1
00:00:00,740 --> 00:00:04,160
Допустим, что я хотел бы найти объём куба где

2
00:00:04,160 --> 00:00:07,150
параметры куба-- скажем x между-- x больше

3
00:00:07,150 --> 00:00:10,350
или равен 0, и меньше или равен

4
00:00:10,350 --> 00:00:11,780
ну, не знаю, 3.

5
00:00:11,780 --> 00:00:14,600
Допустим что y больше или равен 0, и

6
00:00:14,600 --> 00:00:17,000
меньше или равен 4.

7
00:00:17,000 --> 00:00:21,270
И тогда скажем что z больше или равен 0 и

8
00:00:21,270 --> 00:00:23,055
меньше или равен 2.

9
00:00:23,055 --> 00:00:26,650
И, я не знаю, используя элементарную геометрию вы могли бы--

10
00:00:26,650 --> 00:00:30,370
вы понимайте, просто умножать ширину на высоту на

11
00:00:30,370 --> 00:00:31,340
глубену и у вы бы имели обём.

12
00:00:31,340 --> 00:00:34,280
Но то что я хочу делать с етим примером, просто чтобы вы освоились с

13
00:00:34,280 --> 00:00:36,700
тем как выглядит тройной интеграл, и как он относится к

14
00:00:36,700 --> 00:00:39,180
двайному интегралу, и потом в следующим видео мы смогли бы делать

15
00:00:39,180 --> 00:00:40,290
что то слегка труднее.

16
00:00:40,290 --> 00:00:44,040
Так что давай нарисуем тот, этот обём.

17
00:00:44,040 --> 00:00:51,780
Так что это моя ось x, это моя ось z, это y.

18
00:00:54,330 --> 00:00:55,795
x, y, z.

19
00:00:59,600 --> 00:01:00,080
ОК.

20
00:01:00,080 --> 00:01:01,910
И так x между 0 и 3.

21
00:01:01,910 --> 00:01:03,070
Так что x равен 0.

22
00:01:03,070 --> 00:01:09,120
Это x это равен-- довай посмотрим, 1, 2, 3.

23
00:01:09,120 --> 00:01:10,570
y между 0 и 4.

24
00:01:10,570 --> 00:01:13,180
1, 2, 3, 4.

25
00:01:13,180 --> 00:01:15,450
Так плоскость x-y будет выглядеть примерно так.

26
00:01:15,450 --> 00:01:20,520
Остнование куба будет выглядеть как то так.

27
00:01:20,520 --> 00:01:21,770
И тогда z между 0 и 2.

28
00:01:21,770 --> 00:01:25,350
Так что 0 это плоскость x-y, и тогда 1, 2.

29
00:01:25,350 --> 00:01:27,130
Так это было бы верхняя часть.

30
00:01:27,130 --> 00:01:30,600
И может быть я зделаю немножко другим цветом.

31
00:01:30,600 --> 00:01:34,520
Так что это вдоль оси x-z.

32
00:01:34,520 --> 00:01:36,360
Вы бы имели границу здесь, и тогда она

33
00:01:36,360 --> 00:01:38,316
входит так.

34
00:01:38,316 --> 00:01:41,850
Вы бы имели границу здесь, входит так.

35
00:01:41,850 --> 00:01:43,810
Границу там.

36
00:01:43,810 --> 00:01:45,600
Так что мы хотим вычислить обём этого куба.

37
00:01:45,600 --> 00:01:46,370
И вы могли бы сделать.

38
00:01:46,370 --> 00:01:51,540
Ну, можно сказать, глубина 3, основа, ширина 4,

39
00:01:51,540 --> 00:01:53,920
таким образом, в высоте, площади является 12 раз болше.

40
00:01:53,920 --> 00:01:55,170
12 умножать на 2 это 24.

41
00:01:55,170 --> 00:01:58,980
Можно сказать, что это 24 кубических единиц, независимо от

42
00:01:58,980 --> 00:01:59,630
каких единицы мы используем.

43
00:01:59,630 --> 00:02:01,990
Но давайте решим в тройном интеграле.

44
00:02:01,990 --> 00:02:03,640
Так что токое тройной интеграл?

45
00:02:03,640 --> 00:02:07,110
Ну, то что мы могли бы сделать это мы могли бы принять объём очень

46
00:02:07,110 --> 00:02:10,670
маленького-- я не хочу сказать площади-- очень небольшого объёма.

47
00:02:10,670 --> 00:02:14,770
Так что пусть я хотел взять объем небольшой куб.

