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अभी तक हमने उन संख्याखओं को जोड़ने का अभ्याकस किया है जिन्हें हम छोटी संख्या एँ समझते हैं।
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उदाहरण के लिए, यदि 3+2 जोड़ना पड़े तो,
हम कल्पना कर सकते हैं
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कि मेरे पास तीन नीम्बू हैं – 1,2,3-
और यदि मुझे इन तीन नीम्बुओं में मान लो
दो नीम्बू और जोड़ने हैं तो
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अब, मेरे पास कितने – कुल कितने नीम्बू हो गए?
यह तो हमने पिछले वीडिओ में ही सीखा है।
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इस हिसाब से हमारे पास 1, 2, 3, 4, 5 नीम्बू हैं। इस तरह 3 + 2 = 5
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हमने यह भी देखा कि यदि हम 2+3 जोड़ें तो भी जवाब वही आता है।
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यह समझना आसान है
क्योंकि यह वही बात है जिससे हमने शुरुआत की थी –
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यानी आपके पास 2 नीम्बू हैं और आप इनमें 3 नीम्बू और जोड़ते हैं। तो भी आपके पास 5 नीम्बू ही होते हैं। 1, 2, 3, 4, 5.
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क्रम कोई भी हो, हर हाल में आपके पास पाँच नीम्बू ही होंगे। जोड़ने के बारे में इस ढंग से सोचना गिनती करके जोड़ने जैसा ही है। पिछले वीडिओ में हमने एक और तरीका यानी - संख्या रेखा का तरीका भी देखा था। असल में बुनियादी रूप से दोनों एक ही हैं।
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इसलिए हम यहाँ भी एक रेखा खींच सकते हैं। संख्याह रेखा एक ऐसी रेखा है जिस पर, सभी संख्या एँ क्रम में लिखी होती हैं। इस पर सभी संख्या एँ होती हैं। आप इस पर उतनी दूर तक जा सकते हैं जितनी आपको जरूरत है। आप लाख, दस लाख, करोड़, अरब और इससे आगे भी जा सकते हैं। और असल में तो इतना ही पीछे की ओर भी जा सकते हैं।लेकिन यहाँ हम ऐसा नहीं रेंगे। क्योंहकि इतनी दूर तक जाने का न तो समय है और न ही जगह। हम 0 से शुरुआत करेंगे, आगे चलकर किसी वीडिओ में आप 0 से छोटी संख्यातओं के बारे में भी जानेंगे। हो सकता है आज बाद में, आप इस बारे में विचार करें कि इसका क्या मतलब हो सकता है।
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लेकिन आइए हम 0 से शुरुआत करें। और, 0 का मतलब है कुछ नहीं। लेकिन आइए हम 0 से शुरुआत करें। और, 0 का मतलब है कुछ नहीं।
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इसलिए : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…आइए हम काफी दूर तक जाते हैं - 12 ...इस तरह मैं संख्याद रेखा का इस्ते माल कर सकता हूँ ... 13,14.
