Питагоровата теорема

В това видео ще се запознаем с

прословутата Питагорова теорема,
която е доста приложима и забавна.

Като изучаваме по-подробно
математика, ще видим, че тя е

една от основните теореми.

Аритметичните знания се прилагат
в геометрията и тя е нещо като гръбнак

на раздела от математиката, наречен ТРИГОНОМЕТРИЯ.

Често ще я използваме, за да изчисляваме разстоянието

между две точки, зададени в координатен вид.

Затова би било хубаво наистина
да сме сигурни, че я познаваме добре.

Стига общи приказки.

Нека ти кажа какво всъщност
представлява Питагоровата теорема.

Имаме триъгълник и той трябва да е правоъгълен,

което значи, че мярката на един от трите му ъгъла

трябва да е 90 градуса.

За удобство, вместо да отбелязваме,
че ъгълът е 90 градуса,

чертаем малка кутийка ето тук, при върха на този ъгъл.

И така това тук, нека го оцветя с различен

цвят, е ъгъл, чиято мярка е 90 градуса.

За удобство такъв ъгъл наричаме ПРАВ ъгъл.

Естествено е триъгълник, който има прав ъгъл,

да се нарича ПРАВОЪГЪЛЕН.

Значи ето този триъгълник е правоъгълен триъгълник.

Смисълът на Питагоровата теорема е, че
ако знаем дължините на две от страните

на правоъгълен триъгълник, винаги можем да намерим

и дължината на третата му страна.

Но преди да ви покажа как става това,
нека ви обясня

още един важен термин.

Най-дългата страна във всеки
правоъгълен триъгълник е страната срещу

ъгъла, равен на 90 градуса (или срещу правия ъгъл).

В този случай това е ето тази страна.

Ето тази е най-дългата страна.

Тя като че ли загражда правоъгълния триъгълник -

най-големият ъгъл сякаш се разтваря,
докато стигне краищата на най-дълга страна.

Именно най-дългата страна се нарича ХИПОТЕНУЗА.

Много е важно да овладеем термина,
защото често се използва.

За да се научиш да разпознаваш хипотенузата,

ще начертая още няколко правоъгълни триъгълници.

Нека продължим като кажем,
че имам триъгълник, който изглежда така.

Ще го начертая още по-добре.

Да кажем, че имам ето такъв триъгълник

и че мярката на този ъгъл ето тук

е 90 градуса.

В случая тази страна е хипотенузата, защото тя се

намира срещу ъгъла, равен на 90 градуса.

Тя е най-дългата страна.

Нека начертая още един правоъгълен
триъгълник, за да сме сигурни, че

сме се научили да разпознаваме хипотенузата.

Да кажем, че това е правоъгълният триъгълник, а ето това е

ъгълът, чиято мярка е 90 градуса.

Мисля, че вече знаеш как се прави.

Стигаш до мястото, до което се "разтваря" триъгълникът.

Тази страна е хипотенузата -

тя е и най-дългата страна.

След като разпознахме
хипотенузата (нека означим,

дължината ѝ с числото С ),

ще научим какво гласи

Питагоровата теорема.

Да кажем, че хипотенузата е с дължина С.

Като кажем, че това е С, ще разбираме,
че това е страната С.

Тази по-късата тук пък ще отбележим с А,

а това тук е другата по-къса страна, означена с В.

Питагоровата теорема гласи: във всеки правоъгълен триъгълник А на квадрат,

дължината на една от по-късите страни на квадрат плюс

дължината на другата по-къса страна на квадрат

винаги е равна на дължината на хипотенузата на квадрат.

Да решим една задача и ще видиш,

че всъщност не е толкова трудно
колкото изглежда.

Да кажем, че имам триъгълник, който изглежда така.

Нека го начертая.

Ето това е моят правоъгълен триъгълник.

Изглежда подобно на това.

Нека ни е дадено, че този ъгъл тук е правия ъгъл,

че дължината на това, нека го оцветя с друг цвят...

Че дължината на този катет тук е числото 3 и

че дължината на другия катет е числото 4.

Задачата ни е да изчислим дължината
на третата страна, тази тук.

Първото нещо, което трябва да направим, преди да използваме

Питагоровата теорема, е да се уверим, че знаем коя страна е

хипотенузата.

Уверяваме се, че знаем какво се търси.

В случая търсим дължината на хипотенузата.

Знаем това, защото тази страна тук е страната

срещу правия ъгъл.

Според Питагоровата теорема
това е страната означена с С,

най-дългата страна.

Вече сме готови да използваме теоремата.

Тя гласи, че 4 (дължината на една от по-късите страни) на квадрат плюс

3 (дължината на другата по-къса страна) на квадрат

е равно на дължината на най-дългата страна на квадрат

(дължината на хипотенузата на квадрат), което пък е означено с С на квадрат.

