La belleza y el poder de las matemáticas | William Tavernetti | TEDxUCDavis

William Tavernetti tiene un doctorado en Matemáticas Aplicadas de la Universidad de California Davis y actualmente es profesor del Departamento de Matemáticas. William también trabaja como profesor de Introducción a la Ingeniería Mecánica en la Escuela Estatal de Verano de Matemáticas y Ciencias de California (COSMOS). Antes de graduarse, trabajó como Ingeniero Junior para Valador Inc., colaborando con el nave lunar Altair de la NASA. William también tiene una licenciatura en Filosofía y una licenciatura en Ciencias Matemáticas de la UC Santa Barbara.

Esta charla se realizó en un evento TEDx utilizando el formato de conferencia TED pero organizada por una comunidad local. Más información en http://ted.com/tedx

Algunas personas miran a
un gato o una rana y piensan:

"Esto es hermoso,
la obra maestra de la naturaleza,

quiero entenderlo más claramente".

Así lo hacen las ciencias de la vida,
la biología por ejemplo.

Otras personas, toman un ejemplo

como un sol hirviente,
como nuestra estrella

y se dicen así mismos,

"Eso es fascinante,
quiero entenderlo mejor".

Esto es física.

Otros ven un aeroplano
y quieren construirlo,

optimizar su rendimiento de vuelo,

construir máquinas
para explorar el universo.

Esto es ingeniería.

Otro grupo de personas

que más que tratar de tomar
ejemplos particulares,

estudian ideas y
la veracidad de su origen.

Estos son los matemáticos.

(Risas)

Cuando observamos a la naturaleza
para entenderla, eso es ciencia,

y por supuesto, el método científico.

Ahora, una forma de dividir
las ciencias es esta:

tenemos las ciencias naturales,
que son física y química

que aplican en las ciencias de la vida,
al mundo y al espacio.

Tenemos las ciencias sociales

donde encontramos cosas
como política y economía.

Están la ingeniería y tecnología,

donde están todos
los campos de la ingeniería:

biomedicina, química,
computación, eléctrica,

mecánica y nuclear.

Todas las aplicaciones de la tecnología:

biotecnología, comunicaciones,
infraestructura y todo lo relacionado.

Por último, pero no menos importante,
están las humanidades

donde pueden encontrar cosas
como filosofía, arte y ḿúsica.

Ahora, la matemática aparece
en todas esas disciplinas,

en algunas, como física e ingeniería,
su rol es algo pronunciado y obvio,

en otras, como arte y música,

el rol de la matemática es
algo más especializado

y normalmente secundario.

La matemática
está en todos lados,

por eso es especialmente
buena para hacer conexiones.

¿Cómo la matemática
realiza conexiones?

Es una excelente pregunta,

es realmente una pregunta
difícil de contestar.

Creo, por ahora, en nuestra era,

lo mejor que podemos hacer
es intentar una posible respuesta

examinando las conexiones
que las matemáticas pueden hacer

a través de los lentes
de algunas ideas matemáticas.

La matemática es números,

y quizás el más famoso número
de todos es el número pi.

Pi fue descubierto porque representa
la propiedad geométrica del círculo:

es la relación de la circunferencia
de cada círculo a su diámetro,

pero en ninguna parte
un círculo es cualquier cosa.

Un círculo es un tipo de pura,
idea matemática,

una construcción de
la geometría que dice,

"Fijas el punto central,

luego tomas todas los puntos
equidistantes desde el punto central".

En dos dimensiones,
esta construcción produce un círculo,

en tres dimensiones,
produce una esfera.

Pero en ningún lugar del universo
hay algo como círculo o esfera.

Esta es una idea puramente
matemática y el mundo que habitamos

es imperfecto, tosco, atomizado,
movible y todo está un poco sesgado.

Sin embargo, el número pi

ha sido asombrosamente útil
a través de la historia.

Veamos algo de esa historia juntos.

Alrededor del año 212 a.C., Arquímedes
fue asesinado por un soldado romano.

Sus últimas palabras fueron,
"No molesten a mis círculos".

Quiso que pusieran en su tumba
sus descubrimientos favoritos.

