Pourquoi les retenues fonctionnent

An explanation of why (not how) borrowing/regrouping works when subtracting numbers

Bienvenue dans la présentation du pourquoi, et non pas du comment, fonctionnent les retenues.

Et je pense que c'est très important parce que beaucoup de

gens, même parmi ceux qui connaissent bien les mathématiques ou ont un diplôme élevé,

ne comprennent pas exactement pourquoi les retenues fonctionnent.

C'est l'objet de cette présentation.

Disons que j'ai un problème de soustraction

1000 - ça c'est un zéro.

1005 moins 616.

Ce que je vais faire, c'est que je vais écrire le même problème

d'une manière légèrement différente.

Nous pourrions appeler ça la forme développée.

1005 - ce que je vais faire c'est que je vais séparer

les chiffres pour les mettre chacun à leur place.

Donc c'est égal à 1000, plus disons zéro centaine,

plus zéro dizaine, plus 5.

1005 c'est juste 1000 plus 0 plus 0, plus 5.

Et ensuite c'est moins 616.

Donc, c'est moins 600 moins 10 moins 6.

616 pourrait être réécrit 600 + 10 + 6.

Et j'ai mis un moins là-bas parce que nous soustrayons

tout ça.

Donc faisons ce problème.

Ce que vous savez, si vous avez l'habitude des retenues, vous savez que ce 5 est

plut petit que ce 6, donc nous devons faire en sorte que ce 5 devienne

un nombre plus grand pour que nous puissions lui enlever 6.

Bien, nous savons avec les retenues habituelles que nous devons

retenir 1 de quelque part pour faire de ceci un 15.

Mais ce que je veux faire en réalité, c'est comprendre d'où

provient ce 1, ou plutôt d'où provient ce 10.

Parce que si vous transformez ce 5 en un 15, vous devez en fait

y ajouter 10.

Eh bien, si on regarde ce nombre en haut, le seul endroit d'où

un 10 pourrait provenir c'est d'ici, c'est de ce 1000. Pas vrai ?

Mais ce qu'on va faire puisque c'est la position des milliers,

au lieu de retenir 10 d'ici, ce qui en ferait

un problème très compliqué, je vais retenir

1000 d'ici. OK ?

Je vais me débarrasser de ce 1000.

Et j'ai un 1000 que j'ai pris à partir de ce 1000.

Donc j'ai 1000, que j'ai pris de ce millier, que je peux distribuer dans

ces 3 cases.

Dans les cases des centaines, des dizaines et des unités.

Bien, on a besoin de 10 ici, on va donc mettre 10 ici.

Donc ça fait 10 plus 5, égal 15.

On a notre 15.

Si on a retenu 10 à partir du 1000, il nous reste 990.

Donc on pourrait mettre 900 ici et 90 ici. Pas vrai ?

Au passage, on vient de dire - donc on avait 1000 et on l'a juste réécrit

comme étant 900 plus 90 plus 10.

Et nous avons ajouté ce 10 à ce 5.

Et maintenant, on peut faire cette soustraction comme on ferait

dans un problème normal.

15 moins 6, ça fait 9.

90 moins 10, ça fait 80.

900 moins 600, ça fait 300.

Donc 300 + 80 + 9, ça fait 389.

Et voyons comment on aurait fait traditionnellement et vérifions

que ça se serait traduit de la même manière.

Donc, la façon dont je l'enseigne, et je ne sais pas si c'est vraiment

la manière habituelle d'enseigner la retenue, c'est que je dis : OK, je dois

transformer ce 5 en 15.

Je dois donc retenir un 1 de quelque part.

En fait, on sait par ce côté du problème qu'on a

retenu un 10 puisque c'est ce qui en a fait un 15.

Si on veut retenir 1, je dirais : bon, est-ce que je peux

retenir 1 à partir de zéro ?

Non.

Est-ce que je peux retenir 1 de ce zéro ?

Non.

Je pourrais le retenir ici, mais je le retiens

à partir de 100, d'accord ?

Donc 100 moins 1, ça fait 99.

Donc c'est comme ça que je fais.

Et je dis 15 moins 6 égal 9.

9 moins 1 égal 8.

Et là, 9 moins 6, ça fait 300.

Donc la façon dont je viens de le faire est nettement plus rapide et, je pense

qu'on peut dire qu'elle est plus facile, mais beaucoup de gens pourraient dire : ok,

Sal, mais ça ressemble un peu à de la magie.

t'as juste pris ce 5, mis un 1 dessus, et puis t'as retenu

1 à partir de ce 100 là.

Mais en réalité, ce que j'ai fait, c'est juste là.

