Visualizing a Column Space as a Plane in R3

Determining the planar equation for a column space in R3

在上段视频中 我从这个矩阵开始讲起

从这里开始讲 我们说这个矩阵的生成空间

恰好就是列向量的生成空间

我在这里写出来

但是我们并不清楚它是否线性无关

如果它不是线性无关的

那么它就不是一个充分的基底

对它进行运算 我们得到了

A的零空间

我们发现A的零空间

不只有零向量

这只是这两个向量的生成空间

也就是说 这些列向量不是线性无关的

我们以前看过几个这样的视频

我们利用它们

不线性相关这个信息

尝试通过去掉多余的向量

得到线性无关

我们可以去掉这个和这个

因为这两个向量本质上是

和自由向量相关的列

我们可以利用

小技巧来做

我们设其中一个等于0

另一个等于-1

然后求出主变量

然后令另外一个等于0

另外一个等于-1

然后求出主变量

你可以把它想象成一个一般化的过程

如果你有一系列自由变量

你可以设除其中一个外其它全为0

而那个不为0的

你可以令其等于-1

你可以用主变量和的形式来表示

其中主变量是自由变量的一个函数

其中主变量是自由变量的一个函数

一般而言 这是做这种题的捷径

我们在这里必须要做的更慢一些

如果我有一个矩阵A

我想求出它的列空间的基底

列空间就是这些向量的生成空间

但是如果我想得到一个线性无关的基底

我需要计算出

线性无关的向量

我要做的就是把它化成行简化阶梯形

当我把它化成行简化阶梯形时

我在这里已经做了

这个就是A的行简化阶梯形

我可以看到

和主变量相关的变量

这个是x1

往上滚动一些

这个和x1相关 对吧？

当你把它和x1相乘时

你得到了这一列乘x1

这一列乘x2

这一列乘x3

这一列乘x4

当你看到一个普通的矩阵A

当你看到矩阵A时

它是一样的

如果你写成Ax=0

这一列与x1相关

这一列类似的和x2 x3 x4相关

你可以做的是变形成行简化阶梯形

你可以看出那一列有主元

或者说和主变量相关

x1和x2和主变量是相关的

或者它们是主变量

它们与前两列相关

因此前两列是列空间的一个基底

我是怎么得到的呢？

我是凭空想象的吗？

当然不是

它来源于一个事实

你总可以构建一种情形

其中和自由变量相关的向量

你可以把它们写成

和主变量相关的向量的线性组合

我们在上次做了这么一个特殊的例题

但是有一种快捷且邪恶的方法来做

我不知道算不算是邪恶

取这个矩阵

把它化成行简化阶梯形

你可以看到这一列

和这一列是和自由变量相关的

因此 这一列和这一列必然

必然和自由变量是相关的

解集和Ax=0

或者行简化阶梯形的Ax=0是相同的

它们是一样的

因此 如果这一列和这一列

是和自由变量是相关的

也就是说 通过恰当的选取自由变量的值

它们可以被表示成

和主变量相关的列的线性组合

也就是这一列

和这一列

这两列就是A的一个基底

我们可以看到

沿着往下看

[1,2,3]和[1,1,4] 我们做了很多工作

使用了各种方法

我们说这是A的列生成空间的基底

现在完成所有的工作 我们来看

我们是否能

实现A的列空间的可视化

我有一种奇怪的感觉

我也许说过几次列空间

但是列空间是什么样的呢？

有很多种方式来思考

它是什么样的

其中一种方法是 看到生成空间是两个向量

它是R3的一个元素

这是R3中的一个向量 这个也是R3中的一个向量

我来画出x轴和z轴

正常情况下 这是y轴 z轴 和x轴

如果我想在三维空间中表示的话

向量[1,2,3]是这样的

这是1 这是1，2 这是1,2,3

因此这是1 上面是3

在标准形式下 向量就是这样的

这是这个向量

向量[1,1,4] 这是1 上面是4

因此它是这样的

实际上在三维中很难去画它们

你们只需要了解这种思想

但是列空间是这两个向量的生成空间

是这两个向量的所有的线性组合

因此这两个向量所有的线性组合

会形成一个包含着

两个向量的线性组合

如果对这两个向量进行倍数组合

你可以得到任意的向量

如果将它们两个相加

你会在这里得到一个向量

如果你如果加上这个向量的两倍

你会在这里得到一个向量

如果你们把它们看成位置向量

它们实质上是R3上的平面

我们来看看能否得到这个平面的方程

怎么来做呢？

我们知道根据一个法向量点乘任意一个（向量）

我们可以计算一个平面的方程

我来写出法向量

法向量点乘

平面上任意一个向量

x减去平面上任意一个点

或者说是平面上任意一个向量

因此我减去向量[1,2,3]