48
00:02:14,770 --> 00:02:17,810
Некоторые места в этом--в объеме под вопросом.

49
00:02:17,810 --> 00:02:20,160
И начнем сделать больший смысл, или он начинает становиться

50
00:02:20,160 --> 00:02:22,860
более полезным, когда у нас есть переменная границ участка и

51
00:02:22,860 --> 00:02:25,050
поверхности и кривых как границы.

52
00:02:25,050 --> 00:02:26,840
Но давайте скажем, что мы хотим выяснить объем этого

53
00:02:26,840 --> 00:02:29,780
маленький, малые куб здесь.

54
00:02:29,780 --> 00:02:30,590
Вот моя куб.

55
00:02:30,590 --> 00:02:33,630
Это место в этом больших Кубе, это больше прямоугольник

56
00:02:33,630 --> 00:02:35,460
кубический прямоугольник, все, что вы хотите назвать его.

57
00:02:35,460 --> 00:02:36,540
Что же такое объем этого Куба?

58
00:02:36,540 --> 00:02:38,930
Предположим что его ширина dy.

59
00:02:42,320 --> 00:02:44,010
Таким образом, чтобы длина прямо здесь-dy.

60
00:02:44,010 --> 00:02:46,810
Его высота-dx.

61
00:02:46,810 --> 00:02:49,660
К сожалению его высота нет, dz, правильно?

62
00:02:49,660 --> 00:02:51,840
Я нарисовал, z можно вверх и вниз.

63
00:02:51,840 --> 00:02:53,860
И его глубина dx.

64
00:02:53,860 --> 00:02:55,940
Это dx.

65
00:02:55,940 --> 00:02:56,750
Это dz.

66
00:02:56,750 --> 00:02:57,720
Это dy.

67
00:02:57,720 --> 00:03:01,260
Так что вы можете сказать, что небольшой объем в этом контексте больше

68
00:03:01,260 --> 00:03:04,830
Объём кузова--можно просто вызвать этот dv, который является своеобразной

69
00:03:04,830 --> 00:03:06,750
объем дифференциального.

70
00:03:06,750 --> 00:03:10,290
И это будет равным, можно сказать, это просто

71
00:03:10,290 --> 00:03:13,990
Ширина раз длину раз высоты.

72
00:03:13,990 --> 00:03:15,950
DX раз dy раз dz.

73
00:03:15,950 --> 00:03:17,760
И можно было переключить заказы из них, правильно?

74
00:03:17,760 --> 00:03:21,010
Потому что умножение ассоциативных и заказать

75
00:03:21,010 --> 00:03:22,920
не имеет значения и все такое.

76
00:03:22,920 --> 00:03:24,540
Но в любом случае, что вы можете сделать с ним здесь?

77
00:03:24,540 --> 00:03:27,290
Ну мы можем взять интеграл.

78
00:03:27,290 --> 00:03:32,520
Все интегралы помогают нам сделать это поможет нам принимать бесконечных сумм

79
00:03:32,520 --> 00:03:36,080
бесконечно малых расстояниях, как dz или dx или

80
00:03:36,080 --> 00:03:38,240
в dy и так далее.

81
00:03:38,240 --> 00:03:41,620
Так, что мы могли бы сделать это, мы могли бы принять этот куб и

82
00:03:41,620 --> 00:03:44,110
Во-первых добавить его в, скажем так, оси z.

83
00:03:44,110 --> 00:03:48,330
Таким образом мы могли бы принять этот куб и затем добавить его вдоль вверх и

84
00:03:48,330 --> 00:03:51,230
вниз оси — ось z — таким образом, чтобы мы получаем

85
00:03:51,230 --> 00:03:52,410
объем столбца.

86
00:03:52,410 --> 00:03:54,550
Так что бы это выглядеть?

87
00:03:54,550 --> 00:03:56,930
Ну поскольку мы собираемся вверх и вниз, мы добавляем — мы уже

88
00:03:56,930 --> 00:04:00,670
принимая на сумму в направлении оси z.

89
00:04:00,670 --> 00:04:02,610
Нам пришлось бы интеграл.

90
00:04:02,610 --> 00:04:04,655
И тогда что наименьшее значение z?

91
00:04:04,655 --> 00:04:08,310
Ну это z равна 0.

92
00:04:08,310 --> 00:04:09,280
И то, что верхняя граница?

93
00:04:09,280 --> 00:04:12,070
Как если бы вы просто взять--держать добавить эти Кубы и

94
00:04:12,070 --> 00:04:14,190
будет держать вверх, вы будет запускать в верхней границы.

