Интегриране на степенни редове
-
0:00 - 0:03Дадено е, че f(х) е равна на
безкраен ред -
0:03 - 0:06за n от 1 до безкрайност,
-
0:06 - 0:11от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n.
-
0:11 - 0:13Искаме да намерим
определен интеграл -
0:13 - 0:17от 0 до 1 за тази функция f(х).
-
0:17 - 0:20Ако усещаш прилив на
вдъхновение, -
0:20 - 0:22те насърчавам да спреш
видеото на пауза -
0:22 - 0:24и да опиташ самостоятелно,
-
0:24 - 0:25както и във всеки друг момент
можеш да натиснеш бутона за пауза -
0:25 - 0:28и да опиташ самостоятелно.
-
0:28 - 0:31Хайде да преработим
малко това. -
0:31 - 0:34Това е равно на
интеграл от 0 до 1... -
0:34 - 0:39f(х) е този ред, така че
мога да запиша -
0:39 - 0:43сумата за n = 1
до безкрайност -
0:43 - 0:49от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n.
-
0:49 - 0:52Сега ще направя нещо,
което може би -
0:52 - 0:54е ново за теб,
-
0:54 - 0:56но е важно, когато
намираме определен интеграл -
0:56 - 0:58от сума от някакви членове.
-
0:58 - 1:01Това е същото като да
намерим сумата -
1:01 - 1:03от отделни определени
интеграли. -
1:03 - 1:04Искам да поясня това.
-
1:04 - 1:06Ако имам този
определен интеграл, -
1:06 - 1:11от нула до 1, и да кажем, че
той съдържа някакви членове. -
1:11 - 1:12Мога дори да ги нарека
функции. -
1:12 - 1:16Да кажем, че това
е g(x) + h(x) -
1:16 - 1:20и така нататък, dx.
-
1:20 - 1:24Това е равно на сумата
от интегралите -
1:24 - 1:28от нула до 1 от g(x)dx,
-
1:28 - 1:32плюс интеграл от нула до 1 h(x)dx,
-
1:33 - 1:36плюс... и така до безкрай
-
1:36 - 1:37или колкото члена
има тук. -
1:37 - 1:40Това следва от свойствата
на интегрирането. -
1:40 - 1:42Тук можем да направим
същото нещо, -
1:42 - 1:44макар че ще го направя
със знака сигма. -
1:44 - 1:49Това е равно на сумата
-
1:49 - 1:53за n от 1 до безкрайност
-
1:53 - 1:56от определен интеграл
от всеки от тези членове. -
1:56 - 1:58Ще го запиша ето така.
-
1:58 - 2:02От интеграл
за 0 до 1 -
2:02 - 2:12от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n, dx.
-
2:13 - 2:17Повтарям, сега намираме
сумата от всички тези членове. -
2:17 - 2:23Да сметнем това тук.
-
2:23 - 2:25Това ще бъде равно...
ще продължа тука... -
2:25 - 2:29това е равно на сумата
-
2:29 - 2:32за n от 1 до безкрайност
-
2:32 - 2:34и после това, което
подчертах в оранжево, -
2:34 - 2:35това ще бъде, да видим,
-
2:35 - 2:38намираме примитивната
функция. -
2:38 - 2:41Получаваме х^(n + 1).
-
2:43 - 2:44и после делим на (n + 1).
-
2:44 - 2:51Имаме това първоначално (n + 1)
върху 4^(n + 1), което е константа, -
2:52 - 2:54когато го разглеждаме
по отношение на х, -
2:54 - 2:57за всеки от тези членове, и после искаме
да увеличим с 1 степенния показател, -
2:57 - 3:00и после да разделим
на повишения степенен показател. -
3:00 - 3:02Това е просто прилагане наобратно
-
3:02 - 3:07на правилото за намиране
на производна. -
3:07 - 3:12Значи става х^(n + 1) върху (n + 1).
