-
Στο τελευταίο βίντεο κάναμε μερικά παραδείγματα όπου είχαμε δεκαδικούς με ένα επαναλαμβανόμενο ψηφίο και μπορέσαμε να τους μετατρέψουμε
-
σε κλάσματα και σε αυτό το βίντεο θέλω να κοιτάξουμε κάτι λιγάκι πιο ενδιαφέρον, να έχουμε πολλά επαναλαμβανόμενα ψηφία
-
Ας πούμε ότι έχουμε 0.26 επαναλαμβανόμενο, που είναι το ίδιο με 0 κόμμα, αφού η μπάρα
-
είναι πάνω και από το 3 και από το 6 επαναλαμβάνονται και τα δύο, 363636...και συνεχίζει επ' αόριστον.
-
Το κλειδί για αυτού του είδους τα προβλήματα είναι αντί να πολλαπλασιάσουμε
-
έτσι όπως κάναμε στο τελευταίο βίντεο που είπαμε ότι αυτό ισούται με x,
-
αντί να πολλαπλασιάσουμε με 10, το 10 θα το μετακινούσε μόνο μία θέση,
-
θέλουμε να πάμε το κόμμα τόσο όσο χρειάζεται ώστε να...
-
ώστε ύστερα να τα αντιστοιχίσουμε, τα μέρη των δεκαδικών θα είναι και πάλι το ένα κάτω από το άλλο.
-
Και για να το κάνουμε αυτό, θέλουμε να μετακινήσουμε την υποδιαστολή δύο θέσεις δεξιά.
-
Και για να τη μετακινήσουμε 2 θέσεις δεξιά πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με 100, ή 10 στη δευτέρα.
-
Έτσι, 100x θα ισούται με τι; Μετακινούμε αυτό δύο θέσεις δεξιά.
-
Μία...δύο... Έτσι, 100x ισούται με, ισούται με, η υποδιαστολή θα είναι εδώ τώρα.
-
Άρα θα είναι 36.363636... κλπ κλπ για πάντα.
-
Ας ξαναγράψω το x εδώ, θα το αφαιρέσουμε
-
από το 100x, το x ισούται με 0.36...36...36...36 και λοιπά.
-
Και προσέξτε πως όταν πολλαπλασιάζουμε με 100, τα τριάρια και τα εξάρια πάλι στοιχίζονται μεταξύ τους.
-
Όταν βάζουμε τα δεκαδικά, πρέπει πάντα να προσέχουμε να τα γράφουμε
-
σωστά, και ο λόγος για τον οποίο αυτό είναι χρήσιμο είναι γιατί τώρα που αφαιρούμε
-
x από 100x, αυτό, τα επαναλαμβανόμενα μέρη αλληλοακυρώνονται.
-
Ας αφαιρέσουμε, λοιπόν, ας αφαιρέσουμε αυτά τα δύο.
-
Έτσι, στα αριστερά έχουμε 100x μείον x, που μας δίνει 99x.
-
Και τώρα πάμε στη δεξιά πλευρά, αυτό το μέρος αναιρείται με αυτό
-
και έτσι μένουμε μόνο με 36, μένει μόνο το 36.
-
Μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με το 99 και τότε μένουμε με
-
το x = 36/99 όπου και ο αριθμητής και ο παρονομαστής
-
διαιρούνται από το 9, οπότε μπορούμε να το μικρύνουμε, διαιρούμε τον αριθμητή με 9 και παίρνουμε 4.
-
Τον παρονομαστή με 9, παίρνουμε 11, άρα 0.363636...
-
είναι 4/11. Ας κάνουμε ακόμα ένα ενδιαφέρον.
-
Ας πούμε ότι έχω, και θα το θέσω ίσο με x, ας πούμε ότι έχω τον αριθμό...
-
0.1714 και το 14 επαναλαμβάνεται.
-
Οπότε είναι το ίδιο πράγμα, αλλά παρατηρείστε ότι το 714 δε θα επαναλαμβάνεται ολόκληρο, μόνο το 14
-
θα επαναλαμβάνεται, οπότε θα είναι 0.7141414...
-
Λέμε, λοιπόν, ότι ισούται με x. Τώρα ίσως μπείτε σε πειρασμό να το πολλαπλασιάσετε με το 1000, για να μετακινήσετε την υποδιαστολή
-
μακριά από το 714.
-
Αλλά βασικά δεν θέλετε να το κάνετε αυτό, θέλετε να την μετακινήσετε όσο χρειάζεται για να είναι το επαναλαμβανόμενο
-
μέρος ακριβώς κάτω από το άλλο όταν κάνετε την αφαίρεση.
-
Έτσι ξανά σε αυτή την περίπτωση, αν και έχουμε τρεις δεκαδικούς αριθμούς
-
επειδή επαναλαμβάνονται μόνο οι δύο πρέπει απλά να το πολλαπλασιάσουμε με 10 στη δευτέρα.
-
Ξανά, λοιπόν, το πολλαπλασιάζουμε με 100
-
και έχουμε 100x ισούται με.... μετακινούμε την υποδιαστολή 2 θέσεις δεξιά...
-
Μία... δύο... οπότε τώρα θα είναι 71.414141...
-
Θα είναι 71.414141...
-
και ας ξαναγράψω το x από κάτω του, αυτό το x ισούται με
-
0.7141414... και παρατηρείστε πως τα 14
-
είναι ακριβώς κάτω το ένα από το άλλο, οπότε θα λειτουργήσει όταν αφαιρέσουμε.
-
Ας τα αφαιρέσουμε λοιπόν. 100x μείον x κάνει 99x, και
-
αυτά τα 14 θα αναιρέσουν αυτά τα 14.
