Return to Video

Cross Product and Torque

  • 0:00 - 0:02
    到目前爲止
  • 0:02 - 0:04
    我在物理上做過的所有力矩問題中
  • 0:04 - 0:07
    我們只是算出了力矩的大小
  • 0:07 - 0:10
    因爲這就是重要的
  • 0:10 - 0:13
    但是力矩實際上是個向量
  • 0:13 - 0:16
    它是有方向的
  • 0:16 - 0:21
    這是因爲力矩被定義成
  • 0:21 - 0:26
    到轉軸的徑向距離
  • 0:26 - 0:30
    和施加的力的叉乘
  • 0:30 - 0:31
    這些都是向量
  • 0:31 - 0:32
    所以我們看一下
  • 0:32 - 0:34
    我第一次是怎麽教你們向量的
  • 0:34 - 0:37
    然後給你們展示爲什麽這和
  • 0:37 - 0:39
    我們用叉乘計算的是同樣的
  • 0:39 - 0:41
    現在用叉乘
  • 0:41 - 0:43
    除了力矩的大小
  • 0:43 - 0:44
    我們還要算出方向
  • 0:44 - 0:46
    但是我們也會看到距離有點-
  • 0:46 - 0:49
    這只是力矩方向的定義
  • 0:49 - 0:51
    我不知道這實際上有多直觀
  • 0:51 - 0:53
    之前講力矩時我教了你們什麽？
  • 0:53 - 0:58
    假設有力臂
  • 0:58 - 1:04
    我們設這可以是時鍾的指針
  • 1:04 - 1:05
    或者它被釘到了牆上
  • 1:05 - 1:08
    所以它會繞著這個物體轉動
  • 1:08 - 1:21
    我們設這個到樞軸的距離是r
  • 1:21 - 1:25
    我們設這個距離是10
  • 1:25 - 1:27
    也就等於r
  • 1:27 - 1:31
    r的大小是10
  • 1:31 - 1:36
    所以到樞軸的距離是10 我在這裡施加一個力F
  • 1:36 - 1:39
    我要用黃色寫下F
  • 1:39 - 1:42
    我施加了一個力F
  • 1:42 - 1:45
    我把這畫成直的
  • 1:45 - 1:49
    我以某個角度施加力F
  • 1:49 - 1:53
    這是力F
  • 1:53 - 1:54
    也是個向量
  • 1:54 - 1:57
    它有大小和方向
  • 1:57 - 2:00
    我們設這是10米
  • 2:00 - 2:07
    假設我們在這裡施加了一個7牛頓的力
  • 2:07 - 2:09
    我讓這更有趣一點
  • 2:09 - 2:13
    假設我施加了一個根3牛頓的力
  • 2:13 - 2:15
    我只是編造的
  • 2:15 - 2:16
    因爲我認爲這個數能算出來
  • 2:16 - 2:18
    我們設這個力和杠杆臂
  • 2:18 - 2:21
    或者轉動臂
  • 2:21 - 2:26
    之間的夾角是 這一次我們用弧度
  • 2:26 - 2:27
    假設它是π/3
  • 2:27 - 2:31
    但是如果你們要形象化一點 這是60°
  • 2:31 - 2:35
    π/3等於θ
  • 2:35 - 2:39
    所以根據我們對於扭矩或力矩的了解
  • 2:39 - 2:45
    繞著這個分歧點的力矩是多少？
  • 2:45 - 2:48
    或者說這個力形成的力矩是多少？
  • 2:48 - 2:50
    當我們學習力矩或扭矩
  • 2:50 - 2:53
    我們發現 實際上這些問題最難的部分
  • 2:53 - 2:57
    是你們不能直接用力
  • 2:57 - 3:01
    乘以到轉軸的距離
  • 3:01 - 3:04
    你們實際上要乘以引起旋轉
  • 3:04 - 3:05
    的力的分量
  • 3:05 - 3:07
    或者垂直於轉動臂的力
  • 3:07 - 3:10
    的分量
  • 3:10 - 3:13
    或者垂直於力臂的分量
  • 3:13 - 3:14
    所以我們怎麽把這算出來？
  • 3:14 - 3:17
    垂直於這個力臂的
  • 3:17 - 3:19
    力的分量
  • 3:19 - 3:22
    我可以把這畫出來
  • 3:22 - 3:25
    我看一下 它看起來是這樣的
  • 3:25 - 3:30
    我可以把它畫到這裡
  • 3:30 - 3:32
    我也可以把這畫到這裡 對吧？
  • 3:32 - 3:35
    這應該是分量 或者這應該是
  • 3:35 - 3:38
