Системи уравнения

systems of equations

Добре дошли на представянето на системи от линейни уравнения.

Нека започнем и видим за какво става въпрос.

Да кажем, че имам две уравнения.

Първото:

9х - 4у = - 78

а второто:

4х + у = -18

Това, което ще направим,

е да използваме двете уравнения, за да решим х и у.

Вече знаем, че ако имаме едно уравнения,

което има едно неизвестно, то е много лесно за решаване.

Но сега имаме две уравнения.

Все едно имаме две ограничения.

И ще решаваме и двете неизвестни.

Може да сте малко объркани.

Как става?

Магия ли е, че две уравнения могат да решат

две неизвестни?

Ами не е.

Защото можете да преобразувате тези уравнения,

така че да изглеждат от вида:

у = mx + b

Няма да чертая тези две уравнения,

защото не знам как изглеждат, но ако това е координатната ос,

и не знам как изглежда първата функция (линия),

можем да направим друг пример, който сме сметнали,

но нека да кажем, че първата,

където х и у изпълняват 9х - 4у = -78

изглежда по този начин.

Да кажем че х и у, които удовлетворяват второто уравение

4х + у = -18

изглежда така.

Добре.

Така, линията, чиито х и у удовлетворяват това уравнения

и зелената линия за х и у,

които изпълняват второто уравнение.

Но само една двойка х и у удовлетворява и двете уравнения

и може да познаете къде се случва -

точно тук.

Каквато и да е тази точка - ще наблегна на нея и ще я нарисувам в розово.

Каквато и да е точката, забележете, че е и на двете линии.

Каквито и да са х и у тук, те ще са решението

на системата уравнения.

Сега нека разберем как да ги решим.

Трябва да премахнем едно неизвестно,

защото ако го няма, може просто да решим

неизвестното, което е останало.

И правим това като... искам да премахна

това у, и мисля, че ще усетите

как можем да го правим по-нататък.

Ще подходя към проблема като направя така,

че това у и другото у се неутрализират.

В момента не се наутрализират, затова

ще умножа долното уравнение по 4 и мисля,

че е очевидно защо го правя.

Да умножим долното уравнение по 4.

Получавам 16х + 4у = - 72

Нали?

Просто умножих и двете страни

на уравнението по 4.

Трябва да умножите всеки член, заради

разпределителното свойство на двете страни.

Каквото направите на едната страна, трябва да направите и на другата.

Нека препиша горното уравнение.

Ще го напиша в същия цвят, за да

следим нещата по-лесно.

9х - 4у = -78

Добре, сега, ако събираме тези две уравнения,

когато ги събираш, просто събираш левите

и десните страни.

Когато събираш, имаш 16х + 9х.

Това е 25х.

Така?

16 + 9.

4 - 4, това е 0.

Та, това е + 0 равно на -72 плюс -78.

Това е -150.

Просто ги събираме.

Имаме 25х = -150

Може просто да разделимдвете страни на 25 или да умножим

и двете страни по 1/25, едно и също е.

И получавате, (това е -150)

х = -6.

Решихме за абсцисната ос (за х).

За да решим за ординатната ос (за у) просто може да вземем едно от

горните ураявнения.

Да използваме това, то изглежда

малко по-лесно.

Просто заместваме х там и получаваме

4 . (-6) + у = -18

Горе.

-24 + у = -18

И после у = 24 - 18

Т.е. у = 6.

Значи тези две функции, или две уравнения,

се пресичат когато х е -6 и у е 6.

Значи те се пресичат някъде тук.

Нарисувах ги така, макар че функциите сигурно изглеждат по-скоро така.

Но това е супер, нали?

Ние успяхме да решим две неизвестни с две уравнения.

Колко ли време имаме.

Май има време да решим още една задача.

Да кажем, че имаме уравненията-

в други цветове, -7 - 4х = 9,

и второто:

х + 2у = 3.

Ако трябваше да го направя възможно най-бързо,

бих умножил това уравнение по 7 и автоматично

ще се неутрализират.

Но това е лесният начин.

Ще ви покажа, че понякога може да се наложи

да умножите и двете уравнения - всъшност не в този случай.

Нека го направим по бързия начин много бързо.

Умножаваме долното уравнение по 7.

Причината да искам да го умножавам по 7, е,

защото искам да се неутрализират с това.

Ако умножите по 7 получавате 7х + 14у = 21.

Да напишем първото уравнение отново.

-7х - 14у = 9.

Сега просто събираме.

Това е положително 7, прилича на отрицателно.

Това е нула.

10у = 30

у = 3

Просто заместваме обратно в някое от уравненията,

хайде да е това.

х + 2.у, у е 3

х + 6 = 3

Получаваме, че х = -3

Това беше супер лесно.

Тук се пресичат.

Надявам се, че не го направих твърде бързо.

Може да натиснете пауза и да го гледате отново, ако искате.

Добре, тези две линии се пресичат в точките

(-3; 3)

Да направим още едно.

Надявам се да е по-трудно.

Мисле, че да.

Добре, -3х - 9у = 66

-7х + 4у = -71

Тук не е толкова очевидно.

Първо трябва да

неутрализираме у.

Трбява да се опитаме да ги изравним до поне

делител на 9 и 4.

Ако умножим горното уравнение по 4 получаваме...

ще го сметна тук.

Умножаваме по 4.

По 4.

-20х - 36у =

4 по ..... = 264.

Надявам се да е вярно.

Ще умножим второто по 9.

Това е -63х + 36у = -639

Големи числа.

639.

Сега ги събираме.

- 12 - 63 = -75, тези се унищожават...

е равно на... 639 - 264.

Виждате ли, така правя аз.

Не използвам някакъв метод на решаване или нещо подобно.

375.

Не знам дали съм прав, но ще видим.

Понеже всъшност е отричателно 639, това е

-375, а аз знам, че 75 по 4 е 300,

т.е. х = 5.

75 по 5 е 375.

Просто разделихме двете страни на 75.

Ако х е 5, заместваме го обратно в...

това уравнение.

И получаваме 3 . 5 - 9у = 66

-15х - 9у = 66

-9у = 81.

Получаваме, че у = -9.

И отговорът е (5; -9)

Мисля, че вече сте готови за системи уравнения.

Забавлявайте се.