Return to Video

Introduction to Harmonic Motion

  • 0:01 - 0:04
    בואו נראה אם נוכל להשתמש בידע שלנו בקשר
  • 0:04 - 0:06
    לקפיצים, כדי להבין איך קפיץ
  • 0:06 - 0:07
    נע כפונקציה של הזמן.
  • 0:07 - 0:08
    כך נוכל ללמוד קצת על
  • 0:08 - 0:09
    תנועה הרמונית.
  • 0:09 - 0:11
    נעשה גם קפיצה קצרה לעולמן של המשוואות
  • 0:11 - 0:12
    הדיפרנציאליות.
  • 0:12 - 0:14
    אל תפחדו כשנגיע לשם.
  • 0:14 - 0:16
    או שפשוט תעצמו עיניים כשזה קורה.
  • 0:16 - 0:18
    בכל מקרה, ציירתי קפיץ כפי שעשיתי
  • 0:18 - 0:19
    בסירטונים האחרונים.
  • 0:19 - 0:23
    הנקודה 0, היא הנקודה בציר ה- x שבה הקפיץ
  • 0:23 - 0:26
    נמצא במצבו הטבעי, הרפוי.
  • 0:26 - 0:29
    בדוגמה הזאת יש לנו מסה m
  • 0:29 - 0:30
    הקשורה לקפיץ.
  • 0:30 - 0:31
    אני מתחתי את הקפיץ.
  • 0:31 - 0:33
    אני בעצם משכתי אותו,
  • 0:33 - 0:35
    כך שהמסה נמצאת בנקודה A.
  • 0:35 - 0:37
    מה יקרה עכשיו?
  • 0:37 - 0:40
    אנו יודעים שהכוח המחזיר של הקפיץ
  • 0:40 - 0:45
    שווה למינוס איזשהו קבוע
  • 0:45 - 0:47
    כפול המיקום x.
  • 0:47 - 0:49
    ההעתק x מתחיל ב- A.
  • 0:49 - 0:51
    בהתחלה, הקפיץ ימשוך חזרה
  • 0:51 - 0:53
    לכוון הזה, נכון?
  • 0:53 - 0:55
    הקפיץ ימשוך חזרה לכוון הזה.
  • 0:55 - 0:57
    הוא ינוע מהר יותר ויותר.
  • 0:57 - 0:59
    למדנו שבנקודה הזאת אגורה בו הרבה
  • 0:59 - 1:00
    אנרגיה פוטנצילית.
  • 1:00 - 1:02
    בנקודה הזאת, כשהוא חוזר חזרה למצבו
  • 1:02 - 1:07
    הרפוי, תהיה למסה מהירות גדולה והרבה אנרגיה
  • 1:07 - 1:09
    קינטית, אך לא אנרגיה פוטנציאלית.
  • 1:09 - 1:11
    היא תמשיך לנוע לאותו כוון, והיא
  • 1:11 - 1:15
    תכווץ את הקפיץ כל הדרך, עד שהאנרגיה
  • 1:15 - 1:17
    הקינטית תהפוך חזרה לאנרגיה פוטנצילית.
  • 1:17 - 1:19
    והתהליך הזה יחזור על עצמו.
  • 1:19 - 1:23
    בואו נראה אם נוכל לקבל איזשהו מושג איך x
  • 1:23 - 1:24
    ייראה כפונקציה של הזמן.
  • 1:24 - 1:30
    המטרה שלנו היא לקבל את x כפונקציה
    של הזמן t.
  • 1:30 - 1:32
    זאת המטרה שלנו בסירטון הזה
  • 1:32 - 1:34
    ובבאים אחריו.
  • 1:34 - 1:38
    בואו נראה מה קורה כאן.
  • 1:38 - 1:41
    אני אנסה לשרטט גרף של x כפונקציה של הזמן.
  • 1:41 - 1:46
    הזמן הוא המשתנה הבלתי תלוי.
  • 1:46 - 1:49
    ונתחיל מזמן שווה ל- 0.