等于0

我们利用这个信息来计算出

这个平面的方程

但是法向量是什么呢？

我怎么来寻找这个平面的法向量

首先它是一个向量

在不混淆问题的前提下

我用一种方法来画出来

如果平面是这样的

那么法向量就是这样的

我怎么来得到一个法向量

我们知道

对任意两个向量做叉乘\N【请牢记：“叉乘”和“外积”是一样的】

在R3上唯一定义的叉乘

我会得到一个向量

它和这两个向量都垂直

我们来做叉乘

这是思考问题的很好方式

因为它整合了我们目前知道的

所有的知识

定义法向量

等于[1,2,3]×[1,1,4]

结果是什么？

首项先忽略不考虑

我得到24-31

2*4等于8

而24-31

是8-3

第二行 有1*4

我要做的是14-31

但是我需要求相反数

31 等于3 减去14

我们以前做过好多次

如果你感觉很陌生

请复习叉乘的视频

你忽略了中间行

正常情况下是 14-31

但是中间行需要求相反数

我们只对R3是这样定义的

因此我们得到了31-14

对于最后一行

是1*1

1减去2*1就是2

最后等于向量[5,-1，-1]

通过叉乘的定义

我已经给你们展示了很多次

它和这两个向量是垂直的

因此 它也和这两个向量所有的线性组合

是垂直的

现在我们求出了法向量

我们可以定义这个平面的传统意义下的方程

我们知道法向量是[5,-1,-1]

它是通过取基底向量

和平面上任意的向量的叉乘得到的

我写出任意一个向量

令它等于[x,y,z]

x，y，z 由于坐标轴是这样定义的

这个就是x轴

是x y z

[x,y,z]减去 我选择这两个向量中的一个

随便选择 减去[1,2,3]

这个式子等于0

这一项等于多少？

它等于

我来把它写的更简洁一些

[5,-1,-1]点乘

这一项等于多少？

是[x-1,y-2,z-3]

点乘积等于0

点乘积是什么？

5*(x-1)加上-1乘---

加上-1乘(y-2)

加上-1乘(z-3)

结果等于0

这个就是点乘的定义

简化这个式子

得到5x-5-y+2-z+3=0

2+3=5 再减去5 抵消了

常数项是0

我们得到5x-y-z=0

这个平面是A的列空间

现在我们已经证明 它确实是A中的一个平面

并且这个平面是经过原点的

并且这个平面是经过原点的

如果你令z=y=z=0

那么它满足这个方程

这是有意义的

因为我们说过一个矩阵的列空间

必须是非空子空间

而一个非空子空间必然含有一个零向量

在R3空间中坐标就是[0,0,0]

