PEALKIRI: Greeni Teoreemi Näide 2

Another example applying Green's Theorem

Ütleme, et mul on tee xy tasandil, mis on põhiliselt

ühikring.

See on my y-telg, see on my x-telg, ja meie tee hakkab

olema ühikring.

Ja me läbime seda täpselt nii.

Me läbime seda päripäeva.

Ma arvan, et sa saad ideele pihta.

Selle võrdus on ühikring.

Seega võrdus sellest on x ruudus pluss y ruudus on

võrdne 1'ga; on raadius 1 ühikringiga.

Ja mis meile muret tekitab, on joone integraal

üle selle kurvi c.

See on suletud kurv c.

See läheb tegelikult selles 2y dx miinus 3x dy suunas.

Seega, meid ahvatleb Greeni teoreemi

kasutamine ja miks mitte?

Seega proovime.

See on meie tee.

Greeni teoreem ütleb meile, et mingi kurvi integraal

f punkt dr üle mingi tee, kus f on võrdne-- las ma kirjutan

selle veidike puhtamalt.

Kus f kohal x, y on võrdne P'ga kohal x, y i pluss Q kohal x, y j.

Et see integraal on võrdne topelt integraaliga üle

piirkonna-- see oleks küsitav piirkond

selles näites.

Üle osalise Q piirkonna suhtes x'ga

miinus osaline P suhtes y'ga.

Kõik see dA, ala diferentsiaal.

Ja muidugi, piirkond on, mis ma just sulle näitasin.

Nüüd ehk sa mäletad-- noh, on

kergelt kaval asi selles, mis annaks

sulle vale vastuse.

Eelmises videos ütlesime, et Greeni teoreem rakendub, kui

me läheme vastupäeva.

Märka, isegi sellel väiksel asjal integraalil ma panin

selle vastupäeva.

Meie näites läheb kurv päripäeva.

Piirkond on meie paremal.

Greeni teoreem-- see rakendub, kui piirkond on meie vasakul.

Selles situatsioonis, kui piirkond on meie paremal ja

me läheme-- see on vastupäeva.

Seega meie näites, kus me läheme päripäeva, piirkond on

meie paremal, Greeni teoreem hakkab olema

selle negatiiv.

Seega meie näites, meil hakkab olema c integraal ja

me hakkame minema päripäeva.

Võib-olla ma joonistan selle, nagu f punkt dr. See hakkab

olema võrdne topelt integraaliga üle piirkonna.

Sa võiksid need kaks lihtsalt vahetada-- osalline P suhtes

y'ga miinus osaline Q suhtes x'ga da.

Teemegi nii.

Seega see hakkab olema võrdne, selles näites,

integraaliga üle piirkonna-- hoiame selle lihtsalt

abstraktsena praeguseks.

Me võiksime alustada piiritlemisega, kuid lihtsalt

hoiame piirkonna abstraktsena.

Ja mis on osaline P suhtes-- hoiame meeles,

see siin on meie-- ma arvan, et me võiksime nüüd tunnistada,

et kui me võtame f punkt dr, siis me saame selle.

dr toetab neid komponente.

f toetab neid kahe komponenti.

Seega see on P kohal x,y.

Ja see on Q kohal x,y.

Ja me oleme seda näinud.

Ma ei taha süveneda sellesse tervesse punkt dr'i ja võtta skalaar-

korrutise uuesti ja uuesti.

Ma arvan, et sa näed, et see on skalaarkorrutis

kahest vektorist.

See on x'i komponent kohal f, y komponent kohal f.

See on x'i komponent kohal dr, y komponent kohal dr. Seega

võtame osalise P suhtes y'ga.

Sa võtad selle algfunktsiooni suhtes y'ga, sa saad 2'e.

2y tuletis on lihtsalt 2.

Seega sa saad 2'e, ja siis, miinus Q tuletis

suhtes x'ga.

Selle tuletis suhtes x'ga on miinus 3.

Seega me saame miinus 3'e ja siis kõik selle da.

Kõik see on võrdne integraaliga üle piirkonna.

Mis see on, 2 miinus miinus 3?

Sama asi, nagu 2 pluss 3.

Seega see on integraal üle piirkonna kohal 5 dA.

5 on lihtsalt konstant, seega me võime selle integraalist ära võtta.

See muutub üsna lihtsalt probleemiks.

See hakkab olema võrdne 5'ga korda topelt integraal

üle piirkonna R dA.

Mis on see asi?

Mis on see asi siin?

See näeb välja väga abstraktne, kuid me saame seda lahendada.

See on lihtsalt piirkonna ala.

See on, mida topelt integraal esindab.

Sa lihtsalt liidad kokku kõik väiksed dA'd.

See on dA, see on dA.

Ja liidad kokku lõpmatud summad nendest väikestest

dA'dest üle piirkonna.

Noh, mis on selle ühikringi ala?

Siin me kasutame natuke üheksandat klassi-- tegelt,

isegi varem kui see-- eel-algebra või põhi-

kooli geomeetria.

Ala on võrdne pi r'ga ruudus.

Mis on meie raadius?

Seega ühikringi, meie raadius on 1.

Pikkus on 1.

Seega ala siin on pi.

See asi siin, see kõik on

lihtsalt võrdne pi'ga.

Seega vastus meie joone integraalile on lihtsalt 5 pi'd, mis

on päris otsene.

Tähendab, me oleks võinud võtta vaevaks seada üles topelt

integraali, kus me võtame algfunktsiooni suhtes

y'ga kõigepealt ja kirjutada y on võrdne negatiivse ruutjuurega 1'st

miinus x ruudus y on õrdne positiivse ruutjuurega.

x läheb miinus 1'st 1'ni.

Aga see oleks olnud väga jube ja piinarikas.

Ja me peame lihtsalt mõistma, ei, see on lihtsalt ala.

Ja teine huvitav asi on, et ma esitan sulle väljakutse lahendada

sama integraali kasutamata Greeni teoreemi.

Kas tead, pärast parameteriseerimise genereerimist selle kurvi

jaoks, minnes seda teed pidi, võttes tuletised

x'st kohal t ja y'st kohal t.

Korrutades õige asjaga ja siis võttes

algfunktsiooni-- palju jubedam kui mis me just tegime kasutades

Greeni teoreemi, et saada 5 pi'd.

Ja pea meeles, põhjus, miks see ei olnud miinus 5 pi'd siin

on, et me läheme päripäeva.

Kui me läheksime vastupäeva, siis me

oleks saanud rakendada kõige otsesemat Greeni teoreemi ja me

oleks saanud miinus 5 pi'd.

Igatahes, loodetavasti oli sul sellest kasu.