  • 1:49 - 1:52
    זהו ציר הזמן.
  • 1:52 - 1:53
    אצייר את ציר ה- x.
  • 1:53 - 1:55
    זה עלול להיות קצת מבלבל, לצייר את ציר x
  • 1:55 - 1:58
    בציר המאונך, אך הסיבה היא ש- x הוא
  • 1:58 - 2:02
    המשתנה התלוי, במקרה הזה.
  • 2:02 - 2:06
    זה בלתי רגיל, אך זה ציר x.
  • 2:06 - 2:09
    נקרא לו ( x (t, כי אנו יודעים ש- x הוא פונקציה
  • 2:09 - 2:12
    של הזמן.
  • 2:12 - 2:16
    במצב שציירתי כאן, זה בזמן
  • 2:16 - 2:16
    השווה ל- 0, נכון?
  • 2:16 - 2:17
    זה בזמן 0.
  • 2:17 - 2:19
    אחליף צבעים.
  • 2:19 - 2:24
    מהו ההעתק של המסה בזמן השווה ל- 0?
  • 2:24 - 2:26
    ההעתק x הוא A, נכון?
  • 2:26 - 2:31
    אצייר זאת, זה A.
  • 2:31 - 2:32
    בעצם, אצייר כאן קו.
  • 2:32 - 2:35
    זה יועיל לנו.
  • 2:35 - 2:38
    זה A.
  • 2:38 - 2:40
    וזה יהיה - אשתדל לדייק כמה שאפשר -
  • 2:40 - 2:44
    זה מינוס A.
  • 2:44 - 2:46
    זה מינוס A.
  • 2:49 - 2:52
    איפה המסה נמצאת בזמן 0?
  • 2:52 - 2:53
    היא ב- A.
  • 2:53 - 2:58
    זה המקום הזה, נכון?
  • 2:58 - 3:00
    עכשיו נעשה משהו מעניין.
  • 3:00 - 3:02
    בוא נגדיר זמן מחזור.
  • 3:02 - 3:04
    אקרא לזמן המחזור T.
  • 3:04 - 3:08
    זמן המחזור הוא הזמן שלוקח למסה,
  • 3:08 - 3:09
    שמתחילה מההעתק הזה,
  • 3:09 - 3:11
    מאיצה, מאיצה, מאיצה
  • 3:11 - 3:12
    ומאיצה,
  • 3:12 - 3:15
    בנקודה הזאת תהיה לו אנרגיה קינטית מרבית,
  • 3:15 - 3:17
    ואז יתחיל להאט, להאט, להאט
  • 3:17 - 3:18
    ולהאט,
  • 3:18 - 3:20
    ואז, חוזרת על התהליך הזה כל הדרך חזרה.
  • 3:20 - 3:23
    זמן המחזור T הוא הזמן שלוקח לעבור את כל
  • 3:23 - 3:25
    התהליך הזה, בסדר?
  • 3:25 - 3:32
    אז, בזמן 0 ההעתק שווה ל- A, וגם בזמן T - זה
  • 3:32 - 3:38
    זמן T - ההעתק יהיה שווה ל- A, נכון?
  • 3:38 - 3:41
    אני מנסה לצייר בגרף מספר נקודות של הפונקציה
  • 3:41 - 3:43
    הזאת, כדי לקבל מושג מהי
  • 3:43 - 3:47
    צורת הפונקציה.
  • 3:47 - 3:52
    אם זה לוקח T שניות כדי לנוע הלוך וחזור, אז זה
  • 3:52 - 3:54
    לוקח 2/T שניות להגיע לכאן, נכון?
  • 3:54 - 3:56
    אותו זמן שלקח להגיע לכאן, יהיה גם
  • 3:56 - 3:59
    הזמן שייקח לחזור.
  • 3:59 - 4:06
    אז, מה יהיה ההעתק x בזמן 2/T?
  • 4:06 - 4:09
    בזמן 2/T המסה תהיה כאן.
