1
00:00:00,000 --> 00:00:02,360
到目前爲止

2
00:00:02,360 --> 00:00:04,000
我在物理上做過的所有力矩問題中

3
00:00:04,000 --> 00:00:07,490
我們只是算出了力矩的大小

4
00:00:07,490 --> 00:00:09,600
因爲這就是重要的

5
00:00:09,600 --> 00:00:12,760
但是力矩實際上是個向量

6
00:00:12,760 --> 00:00:15,510
它是有方向的

7
00:00:15,510 --> 00:00:21,010
這是因爲力矩被定義成

8
00:00:21,010 --> 00:00:25,610
到轉軸的徑向距離

9
00:00:25,610 --> 00:00:29,680
和施加的力的叉乘

10
00:00:29,680 --> 00:00:30,790
這些都是向量

11
00:00:30,790 --> 00:00:31,930
所以我們看一下

12
00:00:31,930 --> 00:00:33,960
我第一次是怎麽教你們向量的

13
00:00:33,960 --> 00:00:37,290
然後給你們展示爲什麽這和

14
00:00:37,290 --> 00:00:39,080
我們用叉乘計算的是同樣的

15
00:00:39,080 --> 00:00:40,860
現在用叉乘

16
00:00:40,860 --> 00:00:42,810
除了力矩的大小

17
00:00:42,810 --> 00:00:43,730
我們還要算出方向

18
00:00:43,730 --> 00:00:45,800
但是我們也會看到距離有點-

19
00:00:45,800 --> 00:00:49,000
這只是力矩方向的定義

20
00:00:49,000 --> 00:00:51,410
我不知道這實際上有多直觀

21
00:00:51,410 --> 00:00:53,180
之前講力矩時我教了你們什麽？

22
00:00:53,180 --> 00:00:58,380
假設有力臂

23
00:00:58,380 --> 00:01:03,660
我們設這可以是時鍾的指針

24
00:01:03,660 --> 00:01:05,270
或者它被釘到了牆上

25
00:01:05,270 --> 00:01:08,100
所以它會繞著這個物體轉動

26
00:01:08,100 --> 00:01:21,000
我們設這個到樞軸的距離是r

27
00:01:21,000 --> 00:01:25,030
我們設這個距離是10

28
00:01:25,030 --> 00:01:27,150
也就等於r

29
00:01:27,150 --> 00:01:30,680
r的大小是10

30
00:01:30,680 --> 00:01:35,540
所以到樞軸的距離是10 我在這裡施加一個力F

31
00:01:35,540 --> 00:01:39,020
我要用黃色寫下F

32
00:01:39,020 --> 00:01:42,030
我施加了一個力F

33
00:01:42,030 --> 00:01:45,010
我把這畫成直的

34
00:01:45,010 --> 00:01:48,840
我以某個角度施加力F

35
00:01:48,840 --> 00:01:52,690
這是力F

36
00:01:52,690 --> 00:01:53,620
也是個向量

37
00:01:53,620 --> 00:01:57,060
它有大小和方向

38
00:01:57,060 --> 00:02:00,080
我們設這是10米

39
00:02:00,080 --> 00:02:07,010
假設我們在這裡施加了一個7牛頓的力

40
00:02:07,010 --> 00:02:08,790
我讓這更有趣一點

41
00:02:08,790 --> 00:02:13,010
假設我施加了一個根3牛頓的力

42
00:02:13,010 --> 00:02:14,510
我只是編造的

43
00:02:14,510 --> 00:02:16,040
因爲我認爲這個數能算出來

44
00:02:16,040 --> 00:02:18,070
我們設這個力和杠杆臂

45
00:02:18,070 --> 00:02:20,590
或者轉動臂

46
00:02:20,590 --> 00:02:25,530
之間的夾角是 這一次我們用弧度

47
00:02:25,530 --> 00:02:27,130
假設它是π/3

48
00:02:27,130 --> 00:02:30,520
但是如果你們要形象化一點 這是60°

49
00:02:30,520 --> 00:02:35,090
π/3等於θ

50
00:02:35,090 --> 00:02:39,080
所以根據我們對於扭矩或力矩的了解

51
00:02:39,080 --> 00:02:45,010
繞著這個分歧點的力矩是多少？

52
00:02:45,010 --> 00:02:47,590
或者說這個力形成的力矩是多少？