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मैं इसे जारी भी रख सकता हूँ। लेकिन इस अभ्याखस के लिए 14 काफी होगा। चलिए अब इन प्रश्नों को हल करने के लिए हम संख्याे रेखा का इस्ते्माल करते हैं।
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तोआप 3+2 को ‘3’ पर शुरू होते देख सकते हैं - और फिर इसमें 2 जोड़ते हैं। या कहें कि 3 से दो आगे बढ़ते हैं। और इस आगे बढ़ने का- या संख्यां रेखा पर जोड़ने का मतलब है - बस दाहिनी ओर दो आगे बढ़ना - यानी दो अंक आगे जाना ।
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मैं इसे यहाँ नारंगी रंग से लिखता हूँ। तो चलिए हम 2 आगे बढ़ते हैं या 2 की छलाँग मारते हैं, और पाँच तक पहुँचते हैं, पिछली बार भी हम ठीक यहीं पहुँचे थे।
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यदि हमारे पास तीन नीम्बू हैं और इसमें हम एक जोड़ें, तो हमारे पास चार नीम्बू हो जाते हैं। अब हम एक और नीम्बू जोड़ें, तो हमारे पास पाँच नींबू हो हो जाएँगे,
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और, जब आप यह तरीका देखते हैं - जिसमें हम इसका क्रम बदलते हैं - हम 2 से शुरू करते हैं
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और 3 जोड़ते हैं। यहाँ वे नीम्बू या संतरे या कुछ और भी हो सकते हैं। तो हम इसमें तीन जोड़ने वाले हैं।
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1, 2, 3
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और जैसा कि हमने सोचा था, हमें वही परिणाम मिला। हमें फिर से 5 उत्तर मिलता है।
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और जैसा कि हमने सोचा था, हमें वही परिणाम मिला। हमें फिर से 5 उत्तर मिलता है। अब मैं यहाँ जो करना चाहता हूँ वह थोड़े मुश्किल सवाल हल करने को लेकर है। यहाँ मैं आपको थोड़ी बड़ी संख्यानओं का अभ्याैस करवाना चाहता हूँ। और इसके बाद अगले वीडिओ में हम थोड़ा अधिक गहराई में जाएँगे और जानेंगे कि संख्यांएँ दरअसल होती क्या हैं। लेकिन पहले हम कुछ अभ्या स कर लें ताकि समझ सकें कि “बड़ी संख्यायओं वाले जोड़ के सवालों को आप कैसे हल करते हैं?” पहले मुझे इसे जामुनी रंग में लिखने दें।
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मान लो मैं 9+3 जोड़ना चाहता हूँ।
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इसे हम दो तरीकों से दिखा सकते हैं। हम फिर से गोले या सितारे बना सकते हैं। मैं सितारे बना रहा हूँ ।
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1, 2, 3, 4 – मेरे सितारे टिमटिमा रहे हैं, -- 5, 6, 7, 8, 9 ये 9 सितारे हैं
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और मैं इनमें 3 सितारे जोड़ता हूँ। तो मैं जोड़ता हूँ 1,2,3 सितारे।
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इसके बाद आपको इन सितारों को गिनना पड़े तो, आप कहेंगे - मुझे इसे किसी अलग रंग में लिखने दें। -- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 अब मेरे पास 12 सितारे हैं।
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इस तरह आप कहेंगे कि 9 + 3 = 12 यह 12 के बराबर है।
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आप यदि संख्याा रेखा को देखें तो आप 9 से शुरू करते हैं। यानी आपके पास 9 सितारे हैं
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और आप इनमें 1, 2, 3 सितारे और जोड़ते हैं। तो आपके पास 12 सितारे हो जाते हैं, जो कि वही जवाब है जो हम पहले हासिल कर चुके हैं।
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इस तरह आप बड़ी संख्यादएँ जोड़ने में भी वही प्रक्रिया अपना सकते हैं। मैं आपका ध्यापन इस अन्तर की ओर दिलाना चाहता हूँ कि यहाँ हमारा उत्तर दो अंकों में है। आगे कभी हम अंकों पर ज्यादा चर्चा करेंगे। लेकिन कुल मिलाकर कोई भी अंक एक संख्याम ही होती है। है न? इसमें एक ‘1’ और एक ‘2’ है। मेरा ख्या ल है कि आप ‘12’ की संख्या् से अच्छी तरह वाकिफ हैं। परन्तु अब मैं जो करना चाहता हूँ – क्या होता है जब आप और अधिक जोड़ना शुरू करते हैं? - जब आप ऐसी ही दो अंकों की संख्यायएँ जोड़ने लगते हैं? उदाहरण के लिए, यदि हमें