J'ai pris 1000 à partir de ce 1 et j'ai redistribué ce 1000

parmi les centaines, les dizaines et les unités.

Laissez-moi prendre un autre exemple.

Je pense que ça pourra clarifier un peu plus

pourquoi la retenue fonctionne.

Laissez-moi prendre un problème plus simple.

En fait, j'ai commencé par un problème qui a tendance à

troubler la plupart des gens.

Disons que j'ai

732

moins - Laissez-moi en faire un assez simple.

Moins 23.

Des fois ces 3 sortent bizarrement.

Bon, on vient d'apprendre que c'est la même chose que 700 plus

30 plus 2 moins 20 moins 3.

Donc on voit ce 2, 2 est plus petit que 3, donc on ne peut pas soustraire.

Est-ce que ça ne serait pas super si on pouvait obtenir un 10 de quelque part?

On pourrait prendre un 10 d'ici.

On fait de ceci un 20, et on ajoute le 10 au 2, et on obtient 12.

Et vous voyez, 700 plus 20 plus 12, ça fait toujours 732.

Donc on n'a pas du tout changé le nombre du haut.

On a juste redistribué ses quantités vers les

différentes positions.

Et maintenant on est prêts à soustraire.

12 moins 3 égal 9.

20 moins 20 égal 0, puis vous descendez le 700.

Vous obtenez 700 + 0 + 9, ce qui est la même chose que 709.

Et c'est la raison pour laquelle cette retenue va fonctionner.

Donc, on se dit : tiens, retenons 1 à partir de ce 3.

Ça en fait un 2.

Ça, ça devient un 12.

Et puis on soustrait.

neuf, zéro, sept.

Faisons un autre problème, un dernier.

Et encore une fois, vous n'avez pas à le faire de cette façon.

Vous n'est pas obligés à chaque fois que vous faites une soustraction

de la faire de cette façon.

Bien que si jamais vous avez du mal, vous pouvez le faire comme ça

et vous ne ferez pas d'erreur, et vous allez vraiment

comprendre ce que vous faites.

Mais si vous êtes sur une épreuve et que vous devez faire les choses très vite

vous devriez les faire de la manière habituelle.

Mais il faut beaucoup d'entrainement pour s'assurer qu'on ne fait

jamais quoi que ce soit de travers.

Et c'est ça le problème.

Les gens n'apprennent que les règles, et puis ils oublient les

règles, et puis ils oublient comment le faire.

Si vous apprenez ce que vous faites, vous ne l'oublierez jamais vraiment

car vous comprendrez ce que ça veut dire.

Faisons un autre problème.

Si j'avais 512

moins 38

Donc, continuons à le faire comme je viens de vous montrer.

C'est la même chose que 500 plus 10

plus 2 moins 30 moins 8.

Donc, 2 est plus petit que 8.

J'ai besoin d'un 10 de quelque part.

Donc, une possibilité qu'on a, c'est qu'on peut prendre

le 10 d'ici.

Donc ça devient zéro.

Et ça, ça deviendra un 12.

Notez que 500 + 0 + 12, c'est encore la même chose que 512.

Donc, on pourrait soustraire.

12 moins 8 égal 4.

Mais ici on voit que ce zéro est plus petit que 30, donc on ne peut pas soustraire.

Mais on peut prendre une retenue sur le 500.

Donc, on n'a besoin que de 100, donc si on transforme ça en 100, donc on

a pris le 100 du 500.

Ça devient 400.

Je viens de réécrire 500 comme étant 400 plus 100.

Maintenant je peux soustraire.

100 moins 30 égal 70.

On descend le 400.

Et c'est la même chose que 474.

Et la façon dont vous apprenez à le faire à l'école est que vous dites : oh,

bon, 2 est plus petit que 8, donc je vais retenir 1.

Ça devient 12.

Ça devient un zéro.

0 est plus petit que 3, donc je vais emprunter 1 à partir de ce 5.

Ça fait 4.

Ça devient 10.

Donc vous dites 12 moins 8 égal 4.

10 moins 3 égal 7 et vous descendez le 4.

Espérons que ce que j'ai fait ici vous donnera une intuition

pour comprendre pourquoi les retenues fonctionnent.

Et c'est quelque chose que je n'ai vraiment compris

qu'un certain temps après avoir appris à poser les retenues.

Et si vous avez appris cela, vous vous rendrez compte que ce que vous faites

ici n'est pas vraiment magique.

Et avec un peu de chance vous ne devriez jamais oublier ce que vous être en train de faire

et vous pouvez toujours réfléchir à ce qui arrive

concrètement aux chiffres quand vous faites des retenues.

J'espère que vous avez trouvé ça utile.

On se retrouve plus tard.

A bientôt.