53
00:02:47,590 --> 00:02:49,890
當我們學習力矩或扭矩

54
00:02:49,890 --> 00:02:53,260
我們發現 實際上這些問題最難的部分

55
00:02:53,260 --> 00:02:57,250
是你們不能直接用力

56
00:02:57,250 --> 00:03:00,920
乘以到轉軸的距離

57
00:03:00,920 --> 00:03:03,550
你們實際上要乘以引起旋轉

58
00:03:03,550 --> 00:03:05,040
的力的分量

59
00:03:05,040 --> 00:03:06,650
或者垂直於轉動臂的力

60
00:03:06,650 --> 00:03:10,460
的分量

61
00:03:10,460 --> 00:03:13,000
或者垂直於力臂的分量

62
00:03:13,000 --> 00:03:14,020
所以我們怎麽把這算出來？

63
00:03:14,020 --> 00:03:17,490
垂直於這個力臂的

64
00:03:17,490 --> 00:03:19,380
力的分量

65
00:03:19,380 --> 00:03:21,890
我可以把這畫出來

66
00:03:21,890 --> 00:03:25,310
我看一下 它看起來是這樣的

67
00:03:25,310 --> 00:03:30,100
我可以把它畫到這裡

68
00:03:30,100 --> 00:03:32,010
我也可以把這畫到這裡 對吧？

69
00:03:32,010 --> 00:03:34,520
這應該是分量 或者這應該是

70
00:03:34,520 --> 00:03:38,310
垂直於轉動臂的分量

71
00:03:38,310 --> 00:03:40,160
平行分量應該是這個

72
00:03:40,160 --> 00:03:41,360
但是我們不管它

73
00:03:41,360 --> 00:03:43,690
它對轉動沒有影響

74
00:03:43,690 --> 00:03:45,530
對轉動有用的唯一的力

75
00:03:45,530 --> 00:03:46,940
就是力的這個分量

76
00:03:46,940 --> 00:03:53,480
這個力的大小是多少？

77
00:03:53,480 --> 00:03:59,010
向量F的垂直於這個力臂的分量

78
00:03:59,010 --> 00:04:01,930
如果這個角 我在下面畫一下小的三角形

79
00:04:01,930 --> 00:04:09,940
如果這是根3 這是π/3弧度或60°

80
00:04:09,940 --> 00:04:13,900
這是個直角

81
00:04:13,900 --> 00:04:17,020
這是π/3 我知道這看不清

82
00:04:17,020 --> 00:04:18,590
這個長度是多少？

83
00:04:18,590 --> 00:04:20,800
這是個30-60-90的三角形

84
00:04:20,800 --> 00:04:23,550
我們知道這個長度

85
00:04:23,550 --> 00:04:25,450
我的意思是 有很多考慮方法

86
00:04:25,450 --> 00:04:26,440
既然我們知道了三角學知識

87
00:04:26,440 --> 00:04:29,490
我們知道這是根3

88
00:04:29,490 --> 00:04:34,280
乘以sinπ/3 或者sin60°

89
00:04:34,280 --> 00:04:36,190
所以這就等於根3

90
00:04:36,190 --> 00:04:38,650
sinπ/3或sin60°

91
00:04:38,650 --> 00:04:40,850
就是根3除以2

92
00:04:40,850 --> 00:04:45,000
所以根3乘以根3等於3

93
00:04:45,000 --> 00:04:48,010
所以這就等於3/2

94
00:04:48,010 --> 00:04:54,010
所以這個力向量垂直力臂

95
00:04:54,010 --> 00:04:57,210
的分量的大小是

96
00:04:57,210 --> 00:05:00,820
3/2牛頓 現在 我們能算出

97
00:05:00,820 --> 00:05:02,440
力矩的大小

98
00:05:02,440 --> 00:05:05,540
就是3/2牛頓乘以10米

99
00:05:05,540 --> 00:05:08,060
所以我們知道力矩的大小

100
00:05:08,060 --> 00:05:10,090
對現在用的符號要小心點

101
00:05:10,090 --> 00:05:11,930
要來提醒你們

102
00:05:11,930 --> 00:05:14,420
力矩是個向量 或者你們也可以把這看做

103
00:05:14,420 --> 00:05:16,720
是僞向量

104