95
00:04:14,190 --> 00:04:14,770
И то, что верхняя граница?

96
00:04:14,770 --> 00:04:16,100
Это z равен 2.

97
00:04:20,580 --> 00:04:25,010
И конечно же, вы бы сумма этих dv.

98
00:04:25,010 --> 00:04:26,130
И я буду писать dz сначала.

99
00:04:26,130 --> 00:04:28,170
Просто так он напоминает нам, что мы собираемся

100
00:04:28,170 --> 00:04:30,430
принять первый интеграл по z.

101
00:04:30,430 --> 00:04:32,010
И предположим, что мы будем делать и дальше.

102
00:04:32,010 --> 00:04:34,200
И тогда мы будем делать x.

103
00:04:34,200 --> 00:04:37,430
Так что этот интеграл, это значение, как я написал его, будут

104
00:04:37,430 --> 00:04:42,020
Выясните, объем столбца x и y.

105
00:04:42,020 --> 00:04:45,240
Это будет в зависимости от x и y, но так как мы имеем дело с

106
00:04:45,240 --> 00:04:47,130
Здесь все константы, это на самом деле будет

107
00:04:47,130 --> 00:04:48,600
Постоянное значение.

108
00:04:48,600 --> 00:04:52,160
Это будет постоянное значение объема одной

109
00:04:52,160 --> 00:04:53,890
из этих столбцов.

110
00:04:53,890 --> 00:04:56,580
Поэтому по сути дела это будет 2 раза dy dx.

111
00:04:56,580 --> 00:04:59,330
Потому что высота одного из этих колонок-2,

112
00:04:59,330 --> 00:05:03,710
и затем его с и его глубина dx и dy.

113
00:05:03,710 --> 00:05:06,570
Так тогда, если мы хотим понять весь объем--то, что

114
00:05:06,570 --> 00:05:09,270
Мы сделали это только сейчас, мы понял, высоту столбца.

115
00:05:09,270 --> 00:05:11,300
Тогда мы могли бы взять эти столбцы и сложить их

116
00:05:11,300 --> 00:05:13,730
по оси y.

117
00:05:13,730 --> 00:05:15,710
Так что если мы суммирования по оси y, мы могли бы просто взять

118
00:05:15,710 --> 00:05:20,340
еще один интеграл этой суммы по оси y.

119
00:05:20,340 --> 00:05:25,650
И y идет от 0 до чего?
y идет от 0 до 4.

120
00:05:25,650 --> 00:05:27,180
Я написал этот интеграл немного слишком далеко к

121
00:05:27,180 --> 00:05:28,300
слева, он выглядит странно.

122
00:05:28,300 --> 00:05:31,000
Но я думаю, что вы получите эту идею.

123
00:05:31,000 --> 00:05:33,390
y равно 0, на что y равно 4.

124
00:05:33,390 --> 00:05:37,420
И тогда это будут давать нам объем листа

125
00:05:37,420 --> 00:05:40,290
параллельно плоскости zy.

126
00:05:40,290 --> 00:05:44,250
А затем все, что нам осталось сделать, это добавить вверх кучу тех

127
00:05:44,250 --> 00:05:46,570
листы по оси x, и мы будем иметь объем

128
00:05:46,570 --> 00:05:48,210
нашей всей фигуры.

129
00:05:48,210 --> 00:05:50,190
Таким образом, чтобы эти листы, мы бы не к сумме

130
00:05:50,190 --> 00:05:51,750
по оси x.

131
00:05:51,750 --> 00:05:57,060
И мы пошли бы от x равен 0, до x равно 3.

132
00:05:57,060 --> 00:05:58,660
И оценивать это на самом деле довольно

133
00:05:58,660 --> 00:05:59,690
простой.

134
00:05:59,690 --> 00:06:03,020
Так что во-первых мы принимаем интеграл по z.

135
00:06:03,020 --> 00:06:05,090
Ну у нас нет ничего написано здесь, но мы

136
00:06:05,090 --> 00:06:06,740
можно просто предположим, что существует 1, право?

137
00:06:06,740 --> 00:06:10,160
Потому что раз dz dy раз dx это то же самое, что

138
00:06:10,160 --> 00:06:12,940
dz 1 раз раз dx, dy.

139
00:06:12,940 --> 00:06:15,500
Что же такое значение этой неотъемлемой?

140
00:06:15,500 --> 00:06:18,760
Ну первообразная 1 в

141
00:06:18,760 --> 00:06:20,650
z-просто z, правильно?