现在我要做的是看我能否

用完全不同的方法

来得到相同的答案

我都忘了 回头来看看原始的A

我在上面已经做了很多标记

我只需复制粘贴

原始的A在这里

复制

粘贴

不对

这不是我想要的

我来想想

我把复制粘贴搞错了

我来做这一点 我不想浪费你们的时间

复制 粘贴

好的 向下滚动

我们来找到一块干净的地方

把A放下面

我已经用了很多空间了

开始拖动

把A放在这里

我要做的是看

能否用完全不同的方法来算出结果

这个结果

我是通过计算出了列生成空间的基底得到的

通过对两个基底向量

做叉乘得到法向量

然后利用法向量

和差做点乘

这个差是这个向量

你用任意一个向量减去其中一个基底向量

用这种方法求得平面上的向量

这个就是在此平面上的向量

平面上的任意一个向量

点乘法向量都等于0

实际上 我应该做一个边注

我之所以说

法向量是这两个基底向量的叉乘

是因为我知道这两个基底向量

不仅指定了平面上的某些点

我们称这个向量是蓝向量

它们不仅仅指定了平面上的某些点

而且它们本身就是完全在平面上的

我是怎么知道的呢？

因为我知道

[0,0,0]向量是在生成空间中 对吧？

我们知道 如果在标准位置上画向量的话

点[0,0,0]在生成空间中

我们还知道它的终点也在生成空间中

那么这整个向量就在平面上

同样的 这整个向量就在这个平面上

因此 如果我做叉乘

任何和这两个向量或者这两个向量的组合

垂直的向量必然和这个平面垂直

我们在这里得到了这个结果

我们利用这个式子

和列生成空间的其它定义

其它的定义 它确实是一个等价的定义

Ax所有的有效解

其中x是Rn中的元素

另一种思路是 我们可以把它看成是

Ax=b的所有的有效b

其中x是Rn中的元素

它俩是等价的叙述

我在这里刚定义了Ax=b

因此 它俩是等价的描述

我们用这个式子继续下去

我们定义了b

因此b是R3中的向量 对吧？

我们已经有了类似的直觉力

取Ax b=[x,y,z]

我想计算出

x y z 我能否得到一个有效解

取向量A 用它乘以--

实际上我想到了一个最好的方法

我们刚用过

如果要求解Ax=b

实际上 就产生了一个增广矩阵

其中有了一个矩阵A

我可以用b进行增广

把它化成行简化阶梯形

它实际上代表了解空间

我们就这么做

我在这里用b构造了一个增广矩阵

我在这里写出来x y z

这个就是A关于b的增广

这个是A 这个是b

我来把它化成行简化阶梯形

然后求出解空间

xyz定义了一个有效b

我得到了什么

我要做的第一件事

在以前的练习中做过

保持第一行不变

是1 1 1 1 x

我们用第二行减去第一行的两倍

来代替原来的第一行

我来这样做

我来用第一行的二倍减去第一行

来代替原第二行

因此 用二倍的的第一行减去第二行

这里我们得到2x-y

有2*1-2=0

而2*1-1=1

且2*1-4=-2

然后 2*1-3=-1

很简单

现在我用第三行减去第一行的3倍

来替换第三行

用第三行减去

不是 我来用这种方法做

第三行减去第一行的3倍

我先做b这一列

因为我能记得我做的是什么

第三行减去第一行的3倍

有3-3*1=0

又4-3*1=1

且1-3*1=-2

然后2-3*1=-1

现在我可以直接变形到行简化阶梯形

但是我已经注意到了一些有意思的事情

我从已知的出发尝试去消去第三行

消去第三行的最好方法就是

替换第三行

因此 我甚至无需担心第一行

因此 我甚至无需担心第一行

第二行是 0 1 -2 -1 2x-y

现在我不需要担心第一行了

为了化简成行简化阶梯形

我只需替换第三行

用第二行

减去第三行来替换它

因此 你得到2x-y-z+3x

我只是用它来减它

因此是-z+3x

有0-0=0

又1-1=0

且-2-（-2）=0

如果它等于0

那么Ax=b就有有效解

如果它不等于0会怎样？

我们会看到一堆0等于某一个数

它是不可能有解的

如果我选择一个非零的b

那么我无法求解

如果这一项等于5 如果我去选择x y z

使得这个表达式等于5

那么Ax=b是无解的

因为它会得到0=5

所以这个必须是0

为了使b有效

2x-y-z+3必须为0

或者说b在A的列空间中

就必须满足

Ax等于0

它必须等于0

它等于什么？

加上2x+3x

我得到5x-y-z=0

这和我们之前

用基向量得出的结果一致

你知道为什么吗？

根据定义基底向量的定义

它们必须是在自身的列空间中

通过在叉乘

我来寻找一个法向量

我说过

叉乘和任意一个空间中的有效向量

减去其中一个基底的乘积 必定等于0

然后我得到了这个方程

我们也可以用其它方法来做

我们也可以通过令b等于这个

来解这个方程

我们说过什么b会给出一个有效解

我们唯一的有效解

当这一项等于0时得到

因为这一行剩下的都是0

当我令它等于0时

我们得到了相同的方程

希望你们感觉到还令人满意

因为我们用两种不同的方法

来求解这个问题并得到相同的结果

它向你展示了线性代数之美

它们其实相互融洽的