Сега просто търсим стойността на С.

И така, 4 на квадрат е равно на 4 по 4,

което прави 16.

3 на квадрат е равно на 3 по 3,

което е 9.

Сборът на тези две числа ще е равен на С на квадрат.

Колко е 16+9?

25.

И така 25 е равно на С на квадрат.

Вземаме положителните стойности
на квадратните корени на двете страни...

Предполагам, че от математическа гледна точка можем

да получим и -5,

но сега изчисляваме за разстояния, затова ни интересуват

само неотрицателните им стойности.

И така като изчислим двете страни,

получаваме, че стойността на числото,
означено с С е равна на 5,

или иначе казано - дължината на
най-дългата страна е числото 5.

Сега вече винаги можеш да използваш
Питагоровата теорема, ако са дадени дължините

на две от страните и търсиш
дължината на третата без значение

коя е тя, катет или хипотенуза.

Да решим още една задача.

Правоъгълният триъгълник изглежда така

и този е правия ъгъл.

Да кажем, че дължината на тази страна е 12,

а пък тази страна тук е с дължина 6.

Търсим дължината на третата страна, тази тук.

Както казах, първата стъпка е

да се определи коя от трите страни е хипотенузата.

Знаем, че тя е страната срещу правия ъгъл.

Ето го правия ъгъл тук,

търсим страната срещу него.

Най-дългата страна, хипотенузата, ето я тук.

Ако се върнем на Питагоровата теорема,

А на квадрат, плюс В на квадрат е равно на С на квадрат,

12 се въвежда вместо С.

Това е хипотенузата.

С на квадрат означава хипотенузата на квадрат.

Значи можем да кажем, че 12 е равно на С

и тогава имаме още две страни, като няма значение

точно коя от другите страни
ще означим с А или с В.

Да означим първо дължината на тази страна,

да кажем, че А е равно на 6,

и после В, това оцветеното В,

ще е неизвестно.

Сега прилагаме Питагоровата теорема.

А на квадрат, което е 6 на квадрат, плюс неизвестното В

е равно на квадрата на хипотенузата,

равно е на С на квадрат,

което е 12 на квадрат.

Сега решаваме уравнението
спрямо неизвестното, означено с В.

Обърни внимание на разликата -

сега не търсим дължината на хипотенузата,

а дължината на един от катетите.

В предишната задача търсехме
дължината на хипотенузата,

търсехме стойността на С.

Затова е важно да е ясно, че

А на квадрат плюс В на квадрат
е равно на С на квадрат,

като с С е означена дължината на хипотенузата.

Да намерим стойността на неизвестното В.

6 на квадрат е 36, плюс В на квадрат е равно

на 12 на квадрат, което е 12 по 12, 144.

Вадим числото 36 от двете страни на уравнението.

Тези се съкращават.

От лявата страна остана само В на квадрат

равно на… Колко е 144 минус 36?

144 - 30 е 114. Вадим още 6 и получаваме 108.

Излиза 108.

В на квадрат се получава толкова и сега трябва

да намерим положителните
стойности на двете страни.

Излиза, че В е равно на корен квадратен

от 108.

Да видим дали не можем да опростим този израз.

Квадратен корен от 108.

Бихме могли да разложим

числото 108 на произведение от множители и да видим

как да опростим записа.

108 е равно на 2 по 54,

което пък е 2 по 27, което е 3 по 9.

Квадратният корен на 108 е същото

като корен квадратен от 2 по 2 по нещо си.
Всъщност

не съм приключил.

9 се разлага на 3 по 3.

Значи се получава 2 по 2, по 3 по 3, по 3.

И така имаме няколко квадрата тук.

Нека го направя по-добре.

Това е упражнение за опростяване на изрази под радикали,

което ще срещаш често, докато
прилагаш Питагоровата теорема,

така че е добре да го направим още сега.

Това е същото като квадратен корен от 2 по 2,

умножено с 3 по 3 по корен квадратен

от последната тройка, която остава,
защото не е равна на точен квадрат.

Едно и също е.

А и нали знаете, че няма да се налага да пишете

всичко това на листа.

Можете да го направите и на ум.

Какво е това?

2 по 2 е 4.

4 по 9 е 36.

Значи се получава корен квадратен
от 36 по корен квадратен от 3.

Корен квадратен от 36 е 6.

Получава се 6 по корен квадратен от 3.

Дължината на В може да бъде
записана като корен от 108,

или може да се каже, че е

6 по квадратен корен от 3.

Това е 12, това е 6,

а корен квадратен от 3 е около

1 цяло и нещо си,

така че цялото произведение
ще е равно на малко повече от 6.