142
00:06:20,650 --> 00:06:22,700
Потому что производная z-1.

143
00:06:22,700 --> 00:06:27,640
И вам оценить, от 2 до 0.

144
00:06:27,640 --> 00:06:30,210
Так что тогда вы оставили с--так это 2 минус 0.

145
00:06:30,210 --> 00:06:31,580
Так что вы просто оставили с 2.

146
00:06:31,580 --> 00:06:34,390
Так что вы оставили с 2, и вы берете интеграл от

147
00:06:34,390 --> 00:06:38,080
y равно 0, до y равно 4 dy и затем

148
00:06:38,080 --> 00:06:40,060
у вас есть x.

149
00:06:40,060 --> 00:06:45,280
От x равен 0, до что x равен 3 dx.

150
00:06:45,280 --> 00:06:48,440
И Заметьте, когда мы только что взял интеграл

151
00:06:48,440 --> 00:06:50,210
z, мы в конечном итоге с двойной интеграл.

152
00:06:50,210 --> 00:06:52,830
И этот двойной интеграл является точное интеграл, у нас

153
00:06:52,830 --> 00:06:56,440
сделано в предыдущем видео на двойной целостного, где вам

154
00:06:56,440 --> 00:06:59,510
бы только что сказал, ну, z-функция x и y.

155
00:06:59,510 --> 00:07:01,880
Таким образом можно написания, вы знаете, z, является функцией x

156
00:07:01,880 --> 00:07:04,230
и y, всегда равно 2.

157
00:07:04,230 --> 00:07:05,180
Она является постоянной функцией.

158
00:07:05,180 --> 00:07:06,980
Она независима от x и y.

159
00:07:06,980 --> 00:07:09,210
Но если вы определили z в таким образом и вы хотели бы

160
00:07:09,210 --> 00:07:11,985
выяснить, тома по этой поверхности, где поверхность

161
00:07:11,985 --> 00:07:15,370
z является равным 2--вы знаете, это представляет собой поверхность, z

162
00:07:15,370 --> 00:07:17,580
равен 2 — которую мы закончили бы с этим.

163
00:07:17,580 --> 00:07:19,130
Так что вы видите, что то, что мы делаем с тройной

164
00:07:19,130 --> 00:07:21,030
неотъемлемой, это действительно, действительно ничего разные.

165
00:07:21,030 --> 00:07:22,060
И вы можете быть удивлены, ну, почему же мы

166
00:07:22,060 --> 00:07:22,840
делать это на всех?

167
00:07:22,840 --> 00:07:25,730
И я покажу вам, в секунду.

168
00:07:25,730 --> 00:07:28,320
Но в любом случае, чтобы оценить это, вы могли бы взять

169
00:07:28,320 --> 00:07:32,070
Первообразная этого в y, вы получаете 2y--пусть

170
00:07:32,070 --> 00:07:33,760
меня вниз, немного.

171
00:07:33,760 --> 00:07:38,530
Вы получаете 2y оценки, на 4 и 0.

172
00:07:38,530 --> 00:07:41,150
И затем, поэтому вы получаете 4 2 раза.

173
00:07:41,150 --> 00:07:42,540
Таким образом это 8 минус 0.

174
00:07:42,540 --> 00:07:46,070
И тогда вы интегрировать это с, с уважением

175
00:07:46,070 --> 00:07:48,340
для x от 0 до 3.

176
00:07:48,340 --> 00:07:52,430
Так что это 8 x от 0 до 3.

177
00:07:52,430 --> 00:07:55,430
Так что это будет равна 24 четыре подразделения «три».

178
00:07:55,430 --> 00:07:59,780
Так что я знаю, что очевидный вопрос, что это хорошо для?

179
00:07:59,780 --> 00:08:05,420
Ну, если у вас есть своего рода постоянного значения в пределах

180
00:08:05,420 --> 00:08:06,400
объем, вы правы.

181
00:08:06,400 --> 00:08:08,230
Вы могли бы просто сделать двойной интеграл.

182
00:08:08,230 --> 00:08:11,610
Но что делать, если я был бы сказать вам, наша цель состоит не в том, чтобы выяснить

183
00:08:11,610 --> 00:08:13,670
объем этой фигуры.

184
00:08:13,670 --> 00:08:16,550
Наша цель – понять, масса этой фигуры.

185
00:08:16,550 --> 00:08:21,660
И даже больше, этот объем — это область пространства или

186
00:08:21,660 --> 00:08:23,670
какой бы--его масса не является единообразной.

