Triple Integrals 1

Introduction to the triple integral

Допустим, что я хотел бы найти объём куба где

параметры куба-- скажем x между-- x больше

или равен 0, и меньше или равен

ну, не знаю, 3.

Допустим что y больше или равен 0, и

меньше или равен 4.

И тогда скажем что z больше или равен 0 и

меньше или равен 2.

И, я не знаю, используя элементарную геометрию вы могли бы--

вы понимайте, просто умножать ширину на высоту на

глубену и у вы бы имели обём.

Но то что я хочу делать с етим примером, просто чтобы вы освоились с

тем как выглядит тройной интеграл, и как он относится к

двайному интегралу, и потом в следующим видео мы смогли бы делать

что то слегка труднее.

Так что давай нарисуем тот, этот обём.

Так что это моя ось x, это моя ось z, это y.

x, y, z.

ОК.

И так x между 0 и 3.

Так что x равен 0.

Это x это равен-- довай посмотрим, 1, 2, 3.

y между 0 и 4.

1, 2, 3, 4.

Так плоскость x-y будет выглядеть примерно так.

Остнование куба будет выглядеть как то так.

И тогда z между 0 и 2.

Так что 0 это плоскость x-y, и тогда 1, 2.

Так это было бы верхняя часть.

И может быть я зделаю немножко другим цветом.

Так что это вдоль оси x-z.

Вы бы имели границу здесь, и тогда она

входит так.

Вы бы имели границу здесь, входит так.

Границу там.

Так что мы хотим вычислить обём этого куба.

И вы могли бы сделать.

Ну, можно сказать, глубина 3, основа, ширина 4,

таким образом, в высоте, площади является 12 раз болше.

12 умножать на 2 это 24.

Можно сказать, что это 24 кубических единиц, независимо от

каких единицы мы используем.

Но давайте решим в тройном интеграле.

Так что токое тройной интеграл?

Ну, то что мы могли бы сделать это мы могли бы принять объём очень

маленького-- я не хочу сказать площади-- очень небольшого объёма.

Так что пусть я хотел взять объем небольшой куб.

Некоторые места в этом--в объеме под вопросом.

И начнем сделать больший смысл, или он начинает становиться

более полезным, когда у нас есть переменная границ участка и

поверхности и кривых как границы.

Но давайте скажем, что мы хотим выяснить объем этого

маленький, малые куб здесь.

Вот моя куб.

Это место в этом больших Кубе, это больше прямоугольник

кубический прямоугольник, все, что вы хотите назвать его.

Что же такое объем этого Куба?

Предположим что его ширина dy.

Таким образом, чтобы длина прямо здесь-dy.

Его высота-dx.

К сожалению его высота нет, dz, правильно?

Я нарисовал, z можно вверх и вниз.

И его глубина dx.

Это dx.

Это dz.

Это dy.

Так что вы можете сказать, что небольшой объем в этом контексте больше

Объём кузова--можно просто вызвать этот dv, который является своеобразной

объем дифференциального.

И это будет равным, можно сказать, это просто

Ширина раз длину раз высоты.

DX раз dy раз dz.

И можно было переключить заказы из них, правильно?

Потому что умножение ассоциативных и заказать

не имеет значения и все такое.

Но в любом случае, что вы можете сделать с ним здесь?

Ну мы можем взять интеграл.

Все интегралы помогают нам сделать это поможет нам принимать бесконечных сумм

бесконечно малых расстояниях, как dz или dx или

в dy и так далее.

Так, что мы могли бы сделать это, мы могли бы принять этот куб и

Во-первых добавить его в, скажем так, оси z.

Таким образом мы могли бы принять этот куб и затем добавить его вдоль вверх и

вниз оси — ось z — таким образом, чтобы мы получаем

объем столбца.

Так что бы это выглядеть?

Ну поскольку мы собираемся вверх и вниз, мы добавляем — мы уже

принимая на сумму в направлении оси z.

Нам пришлось бы интеграл.

И тогда что наименьшее значение z?

Ну это z равна 0.

И то, что верхняя граница?

Как если бы вы просто взять--держать добавить эти Кубы и

будет держать вверх, вы будет запускать в верхней границы.

И то, что верхняя граница?

Это z равен 2.

И конечно же, вы бы сумма этих dv.

И я буду писать dz сначала.

Просто так он напоминает нам, что мы собираемся

принять первый интеграл по z.

И предположим, что мы будем делать и дальше.

И тогда мы будем делать x.

Так что этот интеграл, это значение, как я написал его, будут

Выясните, объем столбца x и y.

Это будет в зависимости от x и y, но так как мы имеем дело с

Здесь все константы, это на самом деле будет

Постоянное значение.

Это будет постоянное значение объема одной

из этих столбцов.

Поэтому по сути дела это будет 2 раза dy dx.

Потому что высота одного из этих колонок-2,

и затем его с и его глубина dx и dy.

Так тогда, если мы хотим понять весь объем--то, что

Мы сделали это только сейчас, мы понял, высоту столбца.

Тогда мы могли бы взять эти столбцы и сложить их

по оси y.

Так что если мы суммирования по оси y, мы могли бы просто взять

еще один интеграл этой суммы по оси y.

