Hexaflexagons

Imagine que acabou de se mudar da Inglaterra para os Estados Unidos

pegou seu antigo material escolar inglês

e seu novo material escolar americano

é seu primeiro dia de aula e você entra na sala

e percebe que suas novas folhas não encaixam

no seu antigo fichário inglês

As folhas são mais largas que o fichário

Você corta as folhas e fica com um monte de tiras de papel

Para se divertir durante a aula de matemática

começa a brincar com elas

Você é

Arthur H. Stone em 1939.

Enfim, há um monte de coisas legais

que você pode fazer com uma tira de papel. Você pode dobrá-la em formas

e mais formas

Talvez enrolar dessa forma

Talvez fazer um quadrado

Ou dobrá-la em forma de hexágono com

um belo e simétrico tipo de ciclo com abas

Na verdade, temos espaço para continuar a dobrar o papel

e então nosso hexágono fica bem firme

E você pensaria "Sei lá, hexágonos não são tão legais,

mas acho que tem alguma simetria."

Talvez você possa dobrá-lo

de modo que as partas com abas fiquem para baixo e a parte sem abas para cima

Isto é simétrico e se dobra nestes três triângulos

e se dobra em um triângulo, e hexágonos dobráveis são,

você imagina, legais, pelo menos para distraí-lo um pouco durante a aula

Então, como hexágonos possuem simetria de seis lados,

você decide tentar dobrar três desses lados,

com as abas para cima, e está dobrando para baixo

quando de repente a parte de dentro do hexágono decide se abrir

Como? Você fecha, desfazendo a abertura.

Parece que tudo voltou como estava antes,

o centro não está abrindo.

Mas, quando você dobra novamente,

ele, tipo, abre de dentro pra fora. Estranho.

Desta vez, em vez de desfazer,

você tenta dobrar novamente. E de novo. E de novo. E mais uma vez.

Você quer fazer fazer algo um pouco menos bagunçado,

então tenta novamente com outra tira de papel

e vai dobrando e virando. Você decide

que seria legal colorir os lados,

então pinta um dos lados de amarelo.

Agora pode virar do lado amarelo para o lado branco.

Amarelo, branco, amarelo, branco,

Humm. Lado branco? Como?! Onde foi parar o amarelo?

Você volta e dessa pinta o lado branco de verde,

e descobre que seu papel tem três lados.

Amarelo, branco e verde.

Agora a coisa ficou legal.

Por isso, você precisa dar um nome.

E já que é um hexágono que pode ser flexionado

e flex rima com hex, vamos chamá-lo de hexaflexágono.

Naquela noite você não conseguiu dormir

pensando nos hexaflexágonos.

No dia seguinte, assim que entrou na aula de matemática

pegou suas tiras de papel.

Você tem este papel dobrado em espiral

que dobra e volta ao formato de uma folha de papel

e decide pegá-lo.

E usa para fazer um hexaflexágono.

O que deveria funcionar, mas parece mais resistente

com o papel extra.

E pinta os três lados de

laranja, amarelo e rosa.

E você até tenta prestar atenção à aula.

Matémática, uhu! Laranja, amarelo, rosa.

Laranja, amarelo, branco! Espera um pouco.

OK, então você pinta este lado de verde.

E agora temos laranja, amarelo, verde. Laranja, amarelo, verde.

Onde foi parar o lado rosa?

Ah, aqui está. Voltamos ao laranja, amarelo, rosa.

Laranja, amarelo, rosa. Humm. Azul.

Amarelo, rosa, azul. Amarelo, rosa, azul. Amarelo, rosa, hã.

O flexagono antigo só dobrava para um lado

para cima.

Mas agora tem mais dobras. Então você dobrá-lo para os dois lados.

Sim, passa do rosa para o azul,

mas o outro, do rosa para o laranja.

E agora, passa do laranja para o amarelo,

mas o outro lado passa do laranja para... amarelo fluorescente.

Durante o almoço você mostra isto

para seu novo amigo Bryant Tuckerman.

Você começa pelo hexaflexagon original, simples, de três faces,

que você chama de trihexaflexágono.

E seu amigo está assim, uhau!

e quer aprender como fazer um.

E você: É simples! É só começar com uma tira de papel

dobrá-la em triângulos equiláteros,

você precisará nove deles, e então dobrá-los

em círculo garantindo a simetria.

As partes móveis são diamantes, se não forem

então você errou.

Você cola o o primeiro triângulo ao último com fita adesiva,

pela beirada, e pronto.

Mas Tuckerman não tinha fita adesiva

Afinal, ela foi inventada somente 10 anos depois.

Ele corta 10 triângulos no lugar de 9,

e cola o primeiro ao último.

Você demonstra como abrir, puxando

uma aba e empurrando pro lado oposto,

formando um triângulo, e abrindo pelo centro.

Vocês decidem criar um comitê do flexágono.

para explorar os mistérios da flexagenia.

Mas isso ficará para uma próxima oportunidade.