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27 में 15 जोड़ने हैं। 27+15
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अब, यदि आपके पास समय है और आपको इसकी परवाह नहीं कि लोग आपके बारे में क्याक सोचते हैं तो आप 27 गोले बना सकते हैं, और इसके बाद 15 गोले और बना सकते हैं और फिर इन सारे गोलों की कुल संख्याा की गिनती कर सकते हैं। इस तरह आपको जवाब मिल जाएगा। या फिर आप एक संख्याल रेखा खींच सकते हैं। इतनी लम्बीए रेखा खींच सकते हैं जो इतनी दूर तक जाए कि 27+15 क्या होता है, बता सके। इस तरह यह वास्तखव में एक बड़ी, बहुत बड़ी संख्या होने वाली है, लेकिन ऐसे तो आप संख्याे रेखा पर हमेशा चलते ही रहेंगे। तो मैं आपको इस तरह के सवाल हल करने का एक ऐसा तरीका बताने जा रहा हूँ जिसमें आपको बस अपना ‘जोड़’ याद रखना होता है, और अगर आप इसे याद नहीं रख पाते हैं तो कम से कम अपेक्षाकृत छोटी संख्याीओं के साथ ऐसा ही कुछ करने में सक्षम हो सकें। छोटी संख्या्ओं के सवाल हल करने के बाद आप इस तरह की बड़ी संख्यासओं वाले सवाल हल कर सकते हैं। तो आपको जो करना है, वह मजेदार है। जैसे-जैसे आप जोड़ते जाएँगे तो मैं आपको बताता चलूँगा कि इसका क्या मतलब है। यहाँ आप हर अंक को देखें।
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हम इस स्थान को, सबसे दाहिनी ओर के स्थान को इकाई का स्थान कहते हैं। और, हम इसे इकाई का स्थान क्यों कहते हैं? क्योंकि 27 में 20 धन 7 इकाइयाँ हैं।
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यानी कि बीस धन सात। यानी कि बीस और सात इकाइयाँ।
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आप इसे बीस जमा सात के रूप में भी देख सकते हैं। और यह स्थान, दहाई का स्थान कहलाता है।
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अब, इसे दहाई का स्थान क्यों कहते हैं? मेरा मतलब वह स्थान जहाँ दो लिखा गया है। यह वह स्थान है जो दहाई का स्थान कहलाता है। इसलिए यहाँ दो रखने का मतलब दो दहाइयाँ रखना। संख्यात बीस का मतलब दो दहाइयाँ।
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यदि मेरे पास दस रुपए का नोट है और आप मुझे दस रुपए और देते हैं तो मेरे पास दस रुपए के दो नोट या बीस रुपए हो जाएँगे। तो यह हुआ दहाई के स्थामन का मतलब। मैं आपको उलझन में नहीं डालना चाहता, मैं तो बस आपको अभी यह दिखाना चाहता हूँ कि इस तरह के प्रश्नों को कैसे हल करें।
इन प्रश्नों् को हल करने का तरीका है कि आप केवल इकाई के स्थान के अंकों को देखें और पहले उन्हें जोड़ें। इस तरह आप कहेंगे, अच्छा तो मुझे फिलहाल इस पूरी इबारत पर ध्याान देने की जरूरत नहीं है। मुझे तो बस सात और पाँच का जोड़ करना है।
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अच्छा तो मैं भी सात और पाँच का जोड़ करने जा रहा हूँ। यदि आप यह नहीं जानते कि उत्तसर क्या होगा तो आप संख्या रेखा पर देख सकते हैं- वैसे तो उम्मीद है कि आप मन ही मन में इसे करने में समर्थ होंगे।
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आइए हम यहाँ संख्याह रेखा पर देखते हैं। इस तरह यदि आप सात जोड़ते हैं, यदि आप सात को लेकर इसमें पाँच जोड़ते हैं। -- 1, 2, 3, 4, 5 संख्यार रेखा पर हम बारह पर आ पहुँचते हैं।
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और यदि आप पाँच से शुरू करते हैं और उसमें सात जोड़ते हैं, तो भी आप बारह पर ही पहुँचते हैं। तो चलिए हम इसे लिखते हैं।
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हम जानते हैं कि 7 + 5 = 12 तो हम क्या करते हैं कि हम कहते हैं कि 7+5 बराबर और अब यह एक नई चीज आ गई।
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अभी तो आपको यह थोड़ा रहस्यपूर्ण, थोड़ा जादुई लग सकता है। हम लिखते हैं या हम लिखना चाहते हैं 12 7+5 होता है 12
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लेकिन हम यहाँ सिर्फ 2 ही लिखते हैं, और 1 को आगे ले जाते हैं। 12 1,2 अच्छा तो हमने वहाँ 2 लिखा है, लेकिन यहाँ हमने 1 लिखा, ठीक?
