בואו נראה אם נוכל להשתמש בידע שלנו בקשר
לקפיצים, כדי להבין איך קפיץ
נע כפונקציה של הזמן.
כך נוכל ללמוד קצת על
תנועה הרמונית.
נעשה גם קפיצה קצרה לעולמן של המשוואות
הדיפרנציאליות.
אל תפחדו כשנגיע לשם.
או שפשוט תעצמו עיניים כשזה קורה.
בכל מקרה, ציירתי קפיץ כפי שעשיתי
בסירטונים האחרונים.
הנקודה 0, היא הנקודה בציר ה- x שבה הקפיץ
נמצא במצבו הטבעי, הרפוי.
בדוגמה הזאת יש לנו מסה m
הקשורה לקפיץ.
אני מתחתי את הקפיץ.
אני בעצם משכתי אותו,
כך שהמסה נמצאת בנקודה A.
מה יקרה עכשיו?
אנו יודעים שהכוח המחזיר של הקפיץ
שווה למינוס איזשהו קבוע
כפול המיקום x.
ההעתק x מתחיל ב- A.
בהתחלה, הקפיץ ימשוך חזרה
לכוון הזה, נכון?
הקפיץ ימשוך חזרה לכוון הזה.
הוא ינוע מהר יותר ויותר.
למדנו שבנקודה הזאת אגורה בו הרבה
אנרגיה פוטנצילית.
בנקודה הזאת, כשהוא חוזר חזרה למצבו
הרפוי, תהיה למסה מהירות גדולה והרבה אנרגיה
קינטית, אך לא אנרגיה פוטנציאלית.
היא תמשיך לנוע לאותו כוון, והיא
תכווץ את הקפיץ כל הדרך, עד שהאנרגיה
הקינטית תהפוך חזרה לאנרגיה פוטנצילית.
והתהליך הזה יחזור על עצמו.
בואו נראה אם נוכל לקבל איזשהו מושג איך x
ייראה כפונקציה של הזמן.
המטרה שלנו היא לקבל את x כפונקציה של הזמן t.
זאת המטרה שלנו בסירטון הזה
ובבאים אחריו.
בואו נראה מה קורה כאן.
אני אנסה לשרטט גרף של x כפונקציה של הזמן.
הזמן הוא המשתנה הבלתי תלוי.
ונתחיל מזמן שווה ל- 0.
זהו ציר הזמן.
אצייר את ציר ה- x.
זה עלול להיות קצת מבלבל, לצייר את ציר x
בציר המאונך, אך הסיבה היא ש- x הוא
המשתנה התלוי, במקרה הזה.
זה בלתי רגיל, אך זה ציר x.
נקרא לו ( x (t, כי אנו יודעים ש- x הוא פונקציה
של הזמן.
במצב שציירתי כאן, זה בזמן
השווה ל- 0, נכון?
זה בזמן 0.
אחליף צבעים.
מהו ההעתק של המסה בזמן השווה ל- 0?
ההעתק x הוא A, נכון?
אצייר זאת, זה A.
בעצם, אצייר כאן קו.
זה יועיל לנו.
זה A.
וזה יהיה - אשתדל לדייק כמה שאפשר -
זה מינוס A.
איפה המסה נמצאת בזמן 0?
היא ב- A.
זה המקום הזה, נכון?
עכשיו נעשה משהו מעניין.
בוא נגדיר זמן מחזור.
אקרא לזמן המחזור T.
זמן המחזור הוא הזמן שלוקח למסה,
שמתחילה מההעתק הזה,
מאיצה, מאיצה, מאיצה
ומאיצה,
בנקודה הזאת תהיה לו אנרגיה קינטית מרבית,
ואז יתחיל להאט, להאט, להאט
ולהאט,
ואז, חוזרת על התהליך הזה כל הדרך חזרה.
זמן המחזור T הוא הזמן שלוקח לעבור את כל
התהליך הזה, בסדר?
אז, בזמן 0 ההעתק שווה ל- A, וגם בזמן T - זה
זמן T - ההעתק יהיה שווה ל- A, נכון?
אני מנסה לצייר בגרף מספר נקודות של הפונקציה
הזאת, כדי לקבל מושג מהי
צורת הפונקציה.
אם זה לוקח T שניות כדי לנוע הלוך וחזור, אז זה
לוקח 2/T שניות להגיע לכאן, נכון?
אותו זמן שלקח להגיע לכאן, יהיה גם
הזמן שייקח לחזור.
אז, מה יהיה ההעתק x בזמן 2/T?
בזמן 2/T המסה תהיה כאן.
הקפיץ יהיה מכווץ כל הדרך הזאת.
אז, בזמן 2/T המסה תהיה כאן.
ובנקודות שביניהם המסה תהיה בהעתק x
שווה ל- 0, נכון?
היא תהיה שם ושם.
זה נשמע הגיוני.
אז אנו מכירים את הנקודות האלה.
בואו נחשוב איך תיראה הפונקציה כולה.
האם היא תהיה קו ישר כלפי מטה, ואז קו
ישר כלפי מעלה, ואז קו ישר כלפי מטה, ואז
קו ישר כלפי מעלה.
מה פירושו של קו ישר? אם יש לנו קו ישר
כלפי מטה כל הזמן, פירושו של דבר שקצב
השינוי של x הוא קבוע.
זאת אומרת שהמהירות
קבועה, נכון?
האם המהירות קבועה כל הזמן?
וודאי שלא.
אנו יודעים שבנקודה הזאת, כאן, המהירות
גבוהה מאד, נכון?
יש לנו מהירות מאד גבוהה.
אנו יודעים שבנקודה הזאת המהירות שווה לאפס.
כלומר, יש לנו כל הזמן תאוצה.