187
00:08:23,670 --> 00:08:28,190
Если его масса единообразной, можно было просто умножить свою форму

188
00:08:28,190 --> 00:08:31,240
плотность раз его объем, и вы получите его массу.

189
00:08:31,240 --> 00:08:33,040
Но давайте скажем изменения плотности.

190
00:08:33,040 --> 00:08:36,340
Это может быть объем некоторых газов или он может быть даже некоторые

191
00:08:36,340 --> 00:08:39,070
материал с различными соединениями в нем.

192
00:08:39,070 --> 00:08:42,370
Так давайте говорить, что его плотность — это переменная функция

193
00:08:42,370 --> 00:08:43,240
из x, y и z.

194
00:08:43,240 --> 00:08:47,650
Так что давайте скажем, что плотность — это строки эта вещь это выглядит

195
00:08:47,650 --> 00:08:50,720
Подобно p является то, что обычно используется в физике для плотности--так

196
00:08:50,720 --> 00:08:54,390
его плотность зависит от x, y и z.

197
00:08:54,390 --> 00:08:55,710
--Просто чтобы сделать ее простой--давайте сделаем

198
00:08:55,710 --> 00:08:59,840
Это x раз y раз z.

199
00:08:59,840 --> 00:09:06,020
Если мы хотели выяснить, масса любого малого тома, он

200
00:09:06,020 --> 00:09:08,440
было бы что объем раза плотность, право?

201
00:09:08,440 --> 00:09:12,190
Потому что плотность--плотности указываются как кг

202
00:09:12,190 --> 00:09:13,590
за метр Кубе.

203
00:09:13,590 --> 00:09:16,400
Так что если вы умножить его времена метр «три», вы получаете килограммов.

204
00:09:16,400 --> 00:09:20,260
Таким образом мы могли бы сказать, что масса--хорошо, я буду составляют нотации, d

205
00:09:20,260 --> 00:09:23,730
масса--это не функция.

206
00:09:23,730 --> 00:09:25,230
Ну, я не хочу писать в скобках, потому что он

207
00:09:25,230 --> 00:09:26,230
делает это выглядит как функция.

208
00:09:26,230 --> 00:09:30,490
Таким образом будет весьма дифференциального массы или очень небольшой массы,

209
00:09:30,490 --> 00:09:35,860
равную плотность в тот момент, который будет xyz,

210
00:09:35,860 --> 00:09:39,810
раза объем, что небольшой массы.

211
00:09:39,810 --> 00:09:42,780
И что объем этой небольшой массы мы могли бы написать как dv.

212
00:09:42,780 --> 00:09:48,790
И мы знаем, что dv это же самое, что ширина раз

213
00:09:48,790 --> 00:09:49,670
Высота раза глубины.

214
00:09:49,670 --> 00:09:52,350
DV не всегда должны быть dx раз dy раз dz.

215
00:09:52,350 --> 00:09:54,000
Если мы делаем другие координат, если мы делаем

216
00:09:54,000 --> 00:09:57,670
Полярные координаты, это может быть что-то немного другой.

217
00:09:57,670 --> 00:09:59,160
И мы будем делать это в конечном итоге.

218
00:09:59,160 --> 00:10:01,280
Но если мы хотели выяснить, массы, с тех пор мы с помощью

219
00:10:01,280 --> 00:10:03,550
прямоугольные координаты, было бы функция плотности

220
00:10:03,550 --> 00:10:07,030
в этот момент времени наш дифференциального объем.

221
00:10:07,030 --> 00:10:11,330
Так раз dx dy dz.

222
00:10:11,330 --> 00:10:13,870
И конечно, мы можем изменить порядок здесь.

223
00:10:13,870 --> 00:10:16,386
Так что, когда вы хотите выяснить, Объём кузова--когда вы хотите

224
00:10:16,386 --> 00:10:19,000
выяснить, масса — который я буду делать в следующем видео, мы

225
00:10:19,000 --> 00:10:21,290
по существу должны интегрировать эту функцию.

226
00:10:21,290 --> 00:10:27,400
В противовес только 1 z, y и x.

227
00:10:27,400 --> 00:10:28,690
И я буду делать это в следующем видео.

228
00:10:28,690 --> 00:10:32,050
И вы увидите, что это действительно просто много основных захват

229
00:10:32,050 --> 00:10:34,700
первообразных функций и избегая неосторожного ошибок.

230
00:10:34,700 --> 00:10:37,280
Я бас увижи в следушим видео.