  • 4:09 - 4:11
    הקפיץ יהיה מכווץ כל הדרך הזאת.
  • 4:11 - 4:13
    אז, בזמן 2/T המסה תהיה כאן.
  • 4:15 - 4:19
    ובנקודות שביניהם המסה תהיה בהעתק x
  • 4:19 - 4:21
    שווה ל- 0, נכון?
  • 4:21 - 4:23
    היא תהיה שם ושם.
  • 4:23 - 4:25
    זה נשמע הגיוני.
  • 4:25 - 4:27
    אז אנו מכירים את הנקודות האלה.
  • 4:27 - 4:29
    בואו נחשוב איך תיראה הפונקציה כולה.
  • 4:29 - 4:31
    האם היא תהיה קו ישר כלפי מטה, ואז קו
  • 4:31 - 4:33
    ישר כלפי מעלה, ואז קו ישר כלפי מטה, ואז
  • 4:33 - 4:35
    קו ישר כלפי מעלה.
  • 4:35 - 4:37
    מה פירושו של קו ישר? אם יש לנו קו ישר
  • 4:37 - 4:40
    כלפי מטה כל הזמן, פירושו של דבר שקצב
  • 4:40 - 4:44
    השינוי של x הוא קבוע.
  • 4:44 - 4:46
    זאת אומרת שהמהירות
  • 4:46 - 4:48
    קבועה, נכון?
  • 4:48 - 4:51
    האם המהירות קבועה כל הזמן?
  • 4:51 - 4:52
    וודאי שלא.
  • 4:52 - 4:55
    אנו יודעים שבנקודה הזאת, כאן, המהירות
  • 4:55 - 4:58
    גבוהה מאד, נכון?
  • 4:58 - 4:59
    יש לנו מהירות מאד גבוהה.
  • 4:59 - 5:01
    אנו יודעים שבנקודה הזאת המהירות שווה לאפס.
  • 5:01 - 5:03
    כלומר, יש לנו כל הזמן תאוצה.
  • 5:03 - 5:05
    אם מעמיקים לחשוב,
  • 5:05 - 5:09
    המסה בעצם מאיצה בקצב הולך ופוחת.
  • 5:09 - 5:12
    אך ישנה תאוצה כל הזמן.
  • 5:12 - 5:15
    בהתחלה מאיצים, ואז מאיטים,
  • 5:15 - 5:16
    וכך כל הזמן.
  • 5:16 - 5:19
    אם כן, קצב השינוי של x אינו קבוע, לא יהיה
  • 5:19 - 5:22
    לנו גרף בצורת "זיגזג", נכון?
  • 5:22 - 5:25
    וזה ימשיך כאן, ותהיה לנו נקודה נוספת כאן.
  • 5:25 - 5:26
    מה קורה?
  • 5:26 - 5:28
    בהתחלה, המהירות היא נמוכה.
  • 5:28 - 5:30
    קצב השינוי של x הוא מתון.
  • 5:30 - 5:32
    ואז מתחילים להאיץ.
  • 5:32 - 5:36
    וכשמגיעים לנקודה הזאת, מתחילים
  • 5:36 - 5:38
    להאט.
  • 5:39 - 5:44
    עד שבנקודה הזאת, המהירות שווה בדיוק ל- 0.
  • 5:44 - 5:47
    קצב השינוי, או השיפוע, יהיה 0.
  • 5:47 - 5:50
    ואז מתחילים להאיץ בכוון הפוך.
  • 5:50 - 5:52
    המהירות גדלה יותר, ויותר, ויותר.
  • 5:52 - 5:54
    המהירות תהיה מאד גדולה בנקודה הזאת.
  • 5:54 - 5:58
    ואז, מתחילים להאט בנקודה הזאת.
  • 5:58 - 6:00
    למה שייכת הנקודה הזאת?
  • 6:00 - 6:01
    אנו חזרה ב- A.
  • 6:01 - 6:04
    בנקודה הזאת המהירות היא 0, פעם נוספת.