    垂直於轉動臂的分量
  • 3:38 - 3:40
    平行分量應該是這個
  • 3:40 - 3:41
    但是我們不管它
  • 3:41 - 3:44
    它對轉動沒有影響
  • 3:44 - 3:46
    對轉動有用的唯一的力
  • 3:46 - 3:47
    就是力的這個分量
  • 3:47 - 3:53
    這個力的大小是多少？
  • 3:53 - 3:59
    向量F的垂直於這個力臂的分量
  • 3:59 - 4:02
    如果這個角 我在下面畫一下小的三角形
  • 4:02 - 4:10
    如果這是根3 這是π/3弧度或60°
  • 4:10 - 4:14
    這是個直角
  • 4:14 - 4:17
    這是π/3 我知道這看不清
  • 4:17 - 4:19
    這個長度是多少？
  • 4:19 - 4:21
    這是個30-60-90的三角形
  • 4:21 - 4:24
    我們知道這個長度
  • 4:24 - 4:25
    我的意思是 有很多考慮方法
  • 4:25 - 4:26
    既然我們知道了三角學知識
  • 4:26 - 4:29
    我們知道這是根3
  • 4:29 - 4:34
    乘以sinπ/3 或者sin60°
  • 4:34 - 4:36
    所以這就等於根3
  • 4:36 - 4:39
    sinπ/3或sin60°
  • 4:39 - 4:41
    就是根3除以2
  • 4:41 - 4:45
    所以根3乘以根3等於3
  • 4:45 - 4:48
    所以這就等於3/2
  • 4:48 - 4:54
    所以這個力向量垂直力臂
  • 4:54 - 4:57
    的分量的大小是
  • 4:57 - 5:01
    3/2牛頓 現在 我們能算出
  • 5:01 - 5:02
    力矩的大小
  • 5:02 - 5:06
    就是3/2牛頓乘以10米
  • 5:06 - 5:08
    所以我們知道力矩的大小
  • 5:08 - 5:10
    對現在用的符號要小心點
  • 5:10 - 5:12
    要來提醒你們
  • 5:12 - 5:14
    力矩是個向量 或者你們也可以把這看做
  • 5:14 - 5:17
    是僞向量
  • 5:17 - 5:21
    因爲這有點 不管怎樣 我們不研究這個
  • 5:21 - 5:24
    所以力矩向量的大小是多少？
  • 5:24 - 5:32
    就是3/2牛頓乘以這個距離 記住
  • 5:32 - 5:34
    我剛把向量畫到這裡 來給你們展示分量
  • 5:34 - 5:36
    我可以把向量移動到這裡 因爲這實際上
  • 5:36 - 5:38
    就是施加力的地方
  • 5:38 - 5:40
    你們可以在這裡畫一些向量
  • 5:40 - 5:41
    因爲向量可以到處移動
  • 5:41 - 5:43
    所以這也是3/2牛頓
  • 5:43 - 5:45
    或者這讓表達更清楚一點
  • 5:45 - 5:48
    所以就是3/2牛頓乘以
  • 5:48 - 5:54
    到轉軸的距離 就是乘以10米
  • 5:54 - 5:57
    這等於多少？
  • 5:57 - 6:01
    15牛頓・米
  • 6:01 - 6:05
    所以這個力矩的大小是15牛頓・米
  • 6:05 - 6:06
    但是我們現在做的
  • 6:06 - 6:08
    希望這看起來有一點熟悉
  • 6:08 - 6:10
    這就是當我們學習力矩和扭矩的時候學的
  • 6:10 - 6:12
    但是現在我們做的是
  • 6:12 - 6:14
    算出了力矩的大小
  • 6:14 - 6:16
    但是如果想要知道方向會怎樣
  • 6:16 - 6:20
    這就是叉乘要做的
  • 6:20 - 6:22
    叉乘的定義是什麽？
  • 6:22 - 6:29
    叉乘 r×F 這就等於r的大小
  • 6:29 - 6:36
    乘以F的大小乘以它們之間較小夾角
  • 6:36 - 6:41
    的正弦 乘以與它們垂直的向量
  • 6:41 - 6:43
    這實際上就是有用的地方
  • 6:43 - 6:44
    因爲所有這裡的這些
  • 6:44 - 6:45
    這些都是純量 對吧？
  • 6:45 - 6:47
    所以這些不用指定方向
  • 6:47 - 6:51
    方向由單位向量表示
  • 6:51 - 6:54
    單位向量就是長度是1
  • 6:54 - 6:55
    指向某個方向的向量
  • 6:55 - 6:58
    看 這個叉乘 這部分
  • 6:58 - 7:01
    這部分得出了大小