אם מעמיקים לחשוב,
המסה בעצם מאיצה בקצב הולך ופוחת.
אך ישנה תאוצה כל הזמן.
בהתחלה מאיצים, ואז מאיטים,
וכך כל הזמן.
אם כן, קצב השינוי של x אינו קבוע, לא יהיה
לנו גרף בצורת "זיגזג", נכון?
וזה ימשיך כאן, ותהיה לנו נקודה נוספת כאן.
מה קורה?
בהתחלה, המהירות היא נמוכה.
קצב השינוי של x הוא מתון.
ואז מתחילים להאיץ.
וכשמגיעים לנקודה הזאת, מתחילים
להאט.
עד שבנקודה הזאת, המהירות שווה בדיוק ל- 0.
קצב השינוי, או השיפוע, יהיה 0.
ואז מתחילים להאיץ בכוון הפוך.
המהירות גדלה יותר, ויותר, ויותר.
המהירות תהיה מאד גדולה בנקודה הזאת.
ואז, מתחילים להאט בנקודה הזאת.
למה שייכת הנקודה הזאת?
אנו חזרה ב- A.
בנקודה הזאת המהירות היא 0, פעם נוספת.
קצב השינוי של x הוא 0.
ואז מתחילים שוב להאיץ.
השיפוע גדל, וגדל, וגדל.
זאת הנקודה, בה האנרגיה הקינטית היא מרבית.
ואז המהירות מתחילה לקטון.
שימו לב, בנקודות האלה השיפוע הוא 0.
פירוש הדבר הוא שאין אנרגיה
קינטית בנקודות האלה.
והתנועה ממשיכה.
הלאה, והלאה, ועוד הלאה.
איך זה נראה?
אמנם, עוד לא הוכחתי את זה, אך מכל הפונקציות
שברפרטואר, זה נראה
כמו פונקציה טריגונומטרית.
אם עלי לבחור אחת, הייתי בוחר בקוסינוס.
למה?
כי כאשר אנו באפס - אכתוב את זה כאן -
קוסינוס של 0 שווה 1, נכון?
כאשר t שווה 0, הפונקציה הזאת שווה ל- A.
כנראה שהפונקציה הזאת נראית משהו כמו A קוסינוס
- אשתמש במשתנה אומגה כפול t - כנראה
שהפונקציה נראית משהו כזה.
בהמשך, נלמד שהיא נראית
בדיוק ככה.
אך, ברצוני להוכיח לכם את זה, אז אל
תאמינו לי בינתיים.
בוא נבדוק אם נוכל לראות למה שווה אומגה.
הוא בוודאי פונקציה של המסה של הגוף הזה,
וכנראה גם פונקציה של קבוע
הקפיץ, אך איני בטוח.
בואו נראה מה אפשר לעשות.
אני עומד לצאת לדרך שיש בה קצת חשבון דיפרנציאלי.
בעצם, מנה גדושה של חשבון דיפרנציאלי.
ניגע אפילו במשוואות דיפרנציאליות.
אולי זאת תהיה המשוואה הדיפרנציאלית
הראשונה בחיים שלכם, אז זהו רגע מכונן.
בואו נתקדם.
אם אינכם רוצים להתבלבל, עיצמו את עיניכם,
או שתצפו בסירטונים על חשבון דיפרנציאלי, כדי שתדעו לפחות
מהי נגזרת.
בואו נכתוב את המשוואה הפשוטה הזאת, לכאורה,
או בעצם נשכתב אותה בדרכים מוכרות.
מהי ההגדרה של כוח?
כוח הוא מסה כפול תאוצה, נכון?
אנו יכולים לכתוב את חוק הוק - אחליף צבעים -
מסה כפול תאוצה שווה למינוס קבוע הקפיץ,
כפול ההעתק, נכון?
אי אכתוב העתק כפונקציה של t,
כדי שתזכרו את זה.
אנו כל כך רגילים לזה ש- x הוא המשתנה הבלתי תלוי,
שאם אני לא אכתוב שזה כפונקציה של t, זה עלול לבלבל אותנו.
אולי תחשבו ש- x הוא המשתנה הבלתי תלוי,
הוא לא!
כי בפונקציה, אותה אנו מחפשים, אנו רוצים
לדעת מה קורה כפונקציה של הזמן.
זאת יכולה להיות חזרה טובה על
פונקציות פרמטריות.
כאן, אנחנו מתחילים בחשבון הדיפרנציאלי.
מהי תאוצה?
ההעתק שלנו x, ההעתק שווה ל- x
כפונקציה של t, נכון?
אני קובע מהו הזמן t, וזה אומר לנו מהו הערך של x.
זה ההעתק שלנו.
מהי המהירות?
המהירות היא הנגזרת של ההעתק, נכון?
המהירות, בנקודה כלשהי, היא
הנגזרת של הפונקציה הזאת.
קצב השינוי של הפונקציה הזאת, ביחס ל- t.
אז נחשב את קצב השינוי ביחס
ל- t.
אני יכול לכתוב את זה כ- dx ל- dt.
מהי התאוצה?
התאוצה היא קצב השינוי של
המהירות, נכון?
כלומר צריך לקחת את הנגזרת של זה.
דרך אחרת היא, לקחת את הנגזרת
השנייה של פונקצית ההעתק, נכון?
התאוצה שווה - אני רוצה להראות
לכם צורות כתיבה שונות - x תגיים
של t, הנגזרת השנייה של x
ביחס ל- t.
אפשר גם לכתוב, d בריבוע x,
חלקי dt בריבוע.
זאת הנגזרת השנייה.
נראה שהזמן הולך ואוזל.
נתראה בסירטון הבא.
תזכרו את מה שכתבתי כרגע.