00:05:16,720 --> 00:05:21,030
因爲這有點 不管怎樣 我們不研究這個

105
00:05:21,030 --> 00:05:24,100
所以力矩向量的大小是多少？

106
00:05:24,100 --> 00:05:31,870
就是3/2牛頓乘以這個距離 記住

107
00:05:31,870 --> 00:05:34,480
我剛把向量畫到這裡 來給你們展示分量

108
00:05:34,480 --> 00:05:36,470
我可以把向量移動到這裡 因爲這實際上

109
00:05:36,470 --> 00:05:37,540
就是施加力的地方

110
00:05:37,540 --> 00:05:39,640
你們可以在這裡畫一些向量

111
00:05:39,640 --> 00:05:41,100
因爲向量可以到處移動

112
00:05:41,100 --> 00:05:43,470
所以這也是3/2牛頓

113
00:05:43,470 --> 00:05:44,950
或者這讓表達更清楚一點

114
00:05:44,950 --> 00:05:48,340
所以就是3/2牛頓乘以

115
00:05:48,340 --> 00:05:54,290
到轉軸的距離 就是乘以10米

116
00:05:54,290 --> 00:05:56,750
這等於多少？

117
00:05:56,750 --> 00:06:00,530
15牛頓・米

118
00:06:00,530 --> 00:06:04,570
所以這個力矩的大小是15牛頓・米

119
00:06:04,570 --> 00:06:06,040
但是我們現在做的

120
00:06:06,040 --> 00:06:08,090
希望這看起來有一點熟悉

121
00:06:08,090 --> 00:06:10,500
這就是當我們學習力矩和扭矩的時候學的

122
00:06:10,500 --> 00:06:11,760
但是現在我們做的是

123
00:06:11,760 --> 00:06:14,240
算出了力矩的大小

124
00:06:14,240 --> 00:06:16,350
但是如果想要知道方向會怎樣

125
00:06:16,350 --> 00:06:20,030
這就是叉乘要做的

126
00:06:20,030 --> 00:06:22,000
叉乘的定義是什麽？

127
00:06:22,000 --> 00:06:29,060
叉乘 r×F 這就等於r的大小

128
00:06:29,060 --> 00:06:36,180
乘以F的大小乘以它們之間較小夾角

129
00:06:36,180 --> 00:06:41,030
的正弦 乘以與它們垂直的向量

130
00:06:41,030 --> 00:06:42,560
這實際上就是有用的地方

131
00:06:42,560 --> 00:06:43,700
因爲所有這裡的這些

132
00:06:43,700 --> 00:06:45,470
這些都是純量 對吧？

133
00:06:45,470 --> 00:06:47,470
所以這些不用指定方向

134
00:06:47,470 --> 00:06:51,210
方向由單位向量表示

135
00:06:51,210 --> 00:06:53,500
單位向量就是長度是1

136
00:06:53,500 --> 00:06:55,070
指向某個方向的向量

137
00:06:55,070 --> 00:06:58,280
看 這個叉乘 這部分

138
00:06:58,280 --> 00:07:00,940
這部分得出了大小

139
00:07:00,940 --> 00:07:05,010
我們只要用學過的算出力矩的方法來做

140
00:07:05,010 --> 00:07:08,550
力向量的大小乘以sinθ

141
00:07:08,550 --> 00:07:11,050
這就得出了垂直於力臂的

142
00:07:11,050 --> 00:07:13,010
力向量的分量

143
00:07:13,010 --> 00:07:15,540
我們只要用這乘以r的大小

144
00:07:15,540 --> 00:07:21,070
就得到力矩向量的大小 就是15

145
00:07:21,070 --> 00:07:23,720
我們現在可以把牛頓・米略去

146
00:07:23,720 --> 00:07:27,760
15 它的方向就是這個向量

147
00:07:27,760 --> 00:07:28,840
n向量的方向

148
00:07:28,840 --> 00:07:30,330
我們可以把它叫做法向向量

149
00:07:30,330 --> 00:07:31,710
對於這個向量 我們知道什麽？

150
00:07:31,710 --> 00:07:36,060
垂直於r 這是r 對吧

151
00:07:36,060 --> 00:07:38,010
垂直於F

152
00:07:38,010 --> 00:07:39,430
唯一的

153