Esto se ve aquí.

Dice, básicamente, que
la superficie de la esfera

es igual al área de superficie
del cilindro abierto más chico

que puede contener esa esfera.

Alrededor de 1620,
Johannes Kepler descubrió

lo que entendió como una armonía
de la movilidad planetaria.

Isaac Newton después
avanzó sobre eso.

Acá se ve la célebre tercera
ley de Kepler del movimiento planetario.

De1600 a 1700, Christiaan Huygens,
Galileo Galilei e Isaac Newton

fueron pioneros en
el estudio del péndulo,

visto acá como una fórmula T
para el período del péndulo,

que nos dice cuanto tiempo tarda
en oscilar hacia adelante y atrás.

El gran matemático del
siglo XVIII, Leonhard Euler

es el responsable de
descubrir esta fórmula.

e a la i es igual
al coseno de z más el seno de z.

Esta fórmula provee una conexión clave

entre el álgebra,
la geometría y la trigonometría.

En este caso,
cuando i es igual a pi,

produce una relación entre
las cinco más importantes constantes

de las matemáticas:

e a la i pi más uno es igual a cero.

Dicen que es la más hermosa
fórmula de la matemática.

Leonhard Euler, también reputado
ingeniero, y su fórmula para F

la fuerza de pandeo:
una columna, como se ve,

se doblará bajo la fuerza aplicada

como se muestra acá.

El gran matemático del siglo XIX
Carl Friedrich Gauss,

conocido por su trabajo
al que llamamos ahora

la distribución normal estándard.

La gran mayoría de
los datos está distribuida

con lo que se conoce como
la curva de campana de probabilidad.

Nuestro viaje por la historia
termina en el siglo XX

con Albert Einstein y
su teoría de la relatividad,

vista aquí en las ecuaciones
de campo de Einstein.

La dificultad para entenderlas
no se debe subestimar.

Ahora, eso fue muy rápido, lo sé,
es un montón de información.

No hay examen, ni parciales, relájense.

(Risas)

Se trata de hallar conexiones.

Veamos estas fórmulas
y todas tiene pi,

que nació de la geometría del círculo.

Vemos lo diferente que
son los fenómenos físicos,

pero comparten esta conexión común
del número geométrico del círculo.

Cuando ven una fórmula
y ven a pi en ella,

podrían decirse,

"Quizás algún día,

el círculo participe en
la derivación de esta fórmula.

Un círculo es una forma geométrica,
y la matemática es mucho más

como lo es también el mundo
y las conexiones que tiene.

Este perfil aerodinámico en 2D
como la sección de un ala.

Las líneas que ven son el aire
que fluye por arriba y abajo.

Aquí se muestra un gas comprimido
por un muro de contención

a un lado del recipiente.

Luego se agujera
el muro de contención,

el gas se expande y llena el recipiente

hasta alcanzar un tipo de equilibrio.

Aquí se ve una varilla metálica

con una fuente de calor,
en este caso una llama.

Cuando la llama toque el metal

el calor lo calentará y lo distribuirá

hasta alcanzar un equilibrio térmico.

No serviría tener toda esta ciencia

sin la aparición de la electricidad.

Estas son las líneas potenciales
en un campo eléctrico

que muestran los patrones
que los electrones tomarán

yendo de carga positiva a negativa.

Todos estos ejemplos difieren
con nuestros cinco sentidos

tan diferente que en ciencia
les damos un nombre diferente.

Eso es flujo potencial.

La ley de Fick de difusión
de concentración química.

ley Fourier de conducción del calor
y de Ohm de conductancia eléctrica.

Pero de un modo matemático
son muy similares

tan similares que en matemática,
les damos el mismo nombre:

Ecuación de Laplace.

No es triángulo u igual a 0
es un laplaciano de u igual a 0.

Lo que cambia en la matemática
es que u puede ser potencial

y puede ser concentración química,

u puede ser calentado y
muchas otras cualidades físicas

que esta ecuación se puede usar
para describir la naturaleza.

En matemáticas, no sólo tenemos
números y geometría,

también hay ecuaciones de las cosas
y cuando las comparamos

estas nos da otra forma
en que las cosas pueden conectarse.