-
Τώρα έχουμε 71,4 μείον 0.7, μπορούμε να το κάνουμε στο κεφάλι μας
-
ή μπορούμε να δανειστούμε αν θέλετε, θα μπορούσε αυτό να είναι 14, αυτό μηδέν,
-
οπότε έχετε .4, 14 - 7 = 7, και 70 - 0
-
άρα 99x ισούται με 70.7
-
και ύστερα διαιρούμε και τις δύο πλευρές με το 99 και τώρα αρχίζουν τα περίεργα
-
γιατί έχουμε ακόμα δεκαδικό, αλλά θα το φτιάξουμε αυτό στο τέλος.
-
Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με 99.
-
Ας διαιρέσουμε με 99, έχουμε x = 70.7/99
-
Προφανώς δεν το έχουμε σε καθαρό κλάσμα ακόμα αφού έχουμε δεκαδικό στον αριθμητή,
-
αλλά αυτό είναι απλό να το φτιάξουμε, απλά πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή
-
με 10 για να ξεφορτωθούμε το δεκαδικό, ας πολλαπλασιάσουμε λοιπόν τον αριθμητή με 10
-
και τον παρονομαστή με 10, ώστε παίρνουμε
-
707
-
707/990.
-
Ας κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα εδώ.
-
Ας πούμε ότι έχουμε κάτι του στιλ... ας το γράψω,
-
3.257257257... και θέλουμε να το μετατρέψουμε σε κλάσμα.
-
Ξανά λοιπόν, αυτό είναι ίσο με x, και ξέρουμε ότι αυτό θα είναι
-
3.257257257....
-
Αφού επαναλαμβάνονται 3 ψηφία θέλουμε να το πολλαπλασιάσουμε
-
με 1000x, 10 στην τρίτη δύναμη επί x, και
-
αυτό θα μετακινήσει την υποδιαστολή όσο πρέπει ώστε τα επαναλαμβανόμενα μέρη να αλληλοαναιρεθούν.
-
οπότε έχουμε, 1000x, το 1000x θα ισούται με τι;
-
Μπορούμε να μετακινήσουμε το σημείο των δεκαδικών προς τα δεξιά, μία, δύο, τρεις θέσεις, και θα είναι
-
3257.257257257...
-
Τ0 257 συνεχίζει για πάντα
-
και ύστερα θα αφαιρέσουμε το x από αυτό οπότε θα είναι
-
χ , ίσο με 3, θέλετε να είστε σίγουροι ότι το σημείο των δεκαδικών είναι ευθυγραμμισμένο με
-
το 3.257257257...
-
επ' άπειρον, παρατηρείστε πως όταν πολλαπλασιάζουμε με 1000 μας επιτρέπεται να ευθυγραμμίσουμε
-
τα 257 έτσι ώστε όταν αφαιρέσουμε το επαναλαμβανόμενο σημείο να ακυρώνεται.
-
Ας κάνουμε λοιπόν την αφαίρεση, στην αριστερή μεριά έχουμε 1000 από κάτι μέιον 1 από κάτι
-
απομένει 999 από αυτό το κάτι που ισούται με...
-
αυτό το σημείο αναιρείται με αυτό το σημείο, ισούται λοιπόν με...
-
αυτό είναι 7 μείον 3 κάνει 4, και μετά έχουμε αυτό το 5 και το 2 και το 3
-
οπότε έχουμε 900 και 99x ίσο με 3254.
-
Και ύστερα μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή....εεεμ να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές του 999
-
με 900 και 99
-
και μένουμε με x = 3254/999
-
και προφανώς αυτό είναι καταχρηστικό κλάσμα,
-
ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
-
Μπορούμε να το μετατρέψουμε σε απλό κλάσμα αν θέλουμε, ένας τρόπος είναι
-
να βρούμε με τι ισούται το .254254254...
-
και να έχουμε το 3 σαν τον ακέραιο ενός μεικτού κλάσματος
-
ή απλά να διαιρέσουμε το 3254 με το 999.
-
Βασικά μπορούμε να το κάνουμε σχετικά απλά, χωράει 3 φορές και το υπόλοιπο...
-
ας κάνω όλη τη διαίρεση.
-
Το 999 χωράει στο 3254
-
τρεις φορές, το ξέρουμε γιατί αυτό ήταν αρχικά 3.257
-
οπότε θα βρούμε ποιο είναι το υπόλοιπο, έτσι 3 x 9 κάνει 27
-
3 x 9 = 27,
-
προσθέτουμε το 2, έχουμε 29.
-
3 x 9 = 27 , + 2 = 29.
-
Έτσι μένουμε με... αν αφαιρέσουμε, ή ομαδοποιήσουμε ή δανειστούμε ή όπως θέλουμε να το πούμε,
-
αυτό θα είναι 14, αυτό θα είναι 4, ας το κάνω με καινούργιο χρώμα,
-
αυτό θα είναι 4, και το 4 και πάλι είναι μικρότερο από το 9, οπότε ξαναδανειζόμαστε,
-
και αυτό θα είναι 14, αυτό θα μπορούσε να είναι 1 αλλά είναι μικρότερο και πάλι από αυτό το 9, οπότε
-
ξαναδανειζόμαστε, θα είναι 11 και μετά αυτό το 2,
-
14 - 7 = 7, 14 - 9 = 5
-
11 - 9 = 2, και μένουμε λοιπόν με
-
ας το κάνω σωστά, ισούται λοιπόν με 3 257/999
-
και είμαστε έτοιμοι.