvärdet för deras derivator

existerar, så kommer det här gränsvärdet att vara lika med gränsvärdet då x

går mot noll i derivatan av täljaren...

Derivatan av täljaren är -- derivatan av

4x kvadrat är 8x minus 5 delat med -- derivatan av

nämnaren är, ja, derivatan av 1 är 0.

Derivatan av minus 3x kvadrat är minus 6x.

Och än en gång, när man undersöker mot oändligheten så

går täljaren mot oändligheten.

Och nämnaren går mot minus oändligheten.

Minus 6 gånger oändligheten är minus oändligheten.

Så det här är minus oändligheten.

Så vi använder L'Hopitals regel igen.

Om gränsvärdet för derivatorna av de här existerar -- eller den

rationella funktionen av derivatan av det här delat

med derivatan av det där -- om det existerar så kommer det här

gränsvärdet att vara lika med gränsvärdet då x går mot

oändligheten av -- färgbyte -- derivatan

av 8x minus 5 är bara 8.

Derivatan av minus 6x är minus 6.

Och det här blir bara -- det är bara en konstant här.

Så det spelar ingen roll vilket tal du går mot, det här

blir ändå det här talet.

Som är vadå?

Om vi skriver det i minsta gemensamma form, eller förenklad

form så är det minus fyra tredjedelar.

Minus fyra tredjedelar.

Så gränsvärdet existerar.

Det här var en obestämd form.

Och gränsvärdet av den här funktionens derivata delar med den här

funktionens derivata existerar, så gränsvärdet måste alltså vara

lika med minus fyra tredjedelar.

Och med samma argument måste också det här gränsvärdet vara

lika med minus fyra tredjedelar.

Och för de av er som säger, kom igen, vi visste redan

hur man skulle göra det här:

Vi skulle bara ha brutit ut x kvadrat.

Ni har helt rätt.

Och jag ska visa det här.

Bara för att visa att det inte är det enda -- du vet,

L'Hopitals regel är inte det enda tricket i rockärmen.

Och ärligt talat, för den här typen av problem så hade nog inte

min första reaktion varit att använda L'Hopitals regel först.

Man skulle kunna säga att det första gränsvärdet -- så gränsvärdet när x

går mot oändligheten av 4x kvadrat minus 5x delat med 1 minus

3x kvadrat är lika med gränsvärdet när x går mot oändligheten...

Jag drar en liten linje här för att visa att det här är lika med

det där, och inte med det här här.

Det här är lika med gränsvärdet då x går mot oändligheten...

Vi bryter ut x kvadrat från täljaren

och nämnaren.

Så du har x kvadrat gånger 4 minus 5 delat med x.

Eller hur? x kvadrat gånger 5 delat med x blir 5x.

Dividerat med -- vi bryter ut x kvadrat från täljaren (nämnaren)...

Så x kvadrat gånger 1 delat med x kvadrat minus 3.

Och de här x kvadraterna tar ut varandra.

Så det här är lika med gränsvärdet då x går mot

oändligheten av 4 minus 5 delat med x delat med 1 delat med x kvadrat minus 3.

Och vad kommer det vara lika med?

Ja, när x går mot oändligheten -- 5 dividerat med

oändligheten -- den här termen kommer att vara 0.

Super duper oändligt stor nämnare,

det här blir 0.

Det här går mot 0.

Och samma argument.

Det här kommer att gå mot 0.

Och allt du har kvar är en 4:a och en minus 3:a.

Så det här kommer att vara lika med

minus, eller 4 delat med

minus 3, eller minus fyra tredjedelar.

Så man behövde inte använda L'Hopitals regel

för det här problemet.