La conexión entre todos estos
problemas científicos es el cálculo

y pueden ver que el cálculo es esencial

y fundamental en la ciencia
computacional moderna.

Hemos visto algo sobre números,
geometría y ecuaciones,

pongamos todo junto,

porque esto es matemática.

Veamos una aplicación matemática.

Vayamos a una construcción aquí.

Esto lo llamamos
la primera generación.

Y esto, la segunda generación.

Veamos el patrón, lo que ocurre
en el espacio negativo y positivo.

Y también la tercera generación.

Vean un patrón
que empieza a desarrollarse.

Ahora, en sus mentes,

decidan cómo debiera
ser la cuarta generación.

¿Esta es su expectativa?

Luego, la quinta generación.

Luego, la quinta generación.

Luego, acá vamos.

Luego punto suspensivos para siempre.

Eso es el fractal.

El patrón nunca termina,

nunca se completa.

Esta complejidad no tiene fin

ni partes chicas de su estructura.

Este es un famoso fractal,
un triángulo Sierpinski.

que nunca ha sido construido
en toda la historia humana.

Nunca ha sido completado
no puede serlo, nunca termina.

Cuando ven un fractal en su mente,
nunca lo ven en su totalidad,

sólo su sentido.

Su valoración comenzó en los 70s

luego del trabajo deBenoit Mandelbrot.

Parte del éxito atrasado de esta idea

fue que requirió de
las computadoras modernas

para poder computar y visualizar

esta importante
complejidad geométrica.

Mostrado aquí arriba
está el famoso fractal Mandelbrot.

Vean un zoom del pequeño
segmento del fractal,

magnificado para que lo puedan ver.

Vean la complejidad en esa región.

Si nos acercamos y ampliamos,
no importa cuanto,

la complejidad no disminuye.

No es algo sencillo de entender.

Esta geometría es tan complicada,

no es claro si hay equivalente
en la naturaleza.

Una vez que se sabe de
la existencia de este tipo de objeto,

se empieza a ver ejemplos de estos
en aplicaciones en todos lados.

Es una clase de fenómeno
Baader-Meinfhof,

donde la mente está lista
para el conocimiento.

Así cuando sales y lo aprendes,
lo ves en todos lados.

La gente comenzó a ver fractales
en la geometría de los paisajes

y costas, como este de
Sark en el Canal de la Mancha.

Se encontraron usos para los fractales
en compresión de imagen,

como también en los depósitos
de nevadas en cordilleras,

como en estos datos satelitales
y un fractal que hice a la derecha

para imitar el mismo tipo de estructura
de complejidad geométrica.

Los fractales aparecen en
la geometria de los copos de nieve

y en un gran número
de formas biológicas.

Hay notables usos de fractales
en la creatividad humana

como en la música y el arte,

cuando se supo de
la existencia de esta geometría

y se tuvo acceso a los códigos

y se pudo hacer esta geometría
con sus computadoras,

se comenzó a utilizar
de formas impredecibles.

Esta es una aplicación
estética de las matemáticas,

pero muchos estudian matemáticas
porque lo creen interesante

o estéticamente hermoso.

Para otros es una habilidad dura,
quieren ser ingenieros,

quieren predecir el tiempo,
quieren ir al espacio.

No hay una razón errónea
para aprenderla.

Las matemáticas son
un gran océano de ideas,

la fuente de la verdad.

Hoy, tomamos un vaso,

caminamos hasta la orilla,
y lo sumergimos en el agua.

En nuestro vaso, había un número, pi

una forma geométrica, el círculo,

y una ecuación, la ecuación Laplace.

Vean el alcance de las ideas
que podemos considerar.

Finalmente, en fractales,

apenas vemos el indicio de
la complejidad geométrica

que expande nuestra experiencia
sobre esta posibiidad.

Verán,

el poder de las matemáticas es
su utilidad en diferentes formas

y esa es la belleza
de aprender matemáticas.

Para mí, ese es el significado,
en las palabras de Galileo:

"si comenzara
mis estudios nuevamente,

seguiría el consejo de Platón

y comenzaría con matemáticas".

Gracias.

(Aplausos)