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और इसका कारण - मैं अभी आपको इसे इस तरह लिखने का एक सरल कारण बताता हूँ, इसका एक बेहतर कारण मैं आगे चलकर बताऊँगा। सरल कारण यह है कि आपके पास यहाँ पर केवल एक अंक लिखने का स्थान ही है और 12 जो है दो अंकों की संख्याथ है, इसलिए हमें उस ‘1’ को रखने के लिए किसी और स्थान के बारे में विचार करना पड़ा। और यदि आप इसके बारे में और भी विचार करना चाहते हैं तो,
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12 बिल्कुल वैसी ही संख्या है जैसे 10+2, ठीक? .
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इस तरह यदि हम कहें 7+5, यह बिल्कुल ऐसे ही है जैसे 12, जो ठीक ऐसे है जैसे दो इकाइयाँ। ठीक? 2 इकाइयाँ, जमा 1 दहाई। जमा 1 दस, जमा 1 दहाई।
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इस तरह हम 1 दस को दहाई के स्थान पर रखते हैं। इस तरह 7+5 कहने का हमारा मतलब है एक 10 जमा 2 इकाइयाँ। या एक दहाई और 2 इकाइयाँ ।
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यदि यह आपको उलझन में डालता है, तो केवल इतना लिखें, केवल यह कहें, अच्छा तो मैंने इकाई के स्थान पर वहाँ 2 लिखा है और 1 हासिल लगाया है। इसके बाद आप यही क्रिया दहाई के स्थान पर करते हैं।
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आपने जोड़ा 1 जमा 2 जमा 1 अच्छा तो, 1+2 – आइए हम इसे संख्याा रेखा पर करते हैं।
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यह मजेदार है। आइए देखते हैं। 1+2 चलिए शुरू करते हैं – इसे मैं गुलाबी रंग में लिखता हूँ।
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तो, हम एक से शुरू करते हैं। हम इसमें दो जोड़ रहे हैं। 1+2 हम 1 अपने 12 से लेते हैं ... 1+2 इस तरह आप 1,2 तक जाते हैं और 3 पर पूरा करते हैं।
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हम पहले की तरह बिल्कुल वही क्रिया करते हैं। हम केवल इकाई के स्थान को देखते हैं। इसलिए हम 8+3 को देखते हैं, 8+3 कितने होते हैं?
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उम्मीद है कि अब हम इसे मन ही मन कर सकते हैं। परन्तु जरा इस बारे में कल्पना करें। 8 + 1 = 9 8 + 2 = 10 8 + 3 बराबर होगा 11
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हमें क्या करना होगा, हमारे पास है, 8 + 3 = 11 इस एक को हम यहाँ रखते हैं, और दूसरे एक को हासिल ले जाते हैं।
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क्योंकि ग्यारह में एक दस-- एक दहाई-- जमा एक इकाई है। यह ग्यारह है। इसके बाद हम दहाई के स्थान पर जोड़ते हैं। 1 दहाई जमा 7 दहाइयाँ बराबर 8 दहाइयाँ। इस तरह 78+3=81
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और अब एक चीज जो मैं आपको दिखाना चाहता हूँ। आपको हमेशा इस तरह संख्या ओं का हासिल नहीं ले जाना पड़ेगा। केवल तभी जब इनमें से किसी प्रश्न का जवाब एक अंक से अधिक है। 11 दो अंकों की संख्या् है।
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जैसे उदाहरण के लिए यदि मेरे पास 56+2 है। यहाँ, मैं कह सकता हूँ 6+2 बराबर 8 ठीक? उम्मीद है हम यहाँ अच्छा अभ्याूस कर रहे हैं। इसलिए 6+2 =8
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और इसके बाद, मुझे इस 5 में जोड़ने के लिए कुछ नहीं करना है। इसलिए मैं केवल पाँच को यहाँ नीचे ले आता हूँ। इस तरह 56+2 =58 बिल्कुल उसी तरह।