  • 7:01 - 7:05
    我們只要用學過的算出力矩的方法來做
  • 7:05 - 7:09
    力向量的大小乘以sinθ
  • 7:09 - 7:11
    這就得出了垂直於力臂的
  • 7:11 - 7:13
    力向量的分量
  • 7:13 - 7:16
    我們只要用這乘以r的大小
  • 7:16 - 7:21
    就得到力矩向量的大小 就是15
  • 7:21 - 7:24
    我們現在可以把牛頓・米略去
  • 7:24 - 7:28
    15 它的方向就是這個向量
  • 7:28 - 7:29
    n向量的方向
  • 7:29 - 7:30
    我們可以把它叫做法向向量
  • 7:30 - 7:32
    對於這個向量 我們知道什麽？
  • 7:32 - 7:36
    垂直於r 這是r 對吧
  • 7:36 - 7:38
    垂直於F
  • 7:38 - 7:39
    唯一的
  • 7:39 - 7:42
    可以形象表示三維世界
  • 7:42 - 7:45
    一個向量垂直於這兩個
  • 7:45 - 7:49
    這個垂直紙面向裏或向外 對吧？
  • 7:49 - 7:52
    因爲這兩個向量在
  • 7:52 - 7:54
    屏幕所在平面內
  • 7:54 - 7:58
    所以如果我是垂直於屏幕的向量
  • 7:58 - 8:00
    不管你們怎麽看
  • 8:00 - 8:03
    它就垂直於這兩個向量
  • 8:03 - 8:04
    如果這個向量垂直紙面
  • 8:04 - 8:07
    向裏或向外 怎麽算出來？
  • 8:07 - 8:10
    我們要用右手定則 對吧？
  • 8:10 - 8:14
    右手定則中 我們用 r用食指表示
  • 8:14 - 8:16
    F用中指
  • 8:16 - 8:20
    大拇指的方向就告訴了我們
  • 8:20 - 8:25
    我們是否- 叉乘的方向
  • 8:25 - 8:26
    所以我們把這畫出來
  • 8:26 - 8:31
    我看一下能不能畫好
  • 8:31 - 8:40
    所以如果這是食指
  • 8:40 - 8:47
    你們可以想象 你們的手放在屏幕上
  • 8:47 - 8:51
    所以食指代表r
  • 8:51 - 8:52
    這是我的右手
  • 8:52 - 8:53
    記住 這只對右手適用
  • 8:53 - 8:56
    如果用左手 就得出相反的方向
  • 8:56 - 9:01
    然後中指就指著
  • 9:01 - 9:02
    F的方向
  • 9:02 - 9:06
    然後剩下的手指
  • 9:06 - 9:08
    我鼓勵你們把這畫出來
  • 9:08 - 9:09
    所以如果我要畫出來
  • 9:09 - 9:11
    我把指甲畫出來 這樣你們就知道這是什麽
  • 9:11 - 9:14
    所以這是食指的指甲
  • 9:14 - 9:16
    這是中指的指甲
  • 9:16 - 9:18
    所以這種情況下 大拇指向著哪個方向
  • 9:18 - 9:20
    我的大拇指就是向外的
  • 9:20 - 9:23
    我希望可以 這是大拇指的指甲
  • 9:23 - 9:25
    希望這說得通 對吧？
  • 9:25 - 9:27
    這是我的手掌
  • 9:27 - 9:30
    這是另一邊 我可以繼續畫
  • 9:30 - 9:32
    但是希望 這說得通
  • 9:32 - 9:33
    這是食指
  • 9:33 - 9:34
    這是中指
  • 9:34 - 9:36
    我的大拇指垂直紙面向外
  • 9:36 - 9:39
    所以這就告訴我們力矩
  • 9:39 - 9:40
    實際上是指向紙外的
  • 9:40 - 9:43
    所以單位向量n的方向
  • 9:43 - 9:44
    就是向外的
  • 9:44 - 9:49
    我們可以用一個圈裏面點一個點表示
  • 9:49 - 9:52
    我幾乎到了時間限制了
  • 9:52 - 9:56
    所以這裡就是
  • 9:56 - 9:58
    當施加力矩時的叉乘
  • 9:58 - 9:59
    下個影片再見
Title:
Cross Product and Torque
Description:

The cross product and the direction of torque.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:00
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.