  • 6:04 - 6:06
    קצב השינוי של x הוא 0.
  • 6:06 - 6:09
    ואז מתחילים שוב להאיץ.
  • 6:09 - 6:11
    השיפוע גדל, וגדל, וגדל.
  • 6:11 - 6:14
    זאת הנקודה, בה האנרגיה הקינטית היא מרבית.
  • 6:14 - 6:17
    ואז המהירות מתחילה לקטון.
  • 6:17 - 6:20
    שימו לב, בנקודות האלה השיפוע הוא 0.
  • 6:20 - 6:22
    פירוש הדבר הוא שאין אנרגיה
  • 6:22 - 6:23
    קינטית בנקודות האלה.
  • 6:23 - 6:25
    והתנועה ממשיכה.
  • 6:25 - 6:28
    הלאה, והלאה, ועוד הלאה.
  • 6:28 - 6:29
    איך זה נראה?
  • 6:29 - 6:31
    אמנם, עוד לא הוכחתי את זה, אך מכל הפונקציות
  • 6:31 - 6:35
    שברפרטואר, זה נראה
  • 6:35 - 6:37
    כמו פונקציה טריגונומטרית.
  • 6:37 - 6:39
    אם עלי לבחור אחת, הייתי בוחר בקוסינוס.
  • 6:39 - 6:40
    למה?
  • 6:40 - 6:44
    כי כאשר אנו באפס - אכתוב את זה כאן -
  • 6:44 - 6:47
    קוסינוס של 0 שווה 1, נכון?
  • 6:47 - 6:51
    כאשר t שווה 0, הפונקציה הזאת שווה ל- A.
  • 6:51 - 7:00
    כנראה שהפונקציה הזאת נראית משהו
    כמו A קוסינוס
  • 7:00 - 7:06
    - אשתמש במשתנה אומגה כפול t - כנראה
  • 7:06 - 7:09
    שהפונקציה נראית משהו כזה.
  • 7:09 - 7:11
    בהמשך, נלמד שהיא נראית
  • 7:11 - 7:11
    בדיוק ככה.
  • 7:11 - 7:12
    אך, ברצוני להוכיח לכם את זה, אז אל
  • 7:12 - 7:14
    תאמינו לי בינתיים.
  • 7:14 - 7:17
    בוא נבדוק אם נוכל לראות למה שווה אומגה.
  • 7:17 - 7:21
    הוא בוודאי פונקציה של המסה של הגוף הזה,
  • 7:21 - 7:23
    וכנראה גם פונקציה של קבוע
  • 7:23 - 7:24
    הקפיץ, אך איני בטוח.
  • 7:24 - 7:27
    בואו נראה מה אפשר לעשות.
  • 7:27 - 7:31
    אני עומד לצאת לדרך שיש בה קצת
    חשבון דיפרנציאלי.
  • 7:31 - 7:32
    בעצם, מנה גדושה של חשבון דיפרנציאלי.
  • 7:32 - 7:34
    ניגע אפילו במשוואות דיפרנציאליות.
  • 7:34 - 7:37
    אולי זאת תהיה המשוואה הדיפרנציאלית
  • 7:37 - 7:40
    הראשונה בחיים שלכם, אז זהו רגע מכונן.
  • 7:40 - 7:41
    בואו נתקדם.
  • 7:41 - 7:43
    אם אינכם רוצים להתבלבל, עיצמו את עיניכם,
  • 7:43 - 7:46
    או שתצפו בסירטונים על חשבון דיפרנציאלי,
    כדי שתדעו לפחות
  • 7:46 - 7:48
    מהי נגזרת.
  • 7:48 - 7:52
    בואו נכתוב את המשוואה הפשוטה הזאת,
    לכאורה,
  • 7:52 - 7:55
    או בעצם נשכתב אותה בדרכים מוכרות.
  • 7:55 - 7:58
    מהי ההגדרה של כוח?