И y идет от 0 до чего?
y идет от 0 до 4.

Я написал этот интеграл немного слишком далеко к

слева, он выглядит странно.

Но я думаю, что вы получите эту идею.

y равно 0, на что y равно 4.

И тогда это будут давать нам объем листа

параллельно плоскости zy.

А затем все, что нам осталось сделать, это добавить вверх кучу тех

листы по оси x, и мы будем иметь объем

нашей всей фигуры.

Таким образом, чтобы эти листы, мы бы не к сумме

по оси x.

И мы пошли бы от x равен 0, до x равно 3.

И оценивать это на самом деле довольно

простой.

Так что во-первых мы принимаем интеграл по z.

Ну у нас нет ничего написано здесь, но мы

можно просто предположим, что существует 1, право?

Потому что раз dz dy раз dx это то же самое, что

dz 1 раз раз dx, dy.

Что же такое значение этой неотъемлемой?

Ну первообразная 1 в

z-просто z, правильно?

Потому что производная z-1.

И вам оценить, от 2 до 0.

Так что тогда вы оставили с--так это 2 минус 0.

Так что вы просто оставили с 2.

Так что вы оставили с 2, и вы берете интеграл от

y равно 0, до y равно 4 dy и затем

у вас есть x.

От x равен 0, до что x равен 3 dx.

И Заметьте, когда мы только что взял интеграл

z, мы в конечном итоге с двойной интеграл.

И этот двойной интеграл является точное интеграл, у нас

сделано в предыдущем видео на двойной целостного, где вам

бы только что сказал, ну, z-функция x и y.

Таким образом можно написания, вы знаете, z, является функцией x

и y, всегда равно 2.

Она является постоянной функцией.

Она независима от x и y.

Но если вы определили z в таким образом и вы хотели бы

выяснить, тома по этой поверхности, где поверхность

z является равным 2--вы знаете, это представляет собой поверхность, z

равен 2 — которую мы закончили бы с этим.

Так что вы видите, что то, что мы делаем с тройной

неотъемлемой, это действительно, действительно ничего разные.

И вы можете быть удивлены, ну, почему же мы

делать это на всех?

И я покажу вам, в секунду.

Но в любом случае, чтобы оценить это, вы могли бы взять

Первообразная этого в y, вы получаете 2y--пусть

меня вниз, немного.

Вы получаете 2y оценки, на 4 и 0.

И затем, поэтому вы получаете 4 2 раза.

Таким образом это 8 минус 0.

И тогда вы интегрировать это с, с уважением

для x от 0 до 3.

Так что это 8 x от 0 до 3.

Так что это будет равна 24 четыре подразделения «три».

Так что я знаю, что очевидный вопрос, что это хорошо для?

Ну, если у вас есть своего рода постоянного значения в пределах

объем, вы правы.

Вы могли бы просто сделать двойной интеграл.

Но что делать, если я был бы сказать вам, наша цель состоит не в том, чтобы выяснить

объем этой фигуры.

Наша цель – понять, масса этой фигуры.

И даже больше, этот объем — это область пространства или

какой бы--его масса не является единообразной.

Если его масса единообразной, можно было просто умножить свою форму

плотность раз его объем, и вы получите его массу.

Но давайте скажем изменения плотности.

Это может быть объем некоторых газов или он может быть даже некоторые

материал с различными соединениями в нем.

Так давайте говорить, что его плотность — это переменная функция

из x, y и z.

Так что давайте скажем, что плотность — это строки эта вещь это выглядит

Подобно p является то, что обычно используется в физике для плотности--так

его плотность зависит от x, y и z.

--Просто чтобы сделать ее простой--давайте сделаем

Это x раз y раз z.

Если мы хотели выяснить, масса любого малого тома, он

было бы что объем раза плотность, право?

Потому что плотность--плотности указываются как кг

за метр Кубе.

Так что если вы умножить его времена метр «три», вы получаете килограммов.

Таким образом мы могли бы сказать, что масса--хорошо, я буду составляют нотации, d

масса--это не функция.

Ну, я не хочу писать в скобках, потому что он

делает это выглядит как функция.

Таким образом будет весьма дифференциального массы или очень небольшой массы,

равную плотность в тот момент, который будет xyz,

раза объем, что небольшой массы.

И что объем этой небольшой массы мы могли бы написать как dv.

И мы знаем, что dv это же самое, что ширина раз

Высота раза глубины.

DV не всегда должны быть dx раз dy раз dz.

Если мы делаем другие координат, если мы делаем

Полярные координаты, это может быть что-то немного другой.

И мы будем делать это в конечном итоге.

Но если мы хотели выяснить, массы, с тех пор мы с помощью

прямоугольные координаты, было бы функция плотности

в этот момент времени наш дифференциального объем.

Так раз dx dy dz.

И конечно, мы можем изменить порядок здесь.

Так что, когда вы хотите выяснить, Объём кузова--когда вы хотите

выяснить, масса — который я буду делать в следующем видео, мы

по существу должны интегрировать эту функцию.

В противовес только 1 z, y и x.

И я буду делать это в следующем видео.

И вы увидите, что это действительно просто много основных захват

первообразных функций и избегая неосторожного ошибок.

Я бас увижи в следушим видео.