00:07:39,430 --> 00:07:42,350
可以形象表示三維世界

154
00:07:42,350 --> 00:07:44,640
一個向量垂直於這兩個

155
00:07:44,640 --> 00:07:49,050
這個垂直紙面向裏或向外 對吧？

156
00:07:49,050 --> 00:07:51,610
因爲這兩個向量在

157
00:07:51,610 --> 00:07:53,500
屏幕所在平面內

158
00:07:53,500 --> 00:07:58,470
所以如果我是垂直於屏幕的向量

159
00:07:58,470 --> 00:07:59,770
不管你們怎麽看

160
00:07:59,770 --> 00:08:03,000
它就垂直於這兩個向量

161
00:08:03,000 --> 00:08:04,080
如果這個向量垂直紙面

162
00:08:04,080 --> 00:08:07,360
向裏或向外 怎麽算出來？

163
00:08:07,360 --> 00:08:10,410
我們要用右手定則 對吧？

164
00:08:10,410 --> 00:08:14,030
右手定則中 我們用 r用食指表示

165
00:08:14,030 --> 00:08:15,780
F用中指

166
00:08:15,780 --> 00:08:19,710
大拇指的方向就告訴了我們

167
00:08:19,710 --> 00:08:25,300
我們是否- 叉乘的方向

168
00:08:25,300 --> 00:08:26,490
所以我們把這畫出來

169
00:08:26,490 --> 00:08:31,030
我看一下能不能畫好

170
00:08:31,030 --> 00:08:39,950
所以如果這是食指

171
00:08:39,950 --> 00:08:47,010
你們可以想象 你們的手放在屏幕上

172
00:08:47,010 --> 00:08:50,770
所以食指代表r

173
00:08:50,770 --> 00:08:51,740
這是我的右手

174
00:08:51,740 --> 00:08:52,860
記住 這只對右手適用

175
00:08:52,860 --> 00:08:56,040
如果用左手 就得出相反的方向

176
00:08:56,040 --> 00:09:00,810
然後中指就指著

177
00:09:00,810 --> 00:09:02,300
F的方向

178
00:09:02,300 --> 00:09:06,040
然後剩下的手指

179
00:09:06,040 --> 00:09:07,770
我鼓勵你們把這畫出來

180
00:09:07,770 --> 00:09:09,240
所以如果我要畫出來

181
00:09:09,240 --> 00:09:11,020
我把指甲畫出來 這樣你們就知道這是什麽

182
00:09:11,020 --> 00:09:13,740
所以這是食指的指甲

183
00:09:13,740 --> 00:09:15,630
這是中指的指甲

184
00:09:15,630 --> 00:09:18,160
所以這種情況下 大拇指向著哪個方向

185
00:09:18,160 --> 00:09:19,580
我的大拇指就是向外的

186
00:09:19,580 --> 00:09:23,030
我希望可以 這是大拇指的指甲

187
00:09:23,030 --> 00:09:25,030
希望這說得通 對吧？

188
00:09:25,030 --> 00:09:27,090
這是我的手掌

189
00:09:27,090 --> 00:09:29,580
這是另一邊 我可以繼續畫

190
00:09:29,580 --> 00:09:32,240
但是希望 這說得通

191
00:09:32,240 --> 00:09:33,430
這是食指

192
00:09:33,430 --> 00:09:34,000
這是中指

193
00:09:34,000 --> 00:09:36,080
我的大拇指垂直紙面向外

194
00:09:36,080 --> 00:09:38,620
所以這就告訴我們力矩

195
00:09:38,620 --> 00:09:40,340
實際上是指向紙外的

196
00:09:40,340 --> 00:09:43,160
所以單位向量n的方向

197
00:09:43,160 --> 00:09:44,160
就是向外的

198
00:09:44,160 --> 00:09:49,000
我們可以用一個圈裏面點一個點表示

199
00:09:49,000 --> 00:09:51,520
我幾乎到了時間限制了

200
00:09:51,520 --> 00:09:56,000
所以這裡就是

201
00:09:56,000 --> 00:09:57,730
當施加力矩時的叉乘

202
00:09:57,730 --> 00:09:59,080
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