  • 7:58 - 8:00
    כוח הוא מסה כפול תאוצה, נכון?
  • 8:00 - 8:06
    אנו יכולים לכתוב את חוק הוק - אחליף צבעים -
  • 8:06 - 8:11
    מסה כפול תאוצה שווה למינוס קבוע הקפיץ,
  • 8:11 - 8:16
    כפול ההעתק, נכון?
  • 8:16 - 8:18
    אי אכתוב העתק כפונקציה של t,
  • 8:18 - 8:19
    כדי שתזכרו את זה.
  • 8:19 - 8:22
    אנו כל כך רגילים לזה ש- x הוא המשתנה
    הבלתי תלוי,
  • 8:22 - 8:24
    שאם אני לא אכתוב שזה כפונקציה של t,
    זה עלול לבלבל אותנו.
  • 8:24 - 8:27
    אולי תחשבו ש- x הוא המשתנה הבלתי תלוי,
  • 8:27 - 8:28
    הוא לא!
  • 8:28 - 8:31
    כי בפונקציה, אותה אנו מחפשים, אנו רוצים
  • 8:31 - 8:33
    לדעת מה קורה כפונקציה של הזמן.
  • 8:33 - 8:35
    זאת יכולה להיות חזרה טובה על
  • 8:35 - 8:38
    פונקציות פרמטריות.
  • 8:38 - 8:40
    כאן, אנחנו מתחילים בחשבון הדיפרנציאלי.
  • 8:40 - 8:41
    מהי תאוצה?
  • 8:45 - 8:52
    ההעתק שלנו x, ההעתק שווה ל- x
  • 8:52 - 8:53
    כפונקציה של t, נכון?
  • 8:53 - 8:56
    אני קובע מהו הזמן t, וזה אומר לנו מהו
    הערך של x.
  • 8:56 - 8:58
    זה ההעתק שלנו.
  • 8:58 - 8:59
    מהי המהירות?
  • 8:59 - 9:02
    המהירות היא הנגזרת של ההעתק, נכון?
  • 9:02 - 9:06
    המהירות, בנקודה כלשהי, היא
  • 9:06 - 9:08
    הנגזרת של הפונקציה הזאת.
  • 9:08 - 9:11
    קצב השינוי של הפונקציה הזאת, ביחס ל- t.
  • 9:11 - 9:13
    אז נחשב את קצב השינוי ביחס
  • 9:13 - 9:17
    ל- t.
  • 9:17 - 9:23
    אני יכול לכתוב את זה כ- dx ל- dt.
  • 9:23 - 9:24
    מהי התאוצה?
  • 9:24 - 9:26
    התאוצה היא קצב השינוי של
  • 9:26 - 9:28
    המהירות, נכון?
  • 9:28 - 9:31
    כלומר צריך לקחת את הנגזרת של זה.
  • 9:31 - 9:33
    דרך אחרת היא, לקחת את הנגזרת
  • 9:33 - 9:36
    השנייה של פונקצית ההעתק, נכון?
  • 9:36 - 9:42
    התאוצה שווה - אני רוצה להראות
  • 9:42 - 9:45
    לכם צורות כתיבה שונות - x תגיים
  • 9:45 - 9:50
    של t, הנגזרת השנייה של x
  • 9:50 - 9:50
    ביחס ל- t.
  • 9:50 - 9:54
    אפשר גם לכתוב, d בריבוע x,
  • 9:54 - 9:56
    חלקי dt בריבוע.
  • 9:56 - 9:57
    זאת הנגזרת השנייה.
  • 9:57 - 9:58
    נראה שהזמן הולך ואוזל.
  • 9:58 - 9:59
    נתראה בסירטון הבא.
  • 9:59 - 10:02
    תזכרו את מה שכתבתי כרגע.
Title:
Introduction to Harmonic Motion
Description:

Intuition behind the motion of a mass on a spring (some calculus near the end).
more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:03
רועי חרמוני edited Hebrew subtitles for Introduction to Harmonic Motion

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.