Algunas personas miran a un gato o una rana y piensan:
"Esto es hermoso, la obra maestra de la naturaleza,
quiero entenderlo más claramente".
Así lo hacen las ciencias de la vida, la biología por ejemplo.
Otras personas, toman un ejemplo
como un sol hirviente, como nuestra estrella
y se dicen así mismos,
"Eso es fascinante, quiero entenderlo mejor".
Esto es física.
Otros ven un aeroplano y quieren construirlo,
optimizar su rendimiento de vuelo,
construir máquinas para explorar el universo.
Esto es ingeniería.
Otro grupo de personas
que más que tratar de tomar ejemplos particulares,
estudian ideas y la veracidad de su origen.
Estos son los matemáticos.
(Risas)
Cuando observamos a la naturaleza para entenderla, eso es ciencia,
y por supuesto, el método científico.
Ahora, una forma de dividir las ciencias es esta:
tenemos las ciencias naturales, que son física y química
que aplican en las ciencias de la vida, al mundo y al espacio.
Tenemos las ciencias sociales
donde encontramos cosas como política y economía.
Están la ingeniería y tecnología,
donde están todos los campos de la ingeniería:
biomedicina, química, computación, eléctrica,
mecánica y nuclear.
Todas las aplicaciones de la tecnología:
biotecnología, comunicaciones, infraestructura y todo lo relacionado.
Por último, pero no menos importante, están las humanidades
donde pueden encontrar cosas como filosofía, arte y ḿúsica.
Ahora, la matemática aparece en todas esas disciplinas,
en algunas, como física e ingeniería, su rol es algo pronunciado y obvio,
en otras, como arte y música,
el rol de la matemática es algo más especializado
y normalmente secundario.
La matemática está en todos lados,
por eso es especialmente buena para hacer conexiones.
¿Cómo la matemática realiza conexiones?
Es una excelente pregunta,
es realmente una pregunta difícil de contestar.
Creo, por ahora, en nuestra era,
lo mejor que podemos hacer es intentar una posible respuesta
examinando las conexiones que las matemáticas pueden hacer
a través de los lentes de algunas ideas matemáticas.
La matemática es números,
y quizás el más famoso número de todos es el número pi.
Pi fue descubierto porque representa la propiedad geométrica del círculo:
es la relación de la circunferencia de cada círculo a su diámetro,
pero en ninguna parte un círculo es cualquier cosa.
Un círculo es un tipo de pura, idea matemática,
una construcción de la geometría que dice,
"Fijas el punto central,
luego tomas todas los puntos equidistantes desde el punto central".
En dos dimensiones, esta construcción produce un círculo,
en tres dimensiones, produce una esfera.
Pero en ningún lugar del universo hay algo como círculo o esfera.
Esta es una idea puramente matemática y el mundo que habitamos
es imperfecto, tosco, atomizado, movible y todo está un poco sesgado.
Sin embargo, el número pi
ha sido asombrosamente útil a través de la historia.
Veamos algo de esa historia juntos.
Alrededor del año 212 a.C., Arquímedes fue asesinado por un soldado romano.
Sus últimas palabras fueron, "No molesten a mis círculos".
Quiso que pusieran en su tumba sus descubrimientos favoritos.
Esto se ve aquí.
Dice, básicamente, que la superficie de la esfera
es igual al área de superficie del cilindro abierto más chico
que puede contener esa esfera.
Alrededor de 1620, Johannes Kepler descubrió
lo que entendió como una armonía de la movilidad planetaria.
Isaac Newton después avanzó sobre eso.
Acá se ve la célebre tercera ley de Kepler del movimiento planetario.
De1600 a 1700, Christiaan Huygens, Galileo Galilei e Isaac Newton
fueron pioneros en el estudio del péndulo,
visto acá como una fórmula T para el período del péndulo,
que nos dice cuanto tiempo tarda en oscilar hacia adelante y atrás.
El gran matemático del siglo XVIII, Leonhard Euler
es el responsable de descubrir esta fórmula.
e a la i es igual al coseno de z más el seno de z.
Esta fórmula provee una conexión clave
entre el álgebra, la geometría y la trigonometría.
En este caso, cuando i es igual a pi,
produce una relación entre las cinco más importantes constantes
de las matemáticas:
e a la i pi más uno es igual a cero.
Dicen que es la más hermosa fórmula de la matemática.
Leonhard Euler, también reputado ingeniero, y su fórmula para F
la fuerza de pandeo: una columna, como se ve,
se doblará bajo la fuerza aplicada
como se muestra acá.
El gran matemático del siglo XIX Carl Friedrich Gauss,
conocido por su trabajo al que llamamos ahora
la distribución normal estándard.
La gran mayoría de los datos está distribuida
con lo que se conoce como la curva de campana de probabilidad.
Nuestro viaje por la historia termina en el siglo XX
con Albert Einstein y su teoría de la relatividad,
vista aquí en las ecuaciones de campo de Einstein.
La dificultad para entenderlas no se debe subestimar.
Ahora, eso fue muy rápido, lo sé, es un montón de información.
No hay examen, ni parciales, relájense.
(Risas)
Se trata de hallar conexiones.
Veamos estas fórmulas y todas tiene pi,
que nació de la geometría del círculo.
Vemos lo diferente que son los fenómenos físicos,
pero comparten esta conexión común del número geométrico del círculo.
Cuando ven una fórmula y ven a pi en ella,
podrían decirse,
"Quizás algún día,
el círculo participe en la derivación de esta fórmula.
Un círculo es una forma geométrica, y la matemática es mucho más
como lo es también el mundo y las conexiones que tiene.
