Herons formel

Denne video beskriver, hvordan vi anvender Herons formel til at udregne arealet af en trekant, når vi kun kender længderne på trekantens sider.

.

De fleste ved, hvordan man finder arealet af en trekant,

når vi kender længden på grundlinjen

og trekantens højde.

Hvis det her er vores trekant, og den her længde

er vores grundlinje b, og den her længde

er højden h, så ved vi,

at arealet af trekanten er lig med en halv gange grundlinjen

gange højden.

Hvis grundlinjen er lig med 5,

og højden er lig med 6, så er arealet en halv gange 5 gange 6,

der giver en halv gange 30, som er lig med 15.

Det er dog sværere at finde arealet af trekanten,

hvis vi kun kender længderne på dens sider.

Vi kender altså ikke højden.

Hvordan udregner vi så arealet af trekanten,

når vi kun kender længden på siderne?

Lad os sige, at det her er side a, side b og side c.

a,b og c er længderne af disse sider.

Hvordan regner vi det ud?

Det gør vi ved at anvende,

det vi kalder Herons formel.

.

Jeg vil ikke bevise Herons formel her,

det gør jeg i en anden video.

For at bevise det, har vi faktisk allerede de nødvendige værktøjer.

.

Det er i bund og grund Pythagoras læresætning

og en masse algebra.

Her viser vi kun formlen,

og hvordan vi anvender den. Senere finder vi forhåbentlig ud af,

at den er ret simpel og let at huske.

Det kan også være et godt trick at imponere folk med.

Herons formel siger, at vi først skal finde størrelsen S,

som er omkredsen af trekanten

divideret med 2.

a plus b plus c, divideret med 2.

Når vi har fundet S, vil trekantens areal

være lig med kvadratroden af S..

.

gange S minus a, gange S minus b, gange S minus c.

Det er Herons formel.

Det er sådan, den ser ud.

.

.

Den ser måske lidt vanskelig ud, det er i hvert fald noget andet,

end når vi bare siger en halv gange grundlinjen

gange højden.

Lad os prøve med et eksempel

for at finde ud af, at formlen slet ikke er så svær at anvende.

Vi har en trekant.

Formlen lader vi stå her.

Vi har en trekant, som har 3 sider

med en længde på 9,11 og 16.

Vi anvender Herons formel.

S er omkredsen, som vi dividerer med 2.

Vi siger 9 plus 11 plus 16 divideret med 2.

9 plus 11 plus 16 er lig med 36.

Divideret med 2 er lig med 18.

Arealet vil ifølge Herons formel

være lig med kvadratroden af S, som er 18,

gange 18 minus 9, gange 18 minus 11, gange 18 minus 16.

.

Det er lig med kvadratroden af 18

gange 9 gange 7 gange 2.

Det er lig med..

.

kvadratroden af 36 gange 9 gange 7,

som er lig med kvadratroden af 36 gange

kvadratroden af 9 gange kvadratroden af 7.

Kvadratroden af 36 er 6.

Det her er 3.

Vi medregner ikke en negativ kvadratrod,

da en side ikke kan have en negativ længde.

Det er lig med 18 gange

kvadratroden af 7.

Som vi kan se, så tager det kun et par minutter

at anvende Herons formel

og udregne arealet af trekanten her,

som er lig med 18 kvadratrod 7.

.

.