-
3:12 - 3:14Току-що намерих
примитивната функция -
3:14 - 3:17и това е от нула до 1 за всеки
от тези членове. -
3:17 - 3:18Преди да го направим,
нека да опростим. -
3:18 - 3:22Имаме (n + 1), имаме (n + 1)
-
3:22 - 3:24и сега можем да
преработим това. -
3:24 - 3:26Това ще бъде равно на...
-
3:26 - 3:29това е сумата за n от
1 до безкрайност, -
3:29 - 3:32и това ще бъде това,
което имаме тук, когато -
3:32 - 3:37х е равно на 1, то е 1,
-
3:38 - 3:40значи имаме 1 на степен (n + 1),
-
3:40 - 3:42върху 4 на степен (n + 1).
-
3:42 - 3:44Всъщност защо
да не го запиша ето така. -
3:44 - 3:481 на степен (n + 1) върху
4 на степен (n + 1), -
3:48 - 3:52минус нула на степен (n + 1)
върху четири на степен (n + 1). -
3:52 - 3:54Даже не трябва да пишем това.
-
3:54 - 3:56Мога да запиша нула
на степен (n + 1) -
3:56 - 4:01върху 4 на степен (n + 1),
но това очевидно е нула. -
4:01 - 4:05И сега това започва
да се опростява, -
4:05 - 4:07получаваме, че е равно
-
4:07 - 4:12на сумата за n от
1 до безкрайност. -
4:12 - 4:13Почти заслужаваме овации,
-
4:13 - 4:17от 1/4 на степен (n + 1).
-
4:17 - 4:18Може би вече можеш
да разпознаеш това. -
4:18 - 4:21Това е безкраен геометричен ред.
-
4:21 - 4:23Кой е първият член?
-
4:23 - 4:29Първият член е...
-
4:29 - 4:39за n = 1, първият член тук
е 1/4 на квадрат. -
4:40 - 4:41Вярно ли е това?
-
4:41 - 4:42Да.
-
4:42 - 4:50Когато n = 1,
това ще бъде 1/4 на квадрат, -
4:50 - 4:54което е равно на 1/16,
това е първият ни член. -
4:54 - 5:02Частното е равно на...
-
5:02 - 5:05тук просто продължаваме
да умножаваме по 1/4, -
5:05 - 5:07значи частното е 1/4.
-
5:07 - 5:09За безкрайния геометричен ред,
-
5:09 - 5:16абсолютната стойност
на частното е по-малка от 1, -
5:16 - 5:18знаем, че това ще е сходящ ред,
-
5:18 - 5:20и ще е сходящ към стойността...
-
5:20 - 5:25първият член, 1/16, делен на
-
5:25 - 5:291 минус частното, (1 – 1/4),
-
5:29 - 5:37което е 3/4, значи това
е равно на 1/16 по 4/3. -
5:38 - 5:41Това е равно на 1/12.
-
5:41 - 5:42И сме готови.
-
5:42 - 5:44В началото изглеждаше
много сложно, -
5:44 - 5:45но просто трябва да
осъзнаем, че -
5:45 - 5:48интеграл от сума, даже
от безкрайна сума, -
5:48 - 5:51е равен на сумата
от тези безкраен брой интеграли. -
5:51 - 5:53Намираме примитивните функции
за тези интеграли, -
5:53 - 5:55което направихме,
-
5:55 - 5:58и което е яко, една от
силите на математиката, -
5:58 - 6:01и после осъзнахме, че имаме просто
безкраен геометричен ред, -
6:01 - 6:02за който знаем как да
намерим сумата. -
6:02 - 6:04И сме готови.
- Title:
- Интегриране на степенни редове
- Description:
-
В рамките на неговия интервал на сходимост интегралът на степенен ред е сумата от интегралите на отделните членове. Виж как се използва това, за да намериш интеграла на степенен ред.
Упражнявай се самостоятелно на този урок в Кан Академия: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/e/integration-and-differentiation-of-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/differentiating-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/radius-convergence-ratio-test?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.
Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnythingАбонирай се за канала на Кан Академия Математически анализ: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy - Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 06:05
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Integrating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy | ||
Amara Bot edited Bulgarian subtitles for Integrating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy |