到目前爲止
我在物理上做過的所有力矩問題中
我們只是算出了力矩的大小
因爲這就是重要的
但是力矩實際上是個向量
它是有方向的
這是因爲力矩被定義成
到轉軸的徑向距離
和施加的力的叉乘
這些都是向量
所以我們看一下
我第一次是怎麽教你們向量的
然後給你們展示爲什麽這和
我們用叉乘計算的是同樣的
現在用叉乘
除了力矩的大小
我們還要算出方向
但是我們也會看到距離有點-
這只是力矩方向的定義
我不知道這實際上有多直觀
之前講力矩時我教了你們什麽？
假設有力臂
我們設這可以是時鍾的指針
或者它被釘到了牆上
所以它會繞著這個物體轉動
我們設這個到樞軸的距離是r
我們設這個距離是10
也就等於r
r的大小是10
所以到樞軸的距離是10 我在這裡施加一個力F
我要用黃色寫下F
我施加了一個力F
我把這畫成直的
我以某個角度施加力F
這是力F
也是個向量
它有大小和方向
我們設這是10米
假設我們在這裡施加了一個7牛頓的力
我讓這更有趣一點
假設我施加了一個根3牛頓的力
我只是編造的
因爲我認爲這個數能算出來
我們設這個力和杠杆臂
或者轉動臂
之間的夾角是 這一次我們用弧度
假設它是π/3
但是如果你們要形象化一點 這是60°
π/3等於θ
所以根據我們對於扭矩或力矩的了解
繞著這個分歧點的力矩是多少？
或者說這個力形成的力矩是多少？
當我們學習力矩或扭矩
我們發現 實際上這些問題最難的部分
是你們不能直接用力
乘以到轉軸的距離
你們實際上要乘以引起旋轉
的力的分量
或者垂直於轉動臂的力
的分量
或者垂直於力臂的分量
所以我們怎麽把這算出來？
垂直於這個力臂的
力的分量
我可以把這畫出來
我看一下 它看起來是這樣的
我可以把它畫到這裡
我也可以把這畫到這裡 對吧？
這應該是分量 或者這應該是
垂直於轉動臂的分量
平行分量應該是這個
但是我們不管它
它對轉動沒有影響
對轉動有用的唯一的力
就是力的這個分量
這個力的大小是多少？
向量F的垂直於這個力臂的分量
如果這個角 我在下面畫一下小的三角形
如果這是根3 這是π/3弧度或60°
這是個直角
這是π/3 我知道這看不清
這個長度是多少？
這是個30-60-90的三角形
我們知道這個長度
我的意思是 有很多考慮方法
既然我們知道了三角學知識
我們知道這是根3
乘以sinπ/3 或者sin60°
所以這就等於根3
sinπ/3或sin60°
就是根3除以2
所以根3乘以根3等於3
所以這就等於3/2
所以這個力向量垂直力臂
的分量的大小是
3/2牛頓 現在 我們能算出
力矩的大小
就是3/2牛頓乘以10米
所以我們知道力矩的大小
對現在用的符號要小心點
要來提醒你們
力矩是個向量 或者你們也可以把這看做
是僞向量
因爲這有點 不管怎樣 我們不研究這個
所以力矩向量的大小是多少？
就是3/2牛頓乘以這個距離 記住
我剛把向量畫到這裡 來給你們展示分量
我可以把向量移動到這裡 因爲這實際上
就是施加力的地方
你們可以在這裡畫一些向量
因爲向量可以到處移動
所以這也是3/2牛頓
或者這讓表達更清楚一點
所以就是3/2牛頓乘以
到轉軸的距離 就是乘以10米
這等於多少？
15牛頓・米
所以這個力矩的大小是15牛頓・米
但是我們現在做的
希望這看起來有一點熟悉
這就是當我們學習力矩和扭矩的時候學的
但是現在我們做的是
算出了力矩的大小
但是如果想要知道方向會怎樣
這就是叉乘要做的
叉乘的定義是什麽？
叉乘 r×F 這就等於r的大小
乘以F的大小乘以它們之間較小夾角
的正弦 乘以與它們垂直的向量
這實際上就是有用的地方
因爲所有這裡的這些
這些都是純量 對吧？
所以這些不用指定方向
方向由單位向量表示
單位向量就是長度是1
指向某個方向的向量
看 這個叉乘 這部分
這部分得出了大小
我們只要用學過的算出力矩的方法來做
力向量的大小乘以sinθ
這就得出了垂直於力臂的
力向量的分量
我們只要用這乘以r的大小
就得到力矩向量的大小 就是15
我們現在可以把牛頓・米略去
15 它的方向就是這個向量
n向量的方向
我們可以把它叫做法向向量
對於這個向量 我們知道什麽？
垂直於r 這是r 對吧
垂直於F
唯一的
可以形象表示三維世界
一個向量垂直於這兩個
這個垂直紙面向裏或向外 對吧？
因爲這兩個向量在
屏幕所在平面內
所以如果我是垂直於屏幕的向量
不管你們怎麽看
它就垂直於這兩個向量
如果這個向量垂直紙面
向裏或向外 怎麽算出來？
我們要用右手定則 對吧？
右手定則中 我們用 r用食指表示
F用中指
大拇指的方向就告訴了我們
我們是否- 叉乘的方向
所以我們把這畫出來
我看一下能不能畫好
所以如果這是食指
你們可以想象 你們的手放在屏幕上
所以食指代表r
這是我的右手
記住 這只對右手適用
如果用左手 就得出相反的方向
然後中指就指著
F的方向
然後剩下的手指
我鼓勵你們把這畫出來
所以如果我要畫出來
我把指甲畫出來 這樣你們就知道這是什麽
所以這是食指的指甲
這是中指的指甲
所以這種情況下 大拇指向著哪個方向
我的大拇指就是向外的
我希望可以 這是大拇指的指甲
希望這說得通 對吧？
這是我的手掌
這是另一邊 我可以繼續畫
但是希望 這說得通
這是食指
這是中指
我的大拇指垂直紙面向外
所以這就告訴我們力矩
實際上是指向紙外的
所以單位向量n的方向
就是向外的
我們可以用一個圈裏面點一個點表示
我幾乎到了時間限制了
所以這裡就是
當施加力矩時的叉乘
下個影片再見