Este perfil aerodinámico en 2D como la sección de un ala.
Las líneas que ven son el aire que fluye por arriba y abajo.
Aquí se muestra un gas comprimido por un muro de contención
a un lado del recipiente.
Luego se agujera el muro de contención,
el gas se expande y llena el recipiente
hasta alcanzar un tipo de equilibrio.
Aquí se ve una varilla metálica
con una fuente de calor, en este caso una llama.
Cuando la llama toque el metal
el calor lo calentará y lo distribuirá
hasta alcanzar un equilibrio térmico.
No serviría tener toda esta ciencia
sin la aparición de la electricidad.
Estas son las líneas potenciales en un campo eléctrico
que muestran los patrones que los electrones tomarán
yendo de carga positiva a negativa.
Todos estos ejemplos difieren con nuestros cinco sentidos
tan diferente que en ciencia les damos un nombre diferente.
Eso es flujo potencial.
La ley de Fick de difusión de concentración química.
ley Fourier de conducción del calor y de Ohm de conductancia eléctrica.
Pero de un modo matemático son muy similares
tan similares que en matemática, les damos el mismo nombre:
Ecuación de Laplace.
No es triángulo u igual a 0 es un laplaciano de u igual a 0.
Lo que cambia en la matemática es que u puede ser potencial
y puede ser concentración química,
u puede ser calentado y muchas otras cualidades físicas
que esta ecuación se puede usar para describir la naturaleza.
En matemáticas, no sólo tenemos números y geometría,
también hay ecuaciones de las cosas y cuando las comparamos
estas nos da otra forma en que las cosas pueden conectarse.
La conexión entre todos estos problemas científicos es el cálculo
y pueden ver que el cálculo es esencial
y fundamental en la ciencia computacional moderna.
Hemos visto algo sobre números, geometría y ecuaciones,
pongamos todo junto,
porque esto es matemática.
Veamos una aplicación matemática.
Vayamos a una construcción aquí.
Esto lo llamamos la primera generación.
Y esto, la segunda generación.
Veamos el patrón, lo que ocurre en el espacio negativo y positivo.
Y también la tercera generación.
Vean un patrón que empieza a desarrollarse.
Ahora, en sus mentes,
decidan cómo debiera ser la cuarta generación.
¿Esta es su expectativa?
Luego, la quinta generación.
Luego, acá vamos.
Luego punto suspensivos para siempre.
Eso es el fractal.
El patrón nunca termina,
nunca se completa.
Esta complejidad no tiene fin
ni partes chicas de su estructura.
Este es un famoso fractal, un triángulo Sierpinski.
que nunca ha sido construido en toda la historia humana.
Nunca ha sido completado no puede serlo, nunca termina.
Cuando ven un fractal en su mente, nunca lo ven en su totalidad,
sólo su sentido.
Su valoración comenzó en los 70s
luego del trabajo deBenoit Mandelbrot.
Parte del éxito atrasado de esta idea
fue que requirió de las computadoras modernas
para poder computar y visualizar
esta importante complejidad geométrica.
Mostrado aquí arriba está el famoso fractal Mandelbrot.
Vean un zoom del pequeño segmento del fractal,
magnificado para que lo puedan ver.
Vean la complejidad en esa región.
Si nos acercamos y ampliamos, no importa cuanto,
la complejidad no disminuye.
No es algo sencillo de entender.
Esta geometría es tan complicada,
no es claro si hay equivalente en la naturaleza.
Una vez que se sabe de la existencia de este tipo de objeto,
se empieza a ver ejemplos de estos en aplicaciones en todos lados.
Es una clase de fenómeno Baader-Meinfhof,
donde la mente está lista para el conocimiento.
Así cuando sales y lo aprendes, lo ves en todos lados.
La gente comenzó a ver fractales en la geometría de los paisajes
y costas, como este de Sark en el Canal de la Mancha.
Se encontraron usos para los fractales en compresión de imagen,
como también en los depósitos de nevadas en cordilleras,
como en estos datos satelitales y un fractal que hice a la derecha
para imitar el mismo tipo de estructura de complejidad geométrica.
Los fractales aparecen en la geometria de los copos de nieve
y en un gran número de formas biológicas.
Hay notables usos de fractales en la creatividad humana
como en la música y el arte,
cuando se supo de la existencia de esta geometría
y se tuvo acceso a los códigos
y se pudo hacer esta geometría con sus computadoras,
se comenzó a utilizar de formas impredecibles.
Esta es una aplicación estética de las matemáticas,
pero muchos estudian matemáticas porque lo creen interesante
o estéticamente hermoso.
Para otros es una habilidad dura, quieren ser ingenieros,
quieren predecir el tiempo, quieren ir al espacio.
No hay una razón errónea para aprenderla.
Las matemáticas son un gran océano de ideas,
la fuente de la verdad.
Hoy, tomamos un vaso,
caminamos hasta la orilla, y lo sumergimos en el agua.
En nuestro vaso, había un número, pi
una forma geométrica, el círculo,
y una ecuación, la ecuación Laplace.
Vean el alcance de las ideas que podemos considerar.
Finalmente, en fractales,
apenas vemos el indicio de la complejidad geométrica
que expande nuestra experiencia sobre esta posibiidad.
Verán,
el poder de las matemáticas es su utilidad en diferentes formas
y esa es la belleza de aprender matemáticas.
Para mí, ese es el significado, en las palabras de Galileo:
"si comenzara mis estudios nuevamente,
seguiría el consejo de Platón
y comenzaría con matemáticas".
Gracias.
(Aplausos)