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Why Distance is Area under Velocity-Time Line

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    我們有一個以5m/s速度移動的物體
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    假設它向右移動
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    給了方向 因爲這是個向量
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    所以向這個方向移動 在這裡
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    我們把速度時間曲線畫出來
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    這是速度
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    我實際上畫的是速度的大小
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    你們可以用這表示 ||v||
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    所以這是速度的大小
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    然後 這個軸 是時間
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    所以速度不變 是5m/s
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    所以它的大小是5m/s 是恒定的
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    當時間變化
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    速度不變
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    所以速度是5m/s
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    現在 我的問題是
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    5秒之後它走了多遠？
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    5秒之後 這是1s 2s 3s 4s 5s 在這裡
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    所以5秒之後它走了多遠
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    有兩種思考方法
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    第一種 我們知道速度等於位移除以時間
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    位移就是位置的變化量
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    所以這是位移的變化量除以時間變化量
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    或者第二種思考方法
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    如果兩邊乘以時間變化量
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    就得到速度乘以時間變化量 等於位移
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    所以位移是多少？
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    我知道速度是5m/s
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    5m/s 這就是速度 我用別的顏色標記出來
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    我們知道時間變化量是5s
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    所以得到 這個秒和這個秒約掉了
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    就得到5×5=25米
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    這很簡單
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    但是有趣的是
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    這就是直線下方長方形的面積
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    我要在這個影片中給你們展示
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    通常情況下 如果把速度畫出來 速度的大小
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    所以可以說 速率對時間
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    或者我們只要用速度的大小對時間
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    曲線下方的面積就是經過的距離
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    或是位移
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    因爲位移就是速度乘以時間的變化量
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    所以如果把這個長方形拿出來
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    我畫一個稍微不同的 速度是變化的
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    所以畫另外一種情況
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    此時 加速度是恒定的
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    這裡的加速度是1m/s/s 就是1m/s^2
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    我把同樣類型的圖畫出來
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    盡管現在看起來有點不同
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    所以這是速度軸
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    我留點空間
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    這是速度軸
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    我只是畫上了速度的大小
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    這是時間軸
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    這是時間 我在上面標上刻度
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    所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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    速度大小用m/s表示
  • 3:41 - 3:47
    時間用秒表示
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    所以怎麽樣了？
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    假設我們從-
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    所以起始速度
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    或者說起始速度的大小
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    所以起始速率 可以說
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    說起始速率有點奇特
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    是0
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    所以起始速度是0
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    一秒之後 怎麽樣了？
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    一秒之後 變快了1m/s
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    所以現在是1m/s 2秒之後怎麽樣了？
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    現在 比剛才又快了1m/s
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    又過了一秒 如果繼續
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    如果過了1秒 那麽就比這快了1m/s
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    如果你們記得代數1課上講的斜率的意思
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    在這個圖中 就是加速度
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    我們知道加速度等於
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    速度變化量除以時間變化量
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    這裡時間變化是沿著x軸
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    所以這是時間變化量
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    這裡是速度變化量
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    當我們把速度 或者速度的大小 和時間的關係畫上
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    這條直線的斜率就是加速度
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    因爲我們假設加速度是恒定的
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    有恒定的斜率
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    所以這只是一條直線 不是曲線
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    現在 我要做的是考慮一種情況
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    我們設加速度是1 m/s^2 這麽做是爲了
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    時間變化量是5秒
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    我的問題是 我們走了多遠？
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    是個比剛才
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    更有趣一點的問題
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    所以我們從速度是0開始
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    然後過了5秒 加速度是1m/s^2
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    所以1 2 3 4 5 這就是我們的位置
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    所以過了5秒 我們知道了速度
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    速度是5m/s
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    但是我們走了多遠？
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    所以我們可以形象化的想一下
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    可以說 看 可以試著在這畫長方形
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    我們在 或許這裡的速度是1m/s
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    如果1m/s乘以1秒
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    這得到一段距離
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    下一段是長一點的距離
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    這樣算
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    我可以繼續畫下去
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    但是然後你們 等等 這些長方形丟失了-
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    因爲這不是- 這段時間內 速度不總是1m/s
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    一直在加速
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    所以實際上我應該分開這些長方形
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    我可以分成更多的長方形
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    所以或許 每半秒一個
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    所以在這半秒內 以這個速度前進
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    以這個速度前進了半秒
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    速度乘以時間等於位移
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    然後算下一秒
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    同樣的 這算出了位移
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    如此等等
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    我認爲你們看到的是
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    你們畫的長方形越小
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    越接近曲線下方的面積
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    就像這種情況
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    曲線下方的面積等於經過的距離
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    很幸運 這只是個三角形
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    我們知道怎麽算出三角形的面積
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    所以三角形的面積等於1/2乘以底乘以高
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    希望這對你們說得通
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    因爲如果只是底乘以高
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    就得到整個長方形的面積
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    三角形的面積只是它的一半
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    所以這種情況下經過的距離
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    或者說是位移
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    只是因爲我們要確定 我們關注的是向量
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    位移等於
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    或者我應該說位移的大小
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    也就是距離
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    是1/2乘以底 就是5秒
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    乘以高 就是5m/s
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    乘以5m/s 換個顏色
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    這個秒和這個秒約掉了
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    就剩了1/2乘以5乘以5米
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    所以是1/2乘以25 就等於12.5米
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    所以這是個有趣的方法
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    有很多有趣的方法
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    希望你們能意識到 如果要畫速度時間曲線
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    首先 曲線下方的面積 給定了一個時間
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    就能算出走了多遠
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    其次 另一個有趣的是 曲線的斜率
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    代表了加速度
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    這個斜率是多少？
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    這是完全平坦的
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    這是因爲速度不變
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    所以這種情況下 加速度是恒定的
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    加速度的大小等於0
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    速度不變
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    右邊 加速度是1m/s^2
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    這就是爲什麽這條直線的斜率是1
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    另一件有趣的事是
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    即使加速度恒定
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    仍然可以求出距離
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    只要求曲線下方的面積 像這樣
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    所以我們能 能得到12.5米
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    最後我想給你們介紹的是
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    實際上 我們下個影片再講
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    我要給你們介紹平均速度
  • 9:15 - 9:18
    現在我們接受了
  • 9:18 - 9:20
    經過的距離等於
  • 9:20 - 9:24
    速度時間曲線下方的面積
Title:
Why Distance is Area under Velocity-Time Line
Description:

Understanding why distance is area under velocity-time line
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Video Language:
